2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试(二)数学试题

皖豫名校联盟
2022-2023学年(上)高二年级阶段性测试(二)
数 学
一、选择题
1.直线:20l x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
答案：
D
解析：
由题可知直线l 与两坐标轴的交点分别为(),()0,22,0-,所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
12222⨯⨯=. 故选：D.
2.已知在空间四边形ABCD 中,12CG CD =
,则2BD BC AB ++=（ ） A.2AG
B.2GC
C.2BC
D.12BC 答案：
A
解析： 因为12
CG CD =.故G 为CD 的中点.如图,由平行四边形法则可得2BD BC BG +=. 所以2()2()2AB BD BC AB BG AG ++=+=.
故选：A.
3.已知圆229()(12)x y +++=关于直线10ax by ++=对称，且点(1,1)在该直线上，
则实数a =（ ）
A.3
B.2
C.2-
D.3-
答案：
D
解析：
圆229()(12)x y +++=的圆心为(1,2)--.依题意,点(1,2)--在直线10ax by ++=上,
因此210a b --+=.即21a b +=,又10a b ++=,所以3,2a b =-=.
故选：D.
4.已知点)1,2,()(5,8A B -,若过点()1,0C 的直线与线段AB 相交,则该直线的斜率的取值 范围是（ ）
A.[]1,2-
B.(),1][2,-∞-+∞
C.(),2][1,-∞-+∞
D.()
(),12,-∞-+∞ 答案：
B
解析：
过点C 的直线与线段AB 相交,20801,21151
AC BC k k --==-==---,又该直线与x 轴垂直时.斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围是为(),1][2,-∞-+∞.
故选：B.
5.若圆229()1x y ++=与圆2224440x y mx m +-+-=有且仅有一条公切线,则实数
m =（ ）
A.1-
B.1
C.1±
D.0
答案：
D
解析：
将2224440x y mx m +-+-=化为标准方程得2224()x m y -+=.即圆心为(2),0m .
半径为2.圆22(1)1x y ++=的圆心为(0,)1-,半径为1.因为圆221()1x y ++=与圆
2224440x y mx m +-+-=且仅有一条公切线.所以两圆的位置关系为内切,
所以
1=,即20m =.解得0m =.
故选：D.
6.在长方体1111ABCD A B C D -中,
1112AB AD AA ===,则直线BC 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）
B.23
D.
3 答案：
C
解析：
以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则0()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,0,,0,,1A C D D .∴(1,0,0)AD =-，(1,2,0)AC =-，
1(1,0,1)AD =-.设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则120,0,
AC n x y AD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1y =，解得2,2x z ==，∴(2,1,2)n =. ∵||22|cos ,|,//133||||AD
n AD n BC AD AD n ⋅〈〉===⨯⋅ ∴直线BC 与平面1ACD ,3
AD n >=.
故选：C.
7.某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离
为12 km ,且甲、丙两地的距离是乙、倍,则这个三角形养鱼场的面积最大是（ ）
A.272 km
B.2
C.278 km
D.2
答案：
B
解析：
以点,,A B C 分别表示甲、乙、丙地,以线段AB 的中点O 为原点,线段AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图,则)6,0,()(6,0A B -.设点
,()C x y ,则|||AC BC =.=,整理可得
22(18)288x y -+=.∴点C 的轨迹是以点(18,0)为圆心，为半径的圆除去与x 轴的
交点后所得曲线.∴2)1122
ABC ≤⨯⨯=.
故选：B.
8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点M 在C 上,点P 的横坐标为1-,点Q 的纵坐标为
0,若MFQ MPF ≅,则||MF =（ ）
A.4
B.3
C.D.2
答案：
A
解析：
抛物线2
4y x =的焦点为()1,0F ,准线的方程为:1l x =-.因为点M 在C 上,设2
(,)4y M y 由题可得||||||MF MP MQ ==.则MP l ⊥,即//MP x 轴,又因为MFQ MPF ≅. 所以MFQ 与MPF 均为等边三角形.不妨设0y >.则MF 所在的直线方程为
1)y x =-.将2
(,)4
y M y 代入,得21)4y y =-.解得y =所以点M 的横坐标为3,||314MF =+=.
故选：A.
