第8章 微积分的创立

笛卡尔的“圆法”
• 开普勒和卡瓦列利的工作，主 要采用几何方法并集中于积分 问题。解析几何的诞生则给微 分学问题的研究带来了代数方 法。笛卡尔曾用一种所谓的 “圆法”来求曲线的切线，本质 上是一种代数方法。 • 笛卡尔在1637年著作的《几 何学》中，提出了“圆法”：求 曲线 y = f (x) 过点P（x，f(x)） 的切线。
• 开普勒（Johannes Kepler， 1571-1630），德国天文学 家。 • 1600年，开普勒到布拉格担任 第谷·布拉赫的助手。1601年 第谷去世后，他继承了第谷的 事业，利用第谷多年积累的观 测资料，仔细分析研究，发现 了行星沿椭圆轨道运行，并且 提出行星运动三定律（即开普 勒定律），为牛顿发现万有引 力定律打下了基础。
• 例如，费马用他的方法来确定怎样把长度为 b 的一个线 段划分为两个线段 x 和 b − x ，使得它们的乘积 x(b − x) =
bx − x 2 最大（也就是作一个周长为 2b 的长方形，使其面
积 最 大 ） 首 先 用 x + e 代 替 x ， 然 后 写 出 b ( x + e) － 。
f(x) P r x v-x v
费马的求极值方法
• 1637 年，费马也提出了一种求极值的代数方法。 • 按照费马的方法，设函数 f ( x) 在点 a 处取极值，费马 用 a + e 代替原来的未知量 a ，并使 f (a + e) 与 f (a ) 逼近， 即 f ( a + e) ~ f ( a ) 。 • 消去公共项e后，用e除两边，再令e消失，即 ⎡ f ( a + e) − f ( a ) ⎤ 由此方程求得的 a 就是 f ( x) 的极 ⎢ ⎥ = 0， e ⎣ ⎦ e=0 值点。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 他推导这一公式的办法是：用通过 旋转轴的平面把圆环分成无穷多个 内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片 （如图），而把每一个薄圆片又分 成无穷多个横截面为梯形的水平薄 片。先推导出每个圆片的体积是 πR2l，其中l=(l1+l2)/2 是圆片最小厚 度 l1 与最大厚度l2 的平均值，亦即 圆片在其中心处的厚度。然后他进 一步推算V = (π R 2 )(∑ l ) = (π R 2 )(2π d ) 。
• 托里拆利（Evangelista Torricelli， 1608-1647） 意大利物 理学家、数学家。1608年10月15 日生于法恩扎的一个贵族家庭。 1628年开始在罗马学习数学。 1641年在其数学教师开斯托里的 建议下，去佛罗伦斯做伽利略的助 手。1642年伽利略逝世后，托里 拆利接替伽利略任佛罗伦斯学院物 理学和数学教授。由于受到多斯加 尼君主的器重，被委任为宫廷数学 家。1647年10月25日逝世，终年 39岁。
• 开普勒完善、扩充了哥白尼的工作。他向往成为一 名牧师，在蒂宾根大学学习时，他私下里从一位老 师那里了解了关于哥白尼理论的内容，这个理论的 简洁性深深地打动了他。可能是开普勒对哥白尼理 论的兴趣，引起校长的疑心，他们对开普勒的宗教 虔诚产生了疑问，于是不让他去当牧师，而派他去 格拉茨大学任数学、伦理学教授。 • 将数学应用于天文学研究，是开普勒的业余消遣活 动。 • 在格拉茨，他与一位富有的女继承人结婚，当妻子 去世后，他曾将所有适于做继室的年轻女士的一系 列素质列成一个表，然后综合评分。然而，那位最 有希望、得分最高的候选女士谢绝了他。于是他只 得换了一位得分较少的女士，以便能满足开普勒的 婚姻方程。
( x + e) 2 ~ bx − x 2 ，消去相同项得 be − 2 xe − e 2 ~0，两边除
以 e ，得 b − 2 x − e ~0，令 e =0，得 b − 2 x =0。 • 费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 表示自变量增量的符号不同而已。这种方法也可以用来 求曲线的切线。费马甚至还将它用于求平面与立体图形 的重心等。
• 对于上述两个问题，历史上曾长期争论不休，但 亚里士多德的“大自然厌恶真空”的说法始终占上 风。托里拆利以前的科学家们都没有真正解决这 两个问题。伽利略曾发现，抽水机在工作时，不 能把水抽到10米以上的高度，他把这种现象解释 为存在有“真空力”的缘故。在总结前人理论和实 验的基础上，托里拆利进行了大量的实验，实现 了真空，验证了空气具有重量的事实。从1643年 起托里拆利曾先后采用多种液体，设计了多种实 验方式进行研究，如海水、蜂蜜、水银等都是他 选用的对象。大量的实验证实了抽水机提升液体 的高度，决定于液体的比重。
