2023-2024学年广东省珠海市斗门区高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省珠海市斗门区高二下学期期中数学
模拟试题
一、单选题
1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若152,20a S ==-，则5a =（）A ．13-B ．10-C ．10
D ．12
【正确答案】B
【分析】根据等差数列求和公式求解.【详解】由1555()5(2)5
2022
a a a S +⨯+⨯===-,解得510a =-，故选：B
2．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf =-'，则(1)f '=（）A ．23
-
B ．
2
3
C ．2
-D ．2
【正确答案】B
【分析】可先求函数的导数，令1x =求出()1f '即可.
【详解】由()()()()2
21221
f x x xf f x x f =-⇒-'''=，令1x =得(1)212(1)f f ''=⨯-，解得()2
13
f '=.故选：B.
3．中国空间站（China ce Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）
A ．72种
B ．90种
C ．360种
D ．450种
【正确答案】B
【分析】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案.【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人,
所以共有
2223
642333
C C C A 90A ⋅=种；故选：B.
4．在含有2件次品的30件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（）
A ．11
228
C C B ．12
228
C C C ．12
229
C C
D ．1221
228228
C C C C +【正确答案】B
【分析】采用分步的方法，先取一件次品，再取2件正品即可.【详解】取一件次品有1
2C 不同方法数，取2件正品有228C 不同方法数，故恰好取到1件次品的不同方法数.12
228C C 故选：B.
5．若5()x a +的展开式中2x 的系数是80，则实数a 的值是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【正确答案】B
【分析】求出5()x a +展开式的通项，令x 的系数为2可得2x 项的系数，列方程求解即可.【详解】5()x a +展开式的通项为55C r r
r
x a -令523r r -=⇒=，
可得2x 系数为3533
C 1080a a ==，
可得2a =．故选：B.
6．已知1和4为等比数列{}n a 前5项中的两项，则第5项5a 的最小值为（）
A ．64-
B ．8
-C ．
164
D ．
18
【正确答案】B
【分析】根据题意显然第5项应该为负，此时0q <，可知第1,3,项也为负，据此可判断.【详解】因为等比数列中，1和4为等比数列中两项，故第1,3,5项可以为负，此时0q <，若5a 最小，则需要0q <且q 最小，
所以第2项为1，第4项为4时，2
4
41
q =
=，此时2q =-，可得54(2)8a =⨯-=-，故选：B.
7．
若正项数列{}n a 满足1ln n n n a a a +=-，101a <<，设123n n S a a a a =++++ ，123...n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅，则下列说法中一定正确的是（
）
A ．对任意的正整数n ，恒有01n S <<
B ．对任意的正整数n ，恒有n S n >
C ．对任意的正整数n ，恒有01n T <<
D ．对任意的正整数n ，恒有n T n
>【正确答案】C
【分析】构造()ln (0)f x x x x =->，求导后得到单调性和极值，最值情况，故而得到11n a +>，推出11n S n >-≥，A 错误；举出反例可得B 错误；得到1ln n n n a a a +-=，累加法得到
()111212ln ln ln ln ...0n n n a a a a a a a a +-=+++=⋅⋅⋅< ，从而得到01n T <<，D 错误，C 正确.
【详解】设函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x
'
-=-
=，可得()f x 在()0,1上严格递减，在()1,+∞上严格递增，
所以()f x 在1x =处取得极小值，也是最小值，故min ()(1)1f x f ==.又1ln n n n a a a +=-，则11n a +>.
因为101a <<，即101S <<，所以排除B ；
因为11n a +>，故当2n ≥时，11n S n >-≥，此时排除A ；因为1ln n n n a a a +=-，即1ln n n n a a a +-=，所以()()()1112231
n n n a a a a a a a a ++-=-+-++- ()1212ln ln ln ln ...0n n a a a a a a =+++=⋅⋅⋅< ，得
12...1n a a a ⋅⋅⋅<，即01n T <<，
所以排除D ，故选：C.