二、多选题
9.已知空间中三点1,2,1,1,3)4()()(,1,2,,2A B C --,则（ ）
A.向量AB 与AC 互相垂直
B.与BC 方向相反的单位向量的坐标是(111111
-
C.AC 与BC
D.BC 在AB
答案：
A 、
B 、C
解析：
由已知可得(2,1,0),(1,2,1),(3,1,1)AB AC BC ==-=-.因为220AB AC ⋅=-+=. 所以AB 与AC 互相垂直,故A 正确；||11BC =所以与BC 方向相反的单位向量的坐标
是3,1,1)(
111111
-=-,故B 正确；
3216,||11,||6AC BC BC AC ⋅=++===,
所以cos ,||||6AC BC AC BC AC BC ⋅〈〉===故C 正确；
BC 在AB 上的投影向量的模为||
|
||BC AB AB ⋅==.故D 错误. 故选：ABC.
10.已知曲线22
1():63
x y k R k k C -=∈--,则（ ）
A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则C 的焦距为
B.若曲线C 表示椭圆,则k 的取值范围是(3,6)
C.若2k =,则C 的焦点坐标是和()
D.若5k =,则C 的渐近线方程为y =
答案：
A 、C
解析：
由题可得60,30k k ->->. 解得36k <<,则a b c ===则C 的焦
距为正确；因为63k k ->-,若曲线C 表示椭圆,则6303k k k ->->⇒<.B
错误；当2k =时,曲线2
2:14
x C y +=.则224,1a b ==,则c ==C 的
焦点坐标是和(,C 正确；当5k =时,曲线2
2
:12y C x -=表示双曲线.则其
渐近线方程为y =.D 错误.
故选：AC.
11.已知圆221()():214C x y ++-=与圆2222:4440()C x y x my m m R ++++=∈,则
（ ）
A.若圆2C 与x 轴相切，则2m =±
B.若1m =,则圆1C 与圆2C 相交
C.当12
m =时, D.直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点
答案：
B 、D
解析：
由题可知圆222:224()()C x y m +++=.若圆2C 与x 轴相切.则有|2|2m =.所以1m =±.
故A 错误；当1m =时,034<==<,两圆相交,故B 正确； 当12
m =时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为0y =,圆心1C 到直线0y =的
距离为1,所以两圆的公共弦长为=故C 错误;
直线320kx y k -++=过定点()3,2-,而22(32)(21)24-++-=<.故点()3,2-在圆1
C 内部,所以直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点,故
D 正确.
故选：BD.
12.已知椭圆22
221(0):C x y a b a b
+=>>的左顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,点
)M 在C 上,且直线AM 的斜率为33
-,点P 是椭圆C 上的动点,则（ ）
A.椭圆C 的离心率为2
B.若||AP >,则点P 的横坐标的取值范围是()1,3-
C.12PF PF ⋅的取值范围为[3,6]
D.C 上有且只有4个点P ,使得12PF F 是直角三角形
答案：
C 、D
解析：
由題意可知直线AM 的方程为323
y x --=-,令0y =,可得3x =-.则3a =,
又椭圆C 过点M ,所以23419b
+=,解得26b =.所以C 的方程为22
196x y +=.
设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.则c =.椭圆C 的离心率为3
c a =故A 错误;
当点P 为椭圆C 的上下顶点时,||AP =,所以若||AP >,则点P 的横坐标的取值
范围是(0,3],故B 错误;设000(,),||P x y y ≤则2200196x y +=,所以2200)916
(y x =-，
又12(F F
则222212000000(1032
)6)(PF PF x x y x y y ⋅=-+-=+-=-,
因为0||y 所以20[0,6]y ∈.所以12[3,6]PF PF ⋅∈,故C 正确；
分析可知，当点P 为椭圆C 的上下顶点时12F PF ∠最大.此时12F PF ∠为锐角,
所以以点P 为直角顶点的12PF F 不存在,以点12,F F 为直角顶点的12PF F 分别
有2个,所以C 上有且只有4个点P .使得12PF F 是直角三角形,故D 正确. 故选：CD.
三、填空题
13.已知空间向量(0,6,0),||1,|2|27a b a b ==+=,则a 与b 的夹角为 . 答案：
23π 解析：
由题可知||6a =.因为|2|27a b +=.
所以22 443646cos ,428a a b b a b +⋅+=+⨯⨯〈〉+=, 所以1cos ,2a b <>=-，又,[0,]a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为23
π. 14.已知椭圆22
221(0):C x y a b a b
+=>>的短轴长为126,,F F 是椭圆C 的两个焦点,点M 在C 上,若12||||MF MF ⋅的最大值为16,则椭圆C 的离心率为 .
答案：
4
解析：
因为122||||MF MF a +=,所以221212()16||||||||2
MF MF MF MF a +⋅≤==(当且仅当12||||4MF MF ==时,等号成立).由题可知26b =,所以3b =.又222a b c =+,
解得c =所以c e a ==. 15.已知直线)0(x y m m R ++=∈与圆22:9()2C x y +-=交于,A B 两点，则ABC 的面
积的最大值为 .
