青白江区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

青白江区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）
A．B．C．D．
2．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（）
A．1372 B．2024 C．3136 D．4495
3．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
4．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（）A．M∪N B．M∩N C．∁I M∪∁I N D．∁I M∩∁I N
5．以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为
（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S
（）
A．2 B．4 C．1 D．﹣1
6．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）
①f（x）＜0恒成立；
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；
③（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0；
④；
⑤
．
A ．①③
B ．①③④
C ．②④
D ．②⑤
7． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ） A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
8． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，
+∞）
9． 已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.6
10．已知tan （﹣α）=，则tan （
+α）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
11．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．
259 B ．2516 C ．6116 D ．3115
二、填空题
13．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
14．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
15．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 16．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的 零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．对于集合M ，定义函数
对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）
=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．
18．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +
），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，则
+
+…+= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=|x ﹣m|，关于x 的不等式f （x ）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m 的值；
（2）已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣2b+2c=m ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
20．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X ，求X 的分布列和期望．
参考公式：22
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++
21．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留
幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计
1111]
（2）从5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
附表：
20()P K k ≥ 0.050 0.010 0k
3.841
6.635
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a
a
ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
23．生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽
（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．
24．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分
别记为,,,,A B C D E ，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在,,C D E 三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C 组的概率．
青白江区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=
当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x
当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1
∴y=f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确
故选A．
2．【答案】
C
【解析】
【专题】排列组合．
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．
【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，
再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，
再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．
综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．
故选：C．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
5．【答案】A
【解析】解：∵椭圆方程为+=1，
∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），
∴双曲线方程为，
设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），
∵=，
∴
=
，
整理得：=5，
化简得：5x=12y﹣15，
又∵，
∴5﹣4y2=20，
解得：y=或y=（舍），
∴P（3，），
∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，
∴点M到直线PF1的距离d==1，
易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．
故﹣===2，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．6．【答案】D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
7．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，
∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）
故选B．
8．【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
9．【答案】A
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=2
P（0＜X＜4）=0.8，
∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，
故选A．
10．【答案】B
【解析】解：∵tan （﹣α）=，则tan （
+α）=﹣tan[π﹣（+α）]=﹣tan （﹣α）=﹣，
故选：B ．
【点评】本题主要考查诱导公式，两角和的正切公式，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，
由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式．
二、填空题
13．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可． 【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ， 所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：
故答案为：
14．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a ﹣1=0， ∴a=1，
∵函数
为奇函数，
∴f （﹣x ）=
=﹣，
即b •2x ﹣1=﹣b+2x
，
∴b=1． 即a+b=2，
故答案为：2．
15． 【
解
析
】
16．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，
方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，
此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，
4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；对于④，由
17．【答案】{1，6，10，12}．
【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，
必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}
={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，
所以A△B={1，6，10，12}．
故答案为{1，6，10，12}．
【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．
18．【答案】．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，
∴a2+b2+c2≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．
X 的分布列为：
X 的数学期望为
()5151519
0123282856568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (12)
分
21．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）3
5
.
【解析】
∴2
40(67918)4 3.84115252416
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯．
∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，
3b ．
“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，
13(,)b b ，23(,)b b 共10个．
事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个． 故63()105
P A =
=． 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，2
AB
k =
=-
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）元件A 为正品的概率约为．
元件B 为正品的概率约为．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A 和1件元件B 可以分为以下四种情况：两件正品，A 次B 正，A 正B 次，A
次B 次．
∴随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15．
∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；
P（X=﹣15）==．
∴随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．
依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．
所以n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）==．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．。