数列是一种特殊的函数，即定义域为正整数集的函数，故除利用通项公式，求和公式外还可利用函数，导函数的知识点来处理数列问题.
8．已知函数()e ,0
ln ,0x x f x x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩
（e 为自然对数的底数），则函数()()()211e =--⎡⎤⎣⎦F x f f x f x 的零点个数为（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．3
【正确答案】A
【分析】令()f x t =，由()0F x =可得()2
1
1e f t t =+，利用导数可确定()f x 与
211e y x =+图象的位置关系，进而得到()f t 与2
1
1e y t =
+有三个不同交点，并根据图象可确定三个交点12301t t t <<<<，采用数形结合的方式可确定()f x 与1y t =、2y t =和3y t =的交点总数，即为所求
的零点个数.
【详解】设()f x t =，令()0F x =可得：()2
1
1e f t t =+；设11y k x =+与e x y =相切于点()11,e x
x ，
()e e x x '= ，∴切线斜率为1e x
，则切线方程为：()111e e x x y x x -=-，即()111e 1e x x y x x =+-，()11
11e 1e 1x
x k x ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩
，解得：10x =，11k =；设21y k x =+与ln y x =相切于点()22,ln x x ，
()1ln x x
'= ，∴切线斜率为21x ，则切线方程为：()2221ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =⋅+-，
2
22
1ln 11
k x x ⎧
=⎪∴⎨⎪-=⎩，解得：22e x =，221e k =；
作出()f x 与2
1
1e y x =
+
图象如下图所示，21
1e
y x ∴=
+与()f x 有三个不同交点，即2
1
1e y t =
+与()f t 有三个不同交点，设三个交点为()123123,,t t t t t t <<，
由图象可知：12301t t t <<<<；
()f x 与1y t =无交点，与2y t =有三个不同交点，与3y t =有两个不同交点，()()()21
1e F x f f x f x ∴=--⎡⎤⎣⎦的零点个数为5个.
故选：A.
方法点睛：求解函数零点个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根的个数，即为所求零点个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题
9．在*(N )n n
∈的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（
）
A ．8
B ．12
C ．13
D ．15
【正确答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】*
(N )n
n
∈展开式通项为256
1C C (0)r
n r
r n r r
r n n T x r n --+==⋅≤≤，
对于A ，展开式通项为1656
18
C r r r T x
-+=⋅，所以由
165Z 6r
-∈可得=2r 或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B ，展开式通项为2456
1
12
C r r r T x
-+=⋅，所以由
245Z 6r
-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；对于C ，展开式通项为2656
113
C r r r T x
-+=⋅，所以由
265Z 6r
-∈可得4r =或10，所以此时有两个有理项，故正确；
对于D ，展开式通项为3056
1
15
C r r r T x
-+=⋅，所以由
305Z 6
r
-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；故选：AC
10．已知数列{}n a 满足111
1,(0)n n
a a a a a ++==≠，n S 为{}n a 的前n 项和，则（）
A ．若2a =，则202312
a =
B ．若2a =，则20231013
S =C ．存在实数a ，使{}n a 为无穷多项的常数列
D ．存在实数,a n ∈N ，使232,,n n n n n S S S S S --成等差数列【正确答案】BD
【分析】A.易得{}n a 是周期为3的周期数列求解判断；B.根据{}n a 是周期为3的周期数列求解判断；C.设{}n a 为常数列，有12a a a ==求解判断；D.根据根据{}n a 是周期为3的周期数列求解判断.【详解】当2a =时，12a =，21
2
a =
，31a =-，42a =，…，∴{}n a 是周期为3的周期数列，∴20233674112a a a ⨯+===，故A 错误．由A 可知，31233
2
S a a a =++=
，∴2023316741013S S a =+=，故B 正确．若{}n a 为常数列，则必有12a a a ==，故21a a +=，即210a a -+=，此方程无解，故C 错误．当2a =时，由A 可知36396S S S S S =-=-，故D 正确．故选：BD ．
11．以下四个命题，其中满足“假设当()0,n k k k n *
=∈≥N 时命题成立，则当1n k =+时命题也成
立”，但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的是（）
A ．221(2)
n n n >+≥B ．224622(1)n n n n ++++=++≥ C ．凸n 边形的内角和为()(2)π(3)f n n n =-≥D ．凸n 边形的对角线条数(2)
()(4)2
n n g n n -=≥【正确答案】AB
【分析】A 、B 、C 应用数学归纳法判断是否满足要求；D 在()()
22
k k g k -=
成立的条件下判断1n k =+是否成立即可判断.
