2018年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷

2018年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷
一、选择题(每小题3分,共24分)
1．（3分）﹣1的绝对值是（）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆
3．（3分）如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）
A．60°B．100°C．110 D．120°
4．（3分）某同学一周中每天体育运动时间（单位：分钟）分别为：35、40、45、40、55、40、48．这组数据的众数、中位数是（）
A．55、40 B．40、42.5 C．40、40 D．40、45
5．（3分）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）
A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4
7．（3分）如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（）
A．300πB．150πC．200πD．600π
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（0，4）和（3，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随项点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣4，则点D的横坐标最大值为（）
A．﹣3 B．6 C．7 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
9．（3分）分解因式：x2﹣16=．
10．（3分）不等式3x+1＞2x﹣1的解集为．
11．（3分）若a2﹣2a﹣4=0，则5+4a﹣2a2=．
12．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．
14．（3分）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠ABO=30°，∠ADO=20°，则∠BOD=．
15．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．
16．（3分）如图所示，点A1，A2，A3……．A n在x轴上，且OA1=A1A2=…•…=A n﹣1A n，分别过点A1，A2，A3…，…A n作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3…B n，分别过点B1，B2，B3……，．B n作x轴的平行线交y 轴交于点C1，C2，C3……：．C n，连接OB1，OB2，OB3…OB n，得到△OB1C1，△D2B2E2．△D3B3E3……△D n B n E n，则△D2018B2018E2018图面积等于．
三、解答题(每题8分,共16分)
17．（8分）先化简，再求值：（+x﹣3）÷，其中x=．
18．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD 于E．
（1）求证：△EDC≌△EFA；
（2）若AB=3，BC=5，求图中阴影部分的面积．
四、(每题10分,共20分)
19．（10分）作为某市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：（1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；
（2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次；
（3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2015年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2015年租车费收入占总投入的百分率（精确到0.1%）．
20．（10分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
五、(每题10分,共20分)
21．（10分）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C 的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i=1：2.4，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin37°=0.6）
22．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
．
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S
△ABC
六、(每题10分,共20分)
23．（10分）△ABC是⊙O的内接三角形，∠C是最小内角．若过顶点B的⊙O 的一条弦把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条弦为△ABC的关于点B的伴侣分割弦．
（1）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，∠C＜∠B，利用尺规作图画出△ABC的关于点B的伴侣分割弦；
（2）BD是△ABC关于点B的伴侣分割，∠B＞90°，最小内角∠C的度数为30°，BC=2，求BD的长度．
24．（10分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域I（阴影部分）和一个剩余区域Ⅱ（空白部分），若区域I 满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等，其中区域I用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）求AB，BC的长；
（2）若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域I的三种瓷砖总价为4800元，设乙的面积为S，丙的单价x，求S与x的函数关系式．
七、(本题12分)
25．（12分）如图，正方形ABCD中，AD=8，点F是AB中点，点E是AC上一点，DE⊥EF，连接DF交AC于点G．
（1）求△DEF的面积；
（2）将△FEG沿EF翻折得到△EFM，EF交DM于点N．
①求证：点M在对角线BD上；
②求MN的长度．
八、(本题14分)
26．（14分）抛物线y1=﹣x2+1交x轴于A、C两点（点A在点C左侧），交y轴于点B，将抛物线向左平移4个单位得到抛物线y2，两条抛物线交于点D．（1）求抛物线y2的解析式；
（2）点P是坐标平面内一点，若△ADC与△CDP全等，直接写出点P坐标；（3）点Q是抛物线y2上第二象限内一点，是否存在点Q使△CDQ中CD边上的高h有最大值，若存在，请求出点Q的坐标和h的最大值．
2018年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)
1．（3分）﹣1的绝对值是（）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵﹣1的绝对值等于其相反数，
∴﹣1的绝对值是1．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正六边形C．正方形D．圆
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；
正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；
正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）
A．60°B．100°C．110 D．120°
【分析】先根据补角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1=60°，
∴∠2=180°﹣60°=120°．
∵CD∥BE，
∴∠2=∠B=120°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
4．（3分）某同学一周中每天体育运动时间（单位：分钟）分别为：35、40、45、40、55、40、48．这组数据的众数、中位数是（）
A．55、40 B．40、42.5 C．40、40 D．40、45
【分析】根据众数和中位数的概念求解，即可得出答案．
【解答】解：∵40分钟出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是40分；
把这些数从小到大排列为35、40、40、40、45、48、55，
则中位数是40；
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【解答】解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
6．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）
A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4
【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：﹣=4．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（3分）如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（）
A．300πB．150πC．200πD．600π
【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．
【解答】解：∵底面圆的面积为100π，
∴底面圆的半径为10，
∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，
设扇形的母线长为r，
则=20π，
解得：母线长为30，
∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
8．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（0，4）和（3，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随项点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣4，则点D的横坐标最大值为（）
A．﹣3 B．6 C．7 D．8
【分析】当抛物线经过A点时，与x轴的交点C的横坐标是最小值，所以把A 点坐标和C（﹣4，0）代入可以a，再把B点坐标代入，求出与x轴的交点就是D点的横坐标的最大值．
