专题2-1 不等关系与不等式性质(知识讲解)-八年级数学下册(北师大版)

专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）
【学习目标】
1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.
3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b
c c )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b
c c <)．
特别说明：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于3．
（3）x，y两数和的平方不小于4．（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．【答案】
（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）1
2
x+2y≥0
【分析】
结合不等式的定义以及题意列不等式即可．
（1）因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0
（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3
（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，
所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4
（4）因为“非负数”就是“正数或0”，
所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：1
2
x+2y≥0
【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如5
x>，像3
x≠这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．①在不等式“a b
>”或“a b
<”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．①在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．
举一反三：
【变式1】有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；
【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100
【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．
解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，
由题意得，x+2x-10＞100．
即不等式为：x+2x-10＞100．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约
3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；
（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；
（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：
______________________________；
（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；
【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240
【分析】
（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；
（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；
（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；
（4）由题意可得5+3x>2.4×100.
解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；
故答案为生长年份，树围；
（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；
故答案为5+3x；
（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x 年，其树围才能
超过2.4m ；
故答案为这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；
（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100，
故答案为5+3x>240
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
类型二、不等式的性质
2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）15x -<； （2）413x -≥； （3）1
142
x -+≥； （4）410x -<-．
【答案】
（1）6x < （2）1≥x （3）6x ≤- （4）52
x > 【分析】
（1）根据不等式的性质1解答即可；
（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可；
（1）解：15x -<，
两边加上1得：1151x -+<+， 解得：6x <； （2）解：413x -≥，
两边加上1得：41131x -+≥+，即44x ， 两边除以4得：1≥x ； （3）解：1
142
x -+≥，
两边减去1得：111412x -+-≥-，即1
32x -≥，
两边除以1
2
-得：6x ≤-；
（4）解：410x -<-，
两边除以4-得：52
x >
． 【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
举一反三：
【变式1】已知x y >，下列不等式一定成立吗？
（1）66x y -<-；（2）33x y <；（3）22x y -<-；（4）2121x y +>+． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】
根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 解：（1）①x y >
①66x y ->-，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式66x y -<-不成立； （2）①x y >
①33x y >，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式33x y <不成立； （3）①x y >
①22x y -<-，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式22x y -<-成立； （4）①x y >
①22x y > ①2121x y +>+ 不等式2121x y +>+成立
【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 【变式2】说明：
（1）由314
x -≤，得4
3x ≥-，是如何变形的？依据是什么?
（2）由a b >，得ax bx >的条件是什么？为什么？ （3）由a b >，得ax bx ≤的条件是什么？为什么？
【答案】（1）不等式两边同时乘以4
3
-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不
等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是0x ≤，当0x <时，理由是当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时，左边=右边0=．
【分析】
（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．
解：（1）不等式两边同时乘以4
3
-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号
的方向；
（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向； （3）条件是0x ≤，理由如下：
当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时， 左边=右边0=．
【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
类型三、不等式性质的应用
3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若0a b ->，
则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较22432a b b +-+与2321a b -+的大小； （2）若223a b a b +>+，比较a 、b 的大小． 【答案】（1）222432321a b b a b +-+>-+；（2）a b < 【分析】
（1）直接用22432a b b +-+减去2321a b -+得出的结果与0进行比较即可得到答案；（2）直接解不等式即可.
解：（1）()2222
43232130a b b a b b +-+--+=+>，
①222432321a b b a b +-+>-+；
（2）①223a b a b +>+，
①()()2230a b a b a b +-+=-+>， ①a b <．
【点拨】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
举一反三：
【变式1】阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双
连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如221
213x x <+⎧⎨+<⎩
；方法二，利用不等式的性质直接
求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得
1
12
x <<． 解决下列问题：
（1）请你将双连不等式534x -≤-<转化为不等式组． （2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-．
【答案】（1）5334x x -≤-⎧⎨-<⎩；（2）1
42x ≤<
【分析】
（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可； （2）利用不等式的基本性质求出所求即可．
解：（1）534x -≤-<转化为不等式组为53
34x x -≤-⎧⎨-<⎩
．
（2）2235x ≥-+>-，不等式的左、中、右同时减去3， 得128x -≥->-，同时除以2-，得1
42
x ≤<
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．
【变式2】在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x ． （1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？ 【答案】（1）7＜x ＜11；（2）20
【分析】（1）根据三角形的三边关系列出不等式求解即可．（2）根据第三边取值范围和
三角形周长表达式列式计算即可．
解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；
（2）①7＜x＜11，
①x的值是8或9或10，
①①ABC的周长为：当x=8时，9+2+8＝19(舍去)；
当x=9时，9+2+9＝20符合题意
当x=10时，9+2+10＝21(舍去)；
即该三角形的周长是20．
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质，利用三角形三边关系建立不等式是解题的关键．。