答案：
92
解析：
圆22:9()2C x y +-=的圆心坐标为(0,2),半径3r =.由圆心到直线0x y m ++=的距
离3
d =<,解得22m --<<.直线0x y m ++=被圆截得的弦长为
==
所以ABC 的面积1
2S =⨯= 221(2)(2)9[9]2222m m ++⨯-+=，当且仅当22
(2)(2)922
m m ++-=, 即5m =-或1时取“=”.
16.已知12,F F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点,过点2F 且斜率为
l 与双曲线C 的右支交于,P Q 两点,若1F PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 .
答案：
12
- 解析：
不妨设点P 在第一象限,双曲线C 的半焦距为()0c c >,因为l 与C 的右支有两个交点,
C 的一条渐近线的斜率b a
<则C 的离心率2e a =<.
若1||||QF PQ =,根据双曲线的定义知12||||2QF QF a -=,
所以22||||2||PQ QF PF a -==,所以1212||||24,||2PF a PF a F F c =+==.
由题可知12120F F P ∠=︒,在12PF F 中,由余弦定理可得
222116442222
a a c a c =++⨯⨯⨯,整理得2230c ca a +-=,即230e e +-=,
解得12
e -=(负值舍去),此时2e <满足条件.若1||||PF PQ =, 则与上面的分析类似可得12||4,||2QF a QF a ==,在12QF F 中,1260F F Q ∠=︒.
再出余弦定理求得12
e =,此时2e >不满足条件.
综上可得12
e =
. 四、解答题 17.已知在ABC 中,边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-=和20x y +-=,边AB 的中点为17(,)22
Q .
(1)求点,A B 的坐标；
(2)求BC 边上的中线所在的直线l 的方程.
答案：
见解析
解析： (1)因为边AB 的中点为17
(,)22
Q ，设1122(,),(,)A x y B x y .
则1122121220,3100,1,
7,
x y x y x x y y +-=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12121,2,3,4,x x y y =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩
即)1,3,()(2,4A B -. (2)设边BC 的中点为G .由于边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-= 和20x y +-=,所以两直线方程联立，解得4,2x y ==-,即C 点的坐标为(4,)2- 又B 点的坐标为(2,4),所以G 点的坐标为(3,1).
又A 点的坐标为()1,3-，所以直线l 的方程为311(3)13
y x --=---,即250x y +-=. 18.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,线段DB 的中点为F ,点G 在棱CD 上,且满足2CG GD =.
(1)若E 为棱1CC 的中点,求证：1EF B C ⊥；
(2)求直线1A F 与1C G 所成角的余弦值.
答案：
见解析
解析：
(1)如图,以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz ,
则10,2,1,2,2,2,0,2,()()()(0,1,)1,0E B C F .因为1
(1,1,1),(2,0),2EF BC =--=--， 所以1
(1,1,1)(2,0,2)2020EF BC ⋅=--⋅--=-++=. 所以1EF B C ⊥,故1EF B C ⊥.
(2)由(1)中的坐标系及题意可知112
()(),2,0,2,0,2,2(1,),(0,1,0,0)3
F G A C . 因为114
(1,1,2),(0,3
),2A F C G =--=-- 所以11448(1,1,2)0,,24333()A F C G ⋅=--⋅--=-+=, 又113|2136,|||A C G F ==,
111111,||||
6A F G G G C A F C A F C ⋅>==故直线1A F 与 1C G 所成角的余弦值为239
. 19.已知圆222:(3)(0)M x y r r -+=>过点)(0,4T ,且圆M 关于直线:10l x y --=对
称的圆为圆C .
(1)求圆C 的方程；
(2)若过点(4,4)P -的直线l '被圆C 截得的弦长为8,求直线l '的方程.
答案：
见解析
解析：
(1)由题可知(3,0)M .因为圆M 过点()0,4T .所以222
3425r =+=.故5r =. 设M 关于直线l 的对称点C 的坐标为(),a b , 则310,221,3
a b b a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得1, 2, a b =⎧⎨=⎩ 所以圆C
的方程为22(1)(2)25x y -+-=.
(2)因为过点 (4,4)P - 的直线l '被圆C 截得的弦长为8,故圆心(1,2)C 到直线l '的距离为3=. (i)当直线l '的斜率不存在时, 其方程为4x =, 满足题意；
(ii)当直线l '的斜率存在时, 可设其方程为4(4)y k x +=-,即440kx y k ---=, 所以圆心(1,2)C 到l '的距离为3=, 解得34k =-. 综上所述, 直线l '的方程为4x =或3
440x y ++=.
