2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练(附答案)

2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练（附答案）1．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝．
2．某经销商从市场得知如下信息：
A品牌计算器B品牌计算器
进价（元/台）700100
售价（元/台）900160
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器x台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？
3．上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y （千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求直线AB所对应的函数关系式；
（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离
，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求
A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；
（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．
5．如图信息，L1为走私船，L2为我公安快艇，航行时路程与时间的函数图象，问（1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少海里？
（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？
（3）写出L1，L2的解析式
（4）问6分钟时两艇相距几海里．
（5）猜想，公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在几
分钟追上？
6．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”
时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟
爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，
结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子
中间停下睡觉用了多少分钟？
7．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝°．
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，则∠D＝°．
（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝°（用含α、n的代数式表示）
8．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；
（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．
9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
10．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是两角B、C平分线的交点．
问题（1）：填空：∠BIC＝°．
问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点；填空：∠BDC＝°．
问题（3）：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC 的数量关系，并说明理由．
问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．
11．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
12．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C 作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．
（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1
①请你将图形补充完整；
②线段BF、AD所在直线的位置关系为，线段BF、AD的数量关系为；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2
①请你将图形补充完整；
②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．13．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG
于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何．
15．已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°．
（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF＝DE；
（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．
16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在直线AB上取一点M，使AM＝BC，过点A作AE⊥AB
且AE＝BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；
（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB＝15°，求∠AFM的度数．
17．如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？
（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于
点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；
（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．
20．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
21．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的
度数．
（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．
（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好
经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°．
②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠
DCE的度数．
22．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O．
（1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数；
（2）设∠A的度数为n°（n为已知数），求∠BOC的度数；
（3）当∠A为多少度时，∠BOC＝3∠A？
参考答案
1．解：连接BD、AE，
∵DA⊥AB，FC⊥AB，
∴∠DAB＝∠BCF＝90°，
在△DAB和△BCF中，
，
∴△DAB≌△BCF（SAS），
∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，
∴∠BDF＝∠BFD，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
同理∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°，
故答案为：39°．
2．解：（1）y＝（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）＝140x+6000，
其中700x+100（100﹣x）≤40000，
得x≤50，
即y＝140x+6000，（0＜x≤50）；
（2）令y≥12600，
则140x+6000≥12600，
∴x≥47，
又∵x≤50，
∴47≤x≤50
∴经销商有以下三种进货方案：
方案A品牌（台）B品牌（台）
①4852
②4951
③5050
（3）∵y＝140x+6000，140＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝50时，y取得最大值，
又∵140×50+6000＝13000，
∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
3．解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；
（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，
把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，
解得：，
∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，
当y＝0时，x＝4，
∴小颖一家当天12点到达姥姥家．
4．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴AB＝＝13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，
∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5；
（3）△DEF为等腰三角形，理由为：
∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝
＝6，即DE＝DF，
则△DEF为等腰三角形；
（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y＝kx+b，
将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直线DF′解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得：x＝，即P（，0），
∵PF＝PF′，
∴PD+PF＝DP+PF′＝DF′＝＝，
则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．
5．解：（1）在刚出发时我公安快艇距走私船5海里．
（2）公安快艇是4分钟6海里，走私船是每分钟＝1海里；公安快艇的速度是＝海里．
（3）设L1：y1＝k1x+b过（0，5）和（4，9）点解得∴y1＝x+5设L2：y2＝k2x过（4，6）点∴y2＝x
（4）当x＝6时，y1＝11，y2＝9；11﹣9＝2
6分钟时相距2海里．
（5）y1＝y2
x+5＝x
x＝10
10分钟时相遇．
6．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为1500米；
