5.1向量的概念
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向量 零向量
0 与任一向量
共线
平行 的非零向 或共线
向量 量又叫做共线向量
相等 长度 相等 且方向 相同 两向量只有相等或不相
向量 的向量
相反 长度 相等 且方向 相反
向量 的向量
等,不能比较大小 0 的相反向量为 0
第五章
5.1 平面向量的概念及线性运算
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学科素养
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又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形.
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则������������ 与������������ 方向相同,且|������������ |=|������������ |,
因此,������������ = ������������.
第五章
单位
1个单位长度
向量 长度等于
的向量
备注 平面向量是自 由向量
记作 0
非零向量 a 的 单位向量为 ± ������
|������|
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名称 定 义
备注
平行 方向 相同 或 相反 的非
方向相同或相反
C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0
关闭
依题意,得������������ = ������������,故������������ + ������������=0,即������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,即
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2.设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
关闭
由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也
关闭
D无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.
(4)若向量������������与向量������������是共线向量,则A,B,C,D
四点在一条直线上. ( ) (5)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( )
答案
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解析: (1)若a+b=0,则a=-b, 所以a∥b. 若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.
②正确.∵������������ = ������������,
∴|������������|=|������������|,且������������ ∥ ������������.
从而������������ + ������������ =
-
1 2
������
+
������
+
-
1 2
������
+
������
= 12(a+b)=������������,故选
A.
第五章
考点1
考点2
考点3
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解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形 或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位
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解题心得对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征:大小和方向.向量既可以用有向线段和字
母表示,也可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是
平行向量,而平行向量未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只
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4.两个结论
(1)P
为线段
AB
的中点⇔������������
=
1 2
(������������
+
������������ );
(2)G 为△ABC 的重心⇔������������ + ������������ + ������������=0.
线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示 出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括 号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同 样适用.
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考点1
考点2
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对点训练 2(1)(2016 河南信阳、三门峡一模)在△ABC 中,点 O 在
得 b=λa .
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有
且只有一个实数 λ,使得������������=(1-λ)������������+λ������������.
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有相等与不相等,不可以比较大小.
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考点1
考点2
考点3
考点 2 平面向量的线性运算
例 2(1)设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,则( )
A.������������ =-13
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线 段表示向量. ( )
(2)������������ + ������������ + ������������ = ������������. ( )
−
1 3
������������
(2)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则������������ +
������������=( )
A.������������
B.12 ������������
C.������������
D.12 ������������
思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?
������������
+
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
������������
B.������������
=
1 3
������������
−
4 3
������������
D.������������
=
4 3
������������
实数λ=
.
关闭
由题意知存在常数
1
t∈R,使
λa+b=t(a+2b),得
������ 1
= =
���2���,������,解得
λ=12.
关闭
2
解析 答案
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1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念, 有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的. 向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
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向量运算 定 义
法则(或几何意义) 运 算 律
求 a 与 b 的相反
减法
向量-b 的和的
运算叫做 a 与 b
的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
(1)|λa|= |λ||a| ;
(2)当 λ>0 时,λa 的方
数乘
求实数 λ 与向量 a 的积的运算
向与 a 的方
向相同 ;当 λ<0
时,λa 的方向与 a 的
考点1
考点2
考点3
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③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同; ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b. 综上所述,正确命题的序号是②.
第五章
考点1
考点2
考点3
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2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任 何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是 共线向量.
3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者 必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不 同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上,而两条平行直线不 能平移到同一直线上.
有������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,则 a-b+c-d=0,故选 A.
关闭
A
解析 答案
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4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则
四点,则 ������������ = ������������ 是四边形ABCD为平行四边形的 充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终
点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.
其中真命题的序号是
.
思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识?
答案
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考点2
考点3
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核心考点学科素养Fra bibliotek-2-
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1.向量的有关概念
名称 定 义
向量
既有大小 又有 方向的量;向量AB的大 小叫做向量的 长度(或 模 ),记作|AB|
零向 量
长度为 0
的向量;其方向是任意的
线段 BC 的延长线上,且|������������|=3|������������|,当������������=x������������+y������������时,x-y=( )
A.-2
B.-3
C.2
D.3
(2)在△ABC 中,点 M,N 满足������������=2������������, ������������ = ������������.若
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考点1 考点2 考考点3点 1 辨析平面向量的有关概念
例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的
∴������������
=
������������
+
4 3
������������
=
������������
+
4 3
(������������
−
������������ )=-13
������������
+
4 3
������������ .
(2)设������������ =a,������������ =b,则������������ =-12b+a,������������ =-12a+b,
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2.向量的线性运算
向量运算 定 义
法则(或几何意义) 运 算 律
(1)交换律:a+b
加法
求两个向量和 三角形法则 的运算
= b+a
(2)结合律:
(a+b)+c
= a+(b+c)
平行四边形法则
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解析 答案
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核心考点
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3.已知������������=a,������������=b,������������=c,������������=d,且四边形 ABCD 为平行四边形, 则( )
A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0
λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μ;a λ(a+b)= λa+λb
方向 相反 ;当
λ=0 时,λa=0
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3.向量共线定理 (1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使
向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?
答案
第五章
考点1
考点2
考点3
解析: (1)如图.
5.1 平面向量的概念及线性运算
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∵������������ = ������������ + ������������, ������������=3������������,