2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：9.7 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析

9.7圆锥曲线的综合问题
挖命题
【考情探究】
考点内容解读
5年考情
预测热度考题示例考向关联考点
1.定点与定值问题1.了解圆锥曲线的简
单应用
2.掌握解析几何中求
解定点、定值问题的方
法和步骤
2018 北京,19
定值问题
直线的斜率、向量
的运算
★★★
2016北京,19
直线与椭圆的位
置关系、三角形面
积公式
2.参变量的取值范围与最值问题1.知道圆锥曲线的简
单几何性质(如范围、
对称性、顶点、渐近线、
离心率等),并能用性
质解决一些简单的圆
锥曲线问题
2.理解圆锥曲线离心
率的定义,并会求圆锥
曲线的离心率
2014 北京文,19
弦的最值问题
基本不等式
★★★
2011 北京,14
对称问题、三角形
面积公式
2011 北京,19
直线与圆、直线与
椭圆的位置关系
以及基本不等式
3.存在性问题1.理解圆锥曲线中存
在性问题的基本解法
2.理解转化思想在圆
锥曲线中的应用
2015 北京,19
圆锥曲线中存
在性问题的推
理论证
直线与椭圆的位
置关系
★★☆
分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识结合,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为14分,难度偏大.
炼技法
【方法集训】
方法1 与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法
1.已知椭圆W:x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,椭圆上一动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2√3. (1)求椭圆W 的标准方程及离心率;
(2)如图,过点F 1作直线l 1与椭圆W 交于点A,C,过点F 2作直线l 2⊥l 1,且l 2与椭圆W 交于点B,D,l 1与l 2交于点E,试求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 (1)由已知,得{2c =2,
2a =2√3,a 2=b 2+c 2,解得{c =1,a =√3,b =√2.
所以椭圆W 的标准方程为x 23+y 22
=1,离心率e=c a =√33
. (2)连接EO.
由题意知EF 1⊥EF 2,O 为F 1F 2的中点,所以|EO|=12
|F 1F 2|=1. 所以E 点轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆. 显然E 点在椭圆W 的内部.
S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12
|AC|·|BE|+12
|AC|·|DE|=12|AC|·|BD|.
当直线l 1,l 2中一条与x 轴垂直时,不妨令l 2⊥x 轴,此时AC 为长轴,BD ⊥x 轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±
2√3
3
, 则|BD|=
4√3
3
, 此时S 四边形ABCD =12
|AC|·|BD|=4.
当直线l 1,l 2的斜率都存在时,设直线l 1:x=my-1(m ≠0),A(x 1,y 1),C(x 2,y 2). 联立{x =my -1,
x 23
+y 22
=1,
消去x,得(2m 2+3)y 2
-4my-4=0.
所以y 1+y 2=
4m 2m 2+3,y 1y 2=-4
2m 2+3
, 则|AC|=√(1+m 2)(y 1-y 2)2=4√3(m 2+1)
2m 2+3
.
同理,|BD|=
4√3(m 2+1)
2+3m 2
.。