【详解】A ：假设当n k =时命题成立，即221k k >+，当1n k =+时有
1222422222(1)22(1)1k k k k k k k k +⋅=>+=++=++>++，故当1n k =+时命题也成立，当2n =时
有45>，故当n 为给定的初始值时命题不成立；
B ：假设当n k =时命题成立，即224622k k k +++⋅⋅⋅+=++，当1n k =+时有
()()()()2
22246221221213112k k k k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=++++=++++=++++，故当
1n k =+时命题也成立，当1n =时，等号左边为2，右边为1124++=，24≠，所以当1n =时命
题不成立；
C ：假设当n k =时命题成立，即()()2πf k k =-，当1n k =+时有()()1π(1)πf k f k k +=+=-，故当1n k =+时命题也成立，当3n =时内角和为π命题成立；
D ：假设当n k =时命题成立，即()()
22
k k g k -=
，当1n k =+时有()()()()()22112111222
k k k k k g k g k k k -+--+=+-=-=≠，故当1n k =+时命题不成立.综上可知，满足条件的选项为AB 故选：AB.
12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数，
123f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象
关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）
A ．20
3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．()203f f ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
C ．()203f f ⎛⎫
=- ⎪
⎝'⎭
'D ．10
3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
'【正确答案】ABD
【分析】根据2()3+f x 为奇函数可得4
()()3f x f x -=-+，根据1(2)3f x -的图象关于y 轴对称可得
2
()()3
f x f x =--，两个等式两边同时取导数，可得4()()3f x f x ''-=+、2()()3f x f x ''=---，对x
赋值，结合选项即可求解.
【详解】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22
()()33
f x f x -+=-+，
故4
()()3
f x f x -=-+，
等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4
()()3f x f x ''-=+①，
因为1(2)3f x -的图象关于y 轴对称，则11
(2)(2)33
f x f x -=--，故
2
()()3
f x f x =--，
等式两边同时取导数，得2
()()3
f x f x ''=---②.
由4()()3f x f x -=-+，令23x =-，得22
()()33f f =-，解得2(03f =，
由2
()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)()3f f =-，
由②，令0x =，得2
(0)()3
f f ''=--，
令1
3x =-，得11()()33f f ''-=--，解得1()03
f '-=，
故选：ABD.三、填空题
13．函数()a f x x x
=-在1x =处的切线与直线2y x =平行，则a ＝______．【正确答案】1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为()a
f x x x =-，所以()2
a f x x =1+
'，所以函数()a
f x x x
=-在1x =处的切线斜率为()11'=+f a ，
因为该切线与直线2y x =平行，故12a +=，解得1a =故1
14．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP 记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月份的运动步数是__________万步.【正确答案】26.7
【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前n 项和公式的性质求解.
【详解】设张大爷在11月份每天的运动步数构成数列{}n a ，由题可知该数列为等差数列且{}n a 的前n 项和为n
S 所以1020103020,,S S S S S --成等差数列，所以()20101030202S S S S S -=+-，即()30215.8 6.9 6.915.8S ⨯-=+-，解得30S =26.7，
所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步.
故26.7.
15．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第n
行的第i 个数为i a ，则1
1
12n i i i a +-=⋅=∑________．
【正确答案】3n
【分析】根据杨辉三角及二项式定理即可得解.