• 伽利略（Galileo Galilei，15641642），意大利物理学家、天文学 家和哲学家，近代实验科学的先驱 者。 • 1590年，伽利略在比萨斜塔上做了 “两个铁球同时落地”的著名实验， 从此推翻了亚里士多德“物体下落速 度和重量成比例”的学说，纠正了这 个持续了1900年之久的错误结论。
0
n +1
• 这使得早期积分学突破了体积计算 的现实原形而向一般算法过渡，显 示了其不可分量方法的巨大威力。
卡瓦列利原理
• 夹在两条平行直线之间的两个平面图形， 被平行于这两条直线的任意直线所截，如 果所得的两条截线长度相等，那么，这两 个平面图形的面积相等 • 夹在两个平行平面之间的两个立体图形， 被平行于这两个平面的任意平面所截，如 果所得的两个截面面积相等，那么，这两 个立体图形的体积相等。
§8.1
半个世纪的酝酿
古代无穷（古希腊与中国先秦时期关于无穷的讨论） 古代无穷小的背景 古代无穷小算法（希腊穷竭法、阿基米德算法、刘徽、祖氏父子） 无理数的认识（毕达哥拉斯学派、刘徽） 社会背景（文艺复兴、宗教改革） 微积分产生的背景 科学背景 自然科学的革命（天文学与物理学） 运动与变化的研究（开普勒、伽利略等） 解析几何的建立（笛卡尔等） 1-求曲线的切线与法线 刺激微积分方法形成的数学问题 2-求瞬时变化率 3-求函数的极值 4-求曲边图形的面积与曲顶形体的体积
• 托里拆利选用的水银实验，取得了最成功的结果。他把装 满水银的玻璃管一端封闭，开口端插入水银槽中，发现无 论玻璃管长度如何，也不管玻璃管倾斜程度如何，管内水 银柱的垂直高度总是76厘米。后来人们称这一实验为“托里 拆利实验”，完成实验的玻璃管为“托里拆利管”。水银柱上 端玻璃管内显然是真空的（接近真空，有少量水银蒸汽存 在）。托里拆利根据这一实验得出结论：空气具有重量， 空气重量所造成的压力与管内水银柱的高度所造成的压力 相等，才使水银柱具有某一确定高度。托里拆利根据自己 的实验，提出了可以利用水银柱高度来测量大气压，并于 1644年同维维安尼（Viviani，1622-1713）合作，制成了 世界上第一具水银气压计。 • 对于托里拆利实验，也曾存在着激烈的争论，特别是有人 提出玻璃管上端内充有“纯净的空气”，并非真空。争论持续 到帕斯卡的实验成功后才逐渐统一起来。
第8章
微积分的创立
• 微积分或称数学分析是人类思维的伟大成果之 一，是人类经历了2500多年撼人心灵的智力奋斗 的结晶。微积分的创立是数学发展中的里程碑， 有了这个发明，创造性数学相当普遍地发展到了 一个高级水平，使初等数学的历史基本结束，为 研究变量和函数提供了重要的方法和手段。 • 今天，如果一个人没有微积分方面的知识，就不 能说他受过很好的教育。 • 人们常说，“牛顿和莱布尼茨发明了微积分”，其 实这样概括人类思维的这一伟大成果的产生太简 单了。 • 没有前辈们建立起的思想渊源，牛顿和莱布尼茨 的微积分的发明将是不可想象的。 • 如果我比其他人看得更远些，那是因为我站在巨 人的肩上。
l1
l2
卡瓦列利不可分量
• 意大利数学家卡瓦列利（15981647）在1635年提出了他著名的 “卡瓦列利原理”，并据此计算出许 多立体体积。然而最重要的贡献还 在于，1639年，他利用平面上的不 可分量原理建立了一些与积分运算 等价的基本结果，其中包括整幂级 a a n +1 。 n 数的积分公式： x dx = ∫
• 托里拆利在数学和物理学等许多方面都有建树。 他的科学活动主要是在1641年以后进行的，虽然 仅仅有五、六年时间，但所取得的成果却具有重 大意义。 • 托里拆利最有成效的工作是对空气压强问题的研 究，并因此发明了使他著称于世的气压计。1644 年，托里拆利曾发表过有关几何和物理学方面的 著作。他论证了空气具有重量，并对重量和压力 等物理概念进行过深刻阐述。他从实验上解决了 空气是否有重量和真空是否可能存在的两个重大 课题。
开普勒一些细节
• 在第谷的工作基础上，开普勒经过大量的计算，编制成 《鲁道夫星表》，表中列出了1005颗恒星的位置。这个星 表比其他星表要精确得多，因此直到十八世纪中叶，《鲁 道夫星表》仍然被天文学家和航海家们视为珍宝，它的形 式几乎没有改变地保留到今天。 • 开普勒主要著作有《宇宙的神秘》、《光学》、《宇宙和 谐论》、《哥白尼天文学概要》、《彗星论》和《稀奇的 1631年天象》等。其中，在《宇宙和谐论》中，开普勒找 到了最简单的世界体系，只需7个椭圆就可以描述天体运 动的体系了； 在《彗星论》中，他指出彗星的尾巴总是 背着太阳，是因为太阳排斥彗头的物质造成的，这是距今 半个世纪以前对辐射压力存在的正确预言；此外，开普勒 还发现了大气折射的近似定律。 • 哥白尼发现，如果改以太阳为中心，仅这一改变就可以使 复杂的圆周的总数从77个减少到31个。哥白尼信奉：自然 界爱好简单性，不偏好繁文缛节。
