§2.4.2抛物线的简单几何性质(1)(1)

结论得证.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 1 1 2 问题6 : 求证 : FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为 , P , 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 1 2 ,同理 , . AF P BF P FA FB p ER EF FR P AF cos AF AF 解法 2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p y k( x ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 2 y 2 2 px 2 2 k p k 2 x 2 p( k 2 2 ) x 0 4 1 1 1 1 2 p p p FA FB x1 x2 2 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题7 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则AF1 BF1 .
解 : AA1 AF ,AA1F AFA1 AA1 / / OF AA1F A1FO A1FO A1FA, 同理B1FO B 1 FB , A1FB1 90, AF1 BF1 .
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
例1.设M x0 , y0 是抛物线y 2 px上的任一点,
2
F 是其焦点, 求 | MF | .
y M
x K O F
二.抛物线的焦半径 抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物 线的焦半径. (1) y 2 px ,
2 2 2 2
解 : (1) M1在以AB为直径的圆上, AM1 BM1 . ( 2) A1FB1为直角三角形, M1是斜边A1 B1的中点, A1 M1 M1F ,M1FA1 M1 A1F , AA1F AFA1 , AA1F FA1 M1 AA1 M1 90, AFA1 A1FM1 90, MF1 AB; (3) M1F AF BF ; ( 4) AM1 BM1 ,AM1 B 90又 A1F B1F , A1FB1 90, M1 , Q , F , H四点共圆; (5) AM1 M1 B AB AF BF
2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题5 : 求证 : 以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B , M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 AA1 BB1 2 AF BF 2 AB 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题10 : (1)线段EF 平分角AEB;( 2) (3) K AE K BE 0;( 4) 当 当 AF BF AE BE ;
x
3、
顶点
y
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

o
y2
= 2px (p>0)中，
p F ( ,0 ) 2
x
令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
抛物线的几何性质
(1)
南充市高坪中学 杜道远
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
y
1、
范围
由抛物线y2 =2px（p>0） 有 2 px y 0
2
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
解 : koA y1 y y 2y 2p 12 , koB1 2 2 , p x1 y1 y1 p 2 2p 2y 2p 2 koB1 , p2 p y2
而y1 y2 p 2 , koA A, O , B1三点共线. 同理可证( 2),(3),( 4).
K O B F
A
x
| AB | 1 12 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
三.抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则 (1) y 2 px ,
2
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
解 : 若 2 , 则 AB 2 p, 此时AB为抛物线的通径 结论得证 p y p )tan ,即x , 2 tan 2 若

2
, 设直线l的方程为 : y ( x
代入抛物线方程得 : y 2 2 py y1 y2 p 2 , y1 y2 AB 1 2p , tan
y
பைடு நூலகம்
解法1 : 直线AB的方程为y x 1, 代入双曲线方程得 : x 2 6 x 1 0 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1, p p 解法 2 :| AB | ( x1 ) ( x2 ) 2 2 x1 x2 p 6 2 8

2
时 AE BE ,

2
时 AE不垂直于BE .
解 : BB1 / / EF / / AA1 ,
B1 E EA1

BF FA
, BF B1 B , FA A1 A ,
7 7 答案 : P , 距离为2, 则P点的坐标标为 _________ .2 4
( 2)抛物线y 2 x上两点A, B到焦点的距离
答案 : . 之和是5, 则线段AB中点心横坐标是 ____ 2.
例2.斜率为1的直线过抛物线y 4 x的焦点,
2
与抛物线交于A, B两点, 求线段AB的长.
解 : AB AF BF p p ) ( x2 ) 2 2 x1 x2 p ( x1
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 2p 问题 2 : 若l的倾斜角为 , 则 AB . 2 sin
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. p 2 问题 4 : 求证 : x1 x2 , y1 y2 p . 4
解 :由问题 2的解法知:y1 y2 p 2 , y12 y2 2 x1 , x2 , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 x1 x2 2 4P 4
-2
3.抛物线只有一个顶点、
-4
-3
o
p F ( ,0 ) 2
x
一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
-5
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
解 :由问题 2知: AB sin 2 1 2p sin 2 2p 2 p, sin 2 AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :
1 通径的长度 : 2 p; 2 通径越大, 抛物线开口越大; 3 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
0 x
p0
o
p F ( ,0 ) 2
x
2、
对称性
关于x轴
y
( x, y )
对称
( x, y)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
( 2) y 2 px ,
2
(3) x 2 2 py , ( 4) x 2 py ,
2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
o
p F ( ,0 ) 2
x
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
特点：
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x 限延伸,但它没有渐近线; y2=xy 1 2= y x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1
2
P(x,y)
-2
2
4
6
8
10
对称中心;
-1
2 2 2 2

2
AA 1 BB1 2 MM1 4 MM1
2 2
2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题9 : (1) A, O , B1三点共线;( 2) B , O , A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1 , 则BB1平行x轴; ( 4)设直线BO与准线交于A1 , 则AA1平行x轴;
2
( 2) y 2 2 px , (3) x 2 py ,
2
( 4) x 2 py ,
2
p | PF | x0 ; 2 p | PF | x0 2 p | PF | y0 2 p | PF | y0 2
练习 : (1)抛物线y x上一点P到焦点的
2 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题8 : 设AB的中点为M , 过A, B , M 分别作准线的垂 线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则AF1 BF1 . (1) AM BM1;( 2) AB M1F ; (3) M1F AF BF ; ( 4)设AM1与A1F 交于H , BM1与B1F 交 于Q , 则M1 , Q , F , H四点共圆; (5) AM1 M1 B 4 M1 M .
1 p 2 0, tan
1 1 2p y1 y2 2 p(1 ) tan 2 tan 2 sin 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛 物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题3 : 焦点弦中, 通径最短.