【详解】由题意知，当1n ≥时，1
1001221
22C 2C 2C 2C (12)3n i n n n n
i n n n n i a +-=⋅=++++=+=∑ .
当0n =时，1
10
11
221i i i a a -=⋅==∑，也适合.
综上，1
1123n i n
i i a +-=⋅=∑.
故答案为.3n
16．五一期间，某公园准备用不同的花卉装扮一个有五个区域的矩形花坛（如图），要求同一个区域用同一种花卉，相邻区域不能使用同种花卉．现有5种花卉可供选择，则不同的装扮方法共有________种（用数字作答）．
【正确答案】420
【分析】根据分类加法计数原理，分D 与B 装扮相同花卉和D 与B 装扮不同花卉两种情况求解即可.
【详解】第一类：先装扮A ，有5种情况，装扮B ，有4种情况，装扮C ，有3种情况，D 与B 用相同花卉装扮，装扮E ，有3种情况，共有5×4×3×1×3=180种，第二类：先装扮A ，有5种情况，装扮B ，有4种情况，装扮C ，有3种情况，
D 与B 不同颜色花卉装扮，有2种情况，装扮
E ，有2种情况，共有5×4×3×2×2=240种.综上共有180240420+=种.故420.四、解答题
17．已知()()
23*
012321N n
n n x a a x a x a x a x n -=++++⋅⋅⋅+∈，且二项式系数和为1024.
(1)求n 的值；
(2)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【正确答案】(1)10；(2)1031-.
【分析】（1）直接由21024n =得答案；
（2）通过展开式的通项可得x 的奇数次方的系数为负，x 的偶数次方的系数为正，再分别通过令
0x =和=1x -得到所要的结果.
【详解】（1） 二项式系数的和为1024，21024n ∴=，故10n =；
（2）()()10
23100123102121n
x x a a x a x a x a x -=-=++++⋅⋅⋅+，
其展开式的通项为()
()
()10101011010C 2112C r
r
r
r r r
r r T x x ---+=-=-⋅⋅⋅，
可知x 的奇数次方的系数为负，x 的偶数次方的系数为正．
12310123n a a a a a a a a =-∴+-++⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅，
在()10
231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+中，令0x =，得01a =，
令=1x -，得()10
10012310213a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=--=，
101231123031n a a a a a a a a =-+∴+++⋅⋅-+⋅⋅⋅=⋅++-.
18．某景区下周一至周六空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在下周一至周六选择一天到该景区旅游，①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择周四出游；③丙
不选择周一出游；④甲与乙不选择同一天出游，从这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法的种数．
周一至周六天空气质量预报：周一
周二周三周四周五周六优优优优良良
【正确答案】选择①②③：100；选择①②④：102；选择①③④：100；选择②③④：125.
【分析】选择不同的条件，根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算求解.
【详解】若选择①②③,甲、乙、丙分别有不同的选法为4,5,5，则三人出游的不同方法数455100N =⨯⨯=.
若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择周四出游,则三人出游的不同方
法数15630N =⨯=；第二类，若甲不选择周四出游，则三人出游的不同方法数
234672N =⨯⨯=，故这三人出游的不同方法数123072102N N N =+=+=.
若选择①③④，甲、乙、丙分别有不同的选法为4,5,5，则三人出游的不同方法数455100N =⨯⨯=.若选择②③④，甲、乙、丙分别有不同的选法为5,5,5，则三人出游的不同方法数555125N =⨯⨯=.
19．已知{}n a 是首项为1的等差数列，公差{}0,n d b >是首项为2的等比数列，4283,a b a b ==．
(1)求{}{},n n a b 的通项公式；
(2)若数列{}n b 的第m 项m b ，满足__________（在①②中任选一个条件），*N k ∈，则将其去掉，数列{}n b 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{}n c ，求{}n c 的前20项和20S ．
①4log m k b a =②31m k b a =+．
【正确答案】(1),2
n n n a b n ==(2)()20202413
S =-【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；
（2）若选择①，得2,m k =*N k ∈，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求解；
若选择②，231m k =+，根据**N ,N m k ∈∈，讨论m 为奇数和偶数两种情况，即可判断求解.