故答案为：兔子、乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．
1500÷30＝50（米）
乌龟每分钟爬50米．
（3）700÷50＝14（分钟）
乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．
（4）∵48千米＝48000米
∴48000÷60＝800（米/分）
（1500﹣700）÷800＝1（分钟）
30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）
兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
7．解：（1）①∵∠BAO＝60°、∠MON＝90°，∴∠ABN＝150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA＝∠ABN＝75°，∠BAD＝∠BAO＝30°，∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不变．理由是：
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；
（2）设∠BAD＝α，
∵∠BAD＝∠BAO，
∴∠BAO＝3α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+3α，
∵∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABC＝30°+α，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝30°+α﹣α＝30°，
故答案为：30；
（3）设∠BAD＝β，
∵∠BAD＝∠BAO，
∴∠BAO＝nβ，
∵∠AOB＝α°，
∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝α+nβ，
∵∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABC＝+β，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+β﹣β＝，
故答案为：．
8．（1）证明：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDF，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．
（2）∠MBC＝∠F+∠FEC．
证明：∵BM∥AC，
∴∠MBA＝∠A，、
∵∠A＝∠ABC，
∴∠MBC＝∠MBA+∠ABC＝2∠A，
又∵∠F+∠FEC＝2∠A，
∴∠MBC＝∠F+∠FEC．
9．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
10．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90+∠BAC＝115°；
（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI＝90°，同理∠DCI＝90°，
在四边形CDBI中，∠BDC＝180°﹣∠BIC＝90°﹣∠BAC＝65°；
（3）∠BEC＝∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI＝90°，
∴∠BEC＝90°﹣∠BDC
＝90°﹣（90°﹣∠BAC）
＝∠BAC；
（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝50°，
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ACG＝2∠ACE＝100°，
∴∠ABC＝∠ACG﹣∠BAC＝100°﹣50°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝80°．
11．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
12．解：（1）①见图1所示．
②证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF
∵BC＝AC，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．
故答案为：垂直、相等．
（2）①见图2所示．
②成立．理由如下：
证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCF，
∵BC＝AC，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．
13．解：（1）证明：
∵BG∥AC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
14．（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°
∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA，
（2）结论：AG⊥AD．
理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），
∴∠BAD＝∠G，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴AG⊥AD．
15．证明：（1）如图①，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，BC＝DE，
∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF＝EF，
∴BF+EF＝BF+CF＝BC，
∴BF+EF＝DE；
（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE＝BF﹣EF，理由是：连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，BC＝DE，
∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF＝EF，
∴DE＝BC＝BF﹣FC＝BF﹣EF，
即DE＝BF﹣EF．
16．解：（1）连接EM．
∵AE⊥AB，∴∠EAM＝∠B＝90°．
在△AEM与△BMC中，
，
∴△AEM≌△BMC（SAS）．
∴∠AEM＝∠BMC，EM＝MC．
∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠BMC+∠AME＝90．
∴∠EMC＝90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE＝45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM＝∠MCE＝45°；
解：（2）如图2，连接ME．
同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM＝MC，∠MEA＝∠CMB＝15°．又∵∠MEA+∠EMA＝90°，
∴∠EMC＝60°，
∴△EMC是等边三角形，
∴∠ECM＝60°，
∵AN∥CE
∴∠AFM+∠ECM＝180°，
∴∠AFM＝120°．
17．解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，
在△BDC和△APB中，
，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD＝AP．
（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD＝∠BAP，
∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，
理由是：根据题意得：BP＝CD，
∵BC＝AC，
∴CP＝AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝∠ACB＝60°，
∵∠ACP+∠ACB＝180°，∠DAB+∠CAB＝180°，
∴∠ACP＝∠BAD，
在△ABD和△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴∠CAP＝∠ABD，
∴∠AQD＝∠ABD+∠BAQ＝∠CAP+∠QAB
＝180°﹣∠CAB
＝180°﹣60°
＝120°，
即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．
18．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
19．解：（1）∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；
（2）连接OP，
∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，
∴∠MP A＝∠OP A，∠NPB＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠APB＝2a；
（3）∵∠a＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，
∴PM＝PO，PN＝PO，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等边三角形．
20．解：（1）∠AEB的大小不变．
如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；
（2）∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠P AB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．
21．解：（1）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，
∵∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，
∴∠DBC+∠DCB＝118°﹣20°﹣35°＝63°
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝117°；
（2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连接BC
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，在△DBC中，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（3）①∵△XBC中，∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
∵△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABX+∠ACX＝130°﹣90°＝40°．
故答案为：40；
②∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．
22．解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°；
（2）∵∠A＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
（3）∵∠BOC＝3∠A，
∴90°+∠A＝3∠A，
∴∠A＝36°．。