81半个世纪的酝酿微积分产生的背景社会背景文艺复兴宗教改革科学背景运动与变化的研究开普勒伽利略等自然科学的革命天文学与物理学解析几何的建立笛卡尔等刺激微积分方法形成的数学问题1求曲线的切线与法线2求瞬时变化率3求函数的极值4求曲边图形的面积与曲顶形体的体积古代无穷小的背景古代无穷古希腊与中国先秦时期关于无穷的讨论无理数的认识毕达哥拉斯学派刘徽古代无穷小算法希腊穷竭法阿基米德算法刘徽祖氏父子开普勒johanneskepler15711630德国天文学1600年开普勒到布拉格担任第谷布拉赫的助手
开普勒与旋转体体积
• 德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的 新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直 线旋转而成的立体体积的积分法。开普勒方法的要旨，是 用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转 体的体积。例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的 和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球的一部分；他又 把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积， 然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之 一。 • 开普勒考虑的另一个例子是由半径为R的圆围绕其所在平面 上的与圆心距离为d 的垂直轴旋转而形成的圆环，他证明 这个圆环的体积等于该圆的面积与圆心经过的路程之 积： = (π R 2 )(2π d ) = 2π 2 R 2 d 。 V
• 开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都 沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆 的一个焦点中。 • 开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间 内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都 是相等的。 • 开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太 阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的 立方成正比。 • 这些定律在科学上非常有名，对科学有着不可估 量的作用，开普勒因此赢得了“天空立法者”的美 称。
• 1609年，伽利略创制了天文望远镜（后被称为伽利略望远 镜），并用来观测天体，他发现了月球表面的凹凸不平， 并亲手绘制了第一幅月面图。1610年1月7日，伽利略发 现了木星的四颗卫星，为哥白尼学说找到了确凿的证据， 标志着哥白尼学说开始走向胜利。借助于望远镜，伽利略 还先后发现了土星光环、太阳黑子、太阳的自转、金星和 水星的盈亏现象、月球的周日和周月天平动，以及银河是 由无数恒星组成等等。这些发现开辟了天文学的新时代。 • 伽利略著有《星际使者》、《关于太阳黑子的书信》、 《关于托勒玫和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于两 门新科学的谈话和数学证明》。 • 为了纪念伽利略的功绩，人们把木卫一、木卫二、木卫三 和木卫四命名为伽利略卫星。 • 人们争相传颂：“哥伦布发现了新大陆，伽利略发现了新 宇宙”。
卡瓦列利原理的应用
考虑被置于同一个直角坐标系中的椭圆和圆。
b 2 x2 y2 2 2 2 + 2 = 1，a > b ， x + y = a ，分别解出： y = a − x2 ， a2 b a b 2 2 y = a − x 。由此得出，椭圆与圆的对应的纵坐标之比为 。 a b 继而又得出，椭圆与圆的对应垂直弦之比也是 。于是，椭圆 a b b 从而， 椭圆的面积= ×圆的面积=π ab 。 与圆面积之比也是 。 a a