20.已知抛物线2):0(2C y px p =>,直线20x y --=与抛物线C 相交于,A B 两点，且
||AB =
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若点P 的坐标为()2,4-,过抛物线焦点的直线l 交C 于,M N 两点,求PM PN ⋅的最 小值.
答案：
见解析
解析：
(1)设点,A B 的横坐标分别为,A B x x .
由220,
2,x y y px --=⎧⎨=⎩可得2(42)40x p x -++=.
∴42,4A B A B x x p x x +=+=
∴|||A B AB x x =-==
=
解得2p =(负值舍去),
∴抛物线C 的用程为24y x =. (2)设1122),,(),(M x y N x y .
由题意知抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0), 直线l 的斜率不等于0,
故可设直线l 的方程为1x ty =+,
由24,1,
y x x ty ⎧=⎨=+⎩可得2440y ty --=,
由根与系数的关系得12124,4y y t y y +==-,
1212)2()()()(244PM PN x x y y ∴⋅=+++--
12121212()6()2441x x x x y y y y =++++-++
222212121212244164444
()()y y y y y y y y =⋅++++-++ 221212121212()()()1[2]4416162
y y y y y y y y y y =++-++-++ 2222(4)1[(4)8]441616816218(1)13162
t t t t t -=+++--+=-+=-+,
∴当1t =时,PM PN ⋅取得最小值, 且最小值为13.
21.如图,在三棱锥P ABC -中,ABC 是斜边为AC 的等腰直角三角形，PAC 是边长为4的等边三角形,且4,PB O =为棱AC 的中点.
(1)证明：PO ⊥平面ABC .
(2)问：在棱BC 上是否存在点M (不与棱BC 的端点重合),使得平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒？若存在,指出点M 的位置；若不存在,请说明理由.
答案：
见解析
解析：
（1）由题可知,AB BC AB BC ⊥=且4AC =.∴AB BC ==连接BO ,如图，则BO AC ⊥,且2BO =.
∵PAC 是边长为4的等边三角形，
∴4,PA PC AC PO AC ===⊥.且PO =从而有222PB PO BO =+,故PO OB ⊥.
∵OB AC O =.∴PO ⊥平面ABC .
(2)假设存在满足题意的点M .
由(1)可知,可以O 为坐标原点,,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系,则()(()()0,2,0,,0,2,0,2,0,0A P C B -.
(2,2,0),(0,2,23),(2,2,0)BA PA BC =--=--=-.
设(2,2,0),01BM BC λλλλ==-<<.
则(2,2,0)(2,2,0)(22,22,0)AM BM BA λλλλ=-=----=-+
设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z =,
则20,(22)(22)0,
n PA y n AM x y λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
令1z =,
得3((n λλ+= 易知平面PAC 的一个法向量为(1,0,0)m =.
∵平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒,
∴1)
cos30|||||||m n m n λ+⋅︒=== 解得13
λ=
或3λ=(舍去), ∴点M
在棱BC 的靠近点B 的三等分点处. 22.已知椭圆2
2221(0):E x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,左顶点为(),离心率为3. (1)求E 的方程；
(2)若过坐标原点O 且斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于,A B 两点,直线AF 与E 的另一 个交点为C ,ABC
,求直线AF
的方程. 答案：
见解析 解析： （1）设椭圆
E 的半焦距为(0)c c >.
因为椭圆E 的左顶点为(, 所以a =又离心率c e a =
=, 所以1c =. 所以2222b a c =-=,
所以E 的方程为22
132
x y +=.
(2)由 (1)可知,左焦点F 的坐标为(1,0)-.
当直线AF 垂直于x 轴时, 易知点A 的坐标为(1,-. 由椭圆的对称性知, 点,A B 关于原点O 对称,
所以12212ABC AOC S S ==⨯⨯=,与题意不符. 所以直线AF 的斜率存在, 设其方程为1x ty =-. 由2236,
1,2x x ty y ⎧⎨+==-⎩消去x 并整理得2223440()t y ty +--=. 设1122),,(),(A x y C x y ，则12122244,2323t y y y y t t -+=
=++,
所以122|3
|2y y t -===+. 因此1221231126||22325||AOC ABC t S
OF y y S t ⋅+=-===+, 解得21t =, 即1t =±,
所以直线AF 的方程为10x y -+=或10x y ++=.。