直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题

1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
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弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
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基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
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弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
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直线与椭圆的位置关系
定义与性质
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椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
中点公式的推导
三角形中位线定理
梯形中位线定理
在三角形中，平行于第三边的中位线等于 第三边的一半。
梯形的中位线等于两底和的一半。
矩形中点公式
椭圆弦中点问题
在矩形中，连接对角线上的任意两点的线 段中点，都等于矩形对角线长度的一半。
对于椭圆上的任意弦，如果弦的中点与椭 圆中心连线的斜率等于弦所在直线斜率的 相反数，那么这条弦就叫做椭圆的弦。
利用三角函数求导
对θ求导得到x'=-a×sinθ,y'=b×cosθ，将两式相 乘得k=y'/x'=-b/a。
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根据斜率计算弦长
利用点斜式方程y-y1=k(x-x1)，得到弦的端点坐 标，进而计算弦长。
弦长公式的应用
求解焦点弦角
已知椭圆的长短轴和焦点位置，以及直线的斜率，利用弦长公式可以求解焦点 弦角，进而得到弦长。
位置关系
直线与椭圆之间的位置关 系可以有三种，相离、相 切和相交。
直线与椭圆相交的条件
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直线与椭圆相交，需要满足以 下条件
1. 直线不经过椭圆的中心。
2. 直线的斜率不为零。
3. 直线与椭圆的交点不在椭 圆的边界上。
直线与椭圆相切的条件
当直线与椭圆相切时，需要满足以下条件 2. 直线的斜率必须为零。
中点公式的应用
三角形的中线
在三角形中，任意一边的中线等 于这边的一半。
梯形的中位线
梯形的中位线等于两底和的一半。
矩形的对角线
矩形的对角线等于其对角边长的平 方根。
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实例分析
直线与椭圆相交的实例
描述
设直线l：y=kx+b与椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于不同的两点A、B，求弦 AB的长度。
分析
首先联立直线与椭圆的方程，得到关于x的二次方程，由判别 式大于0确定交点个数，再由弦长公式求出长度。
直线与椭圆相切的实例
描述
设直线l：y=kx+b与椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)相切于点A(x0,y0) ，求切点A的坐标。
分析
首先联立直线与椭圆的方程，得到关于x的二次方程，由判别式等于0确定切点个 数，再由切点坐标满足的方程求解。