【详解】（1）设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ，
因为4283,a b a b ==，所以2132,172d q d q +=+=，
联立消q 得29810d d --=，解得1d =或19
d =-与0d >矛盾，故1d =，代回计算得2q =，
所以()1111,2
n n n n a a n d n b b q -=+-==⋅=（2）若选①4log m k b a =，则有*4log 22,N m k m k k =⇒=∈，
所以{}n b 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项{}n c 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以()()
20
2020214241143S ⨯-==--；若选②31m k b a =+，则有231m k =+，
因为**N ,N m k ∈∈，
所以当2m n =时，对应的41(31)133
n n k -+-==为整数，满足，当21m n =-时，对应的41(31)2236
n
n k -+-==不为整数，不满足，所以{}n b 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项{}n c 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以()()
20
2020214241143S ⨯-==--；20．已知函数21()ln (1)2
f x a x x a x =+
-+（a 为常数），讨论()f x 的单调性．【正确答案】答案见解析【分析】先确定函数的定义域，然后对函数求导并分解因式，分0a ≤，01a <<，1a =，1a >讨论即可求解.
【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+.因为21()ln (1)2
f x a x x a x =+-+，
所以(1)()()(1)a x x a f x x a x x
--=+-='+，因为0x >，则有：
①当0a ≤时，则0x a ->，
令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >；
所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
②当01a <<时，令()0f x '<，得1<<a x ；令()0f x '>，得0x a <<或1x >；
所以()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a ，()1,+∞上单调递增；
③当1a =时，2
(1)()0x f x x
-=≥'（当且仅当1x =时取等号），所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
④当1a >时，令()0f x '<，得1x a <<；令()0f x '>，得01x <<或x a >，
所以()f x 在()1,a 上单调递减，在()0,1，(),a +∞上单调递增；
综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a ，()1,+∞上单调递增；
当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；
当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在()0,1，(),a +∞上单调递增.
21．已知数列{}n a ，满足()
1(1)(1)n n na n a n n n *+-+=+∈N ，且11a =，数列{}n b 满足3n n nb a n =+．(1)求{}n a 的通项公式；
(2)证明：2222123111113
n b b b b ++++< ．【正确答案】(1)2n a n
=(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解；
（2）求出n b ，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立.
【详解】（1）1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，
111n n a a n n
+∴-=+，又11a =，
∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为1的等差数列，11n a n n n
∴=+-=，即2n a n =.（2）由（1）知233n n nb a n n n =+=+，
31n b n ∴=+，
22(31)3(1)6310
n n n n n +-+=++> 22111111(31)(33)31n b n n n n n ⎛⎫∴
=<=- ⎪+++⎝⎭，222212311111)111(13221311n b b b n b n ∴++++<-++--++ 1111313
n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.22．已知函数2()ln 2,()f x x g x x =+=．
(1)求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；
(2)设方程()()f x g x =有且仅有两个不同的解12,x x
，求证：12x x +【正确答案】(1)10
x y -+=(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义求斜率即可得解；
（2）令()()()F x f x g x =-，利用导数判断函数的单调性，再由函数有且仅有2个零点，分析其中
得证.
【详解】（1）因为()ln 2f x x =+，所以1()(0)f x x x
'=>，所以切线的斜率(1)1k f '==，又(1)ln122f =+=，
所以切线方程为21y x -=-，即10x y -+=.
（2）证明：令2()()()ln 2(0)F x f x g x x x x =-=-+>，
则2112()2x F x x x x -'=-==，
所以当0x <()0F x '>，()F x 单调递增；
当2
x <时，()0F x '<，()F x 单调递减，因为方程()()f x g x =有且仅有两个不同的解12,x x ，
所以max ())02F x F =>，12()()0F x F x ==，
不妨设120x x <<，又220F =+>，
所以2x >12x x +>。