【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣m）2+n过A点时，与x轴的交点C的横坐标是最小值﹣4
∴0=a（﹣4﹣0）2+4
∴a=﹣
∵抛物线y=a（x﹣m）2+n过B点时，与x轴的交点D的横坐标是最大值
∴0=﹣（x﹣3）2+4
∴x1=﹣1，x2=7
∴D的横坐标是7
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过A点时，C的横坐标是最小值，过点B时，D 的横坐标是最大值
二、填空题(每小题3分,共24分)
9．（3分）分解因式：x2﹣16=（x﹣4）（x+4）．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．
【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．
10．（3分）不等式3x+1＞2x﹣1的解集为x＞﹣2．
【分析】根据解不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：3x+1＞2x﹣1
移项及合并同类项，得
x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
11．（3分）若a2﹣2a﹣4=0，则5+4a﹣2a2=﹣3．
【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣2a=4，
∴原式=5﹣2（a2﹣2a）=5﹣8=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为1．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，
∴DE=BC，DF=AB，
∵AB=6，BC=8，
∴DE=×8=4，DF=×6=3，
∴EF=DE﹣DF=4﹣3=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作
BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．
【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH 解决问题．
【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥CD，
∵AB∥CD，AD⊥CD，
∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，
∴四边形ADEO是平行四边形，
∴AD=OE=6，
∵OH∥AD，OB=OD，
∴BH=AH，
∴OH=AD=3，
∴EH=OH+OE=3+6=9，
故答案为9．
【点评】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质．菱形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握菱形、平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠ABO=30°，∠ADO=20°，则∠BOD= 100°．
【分析】连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=30°，∠DAO=∠ADO=20°，则∠BAD=50°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠ABO=30°，∠DAO=∠ADO=20°，
∴∠BAD=∠BAO+∠DAO=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
故答案为100°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线
上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判
定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为3，
∴CF=BE=3，CE=AF=3+2=5，
在Rt△ACF中，
∵AF=5，CF=3，
∴AC=，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BCD中，
∵CD=，BC=，
所以BD=．
故答案为
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
16．（3分）如图所示，点A1，A2，A3……．A n在x轴上，且OA1=A1A2=…•…=A n﹣1A n，分别过点A1，A2，A3…，…A n作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3…B n，分别过点B1，B2，B3……，．B n作x轴的平行线交y 轴交于点C1，C2，C3……：．C n，连接OB1，OB2，OB3…OB n，得到△OB1C1，△D2B2E2．△
D3B3E3……△D n B n E n，则△D2018B2018E2018图面积等于．
【分析】探究规律后，利用规律即可解决问题；
【解答】解：由题意可知：△OB1C1的面积=×8=4，
△D2B2E2的面积=（）2×4=1，
△D3B3E3的面积=（）2×4，
△D n B n E n的面积=（）2×4，
∴△D2018B2018E2018的面积=（）2×4=，
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的比例系数k 的几何意义，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考
压轴题．
三、解答题(每题8分,共16分)
17．（8分）先化简，再求值：（+x﹣3）÷，其中x=．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x=+2时，
原式=•
=
=
=1+2
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD 于E．
（1）求证：△EDC≌△EFA；
（2）若AB=3，BC=5，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠F=∠B，AB=AF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CE，EF=DE，根据勾股定理得到DE=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F=∠B，AB=AF，
∴AF=CD，∠F=∠D，
在△AEF与△CDE中，，
∴△EDC≌△EFA．
（2）∵AB=3，BC=5，
∴CF=BC=5，AF=CD=AB=3，
∵△AFE≌△CDE，
∴AE=CE，EF=DE，
∴DE2+CD2=CE2，即DE2+32=（5﹣DE）2，
∴DE=1.6，
∴EF=1.6，
∴图中阴影部分的面积=S
△ACF ﹣S
△AEF
=×3×5﹣×3×1.6=5.1．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
四、(每题10分,共20分)
19．（10分）作为某市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：（1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；
（2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次；
（3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2015年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2015年租车费收入占总投入的百分率（精确到0.1%）．
【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的定义即可求解；
（2）利用30乘以每天的平均数即可求解；
（3）根据百分比的意义即可求解．
【解答】解：（1）出现次数最多的是8，则众数是8万车次；
将数据从小到大排列是：7.5，8，8，8，9，9，10则中位数是8万车次；
平均数是：（7.5+8+8+8+9+9+10）=8.5；
（2）根据题意得30×8.5=255（万车次），
在估计4月份共租车255万车次；
（3）根据题意得：=≈3.3%．
则2015年租车费收入占总投入的百分率是3.3%．
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．（10分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
【分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可．
（2）概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P
==．
（数字之积为6）
（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、(每题10分,共20分)
21．（10分）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C 的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i=1：2.4，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin37°=0.6）
【分析】过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，根据斜坡CD 的坡比i=1：2.4，CD=5.2米，求出CE、DE的长度，然后求出AE和DF的长度，在△BDF中，求出BF的长度，即可求出AB的长度．
【解答】解：过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，
则四边形AEDF为矩形，AF=DE，AE=DF，
∵斜坡CD的坡比i=1：2.4，CD=5.2米，
∴设DE=x，CE=2.4x，
CD==2.6x=5.2米，
解得：x=2，
则DE=AF=2，CE=4.8，
∴AE=DF=AC+CE=15.2+4.8=20（米），
在△BDF中，
∵∠BDF=37°，DF=20米，sin37°=0.6，
∴cos37°==0.8，
∴BF=DFtan37°=DF=20×=15（米），
∴AB=AF+BF=2+15=17（米）．
答：该电线杆AB的高为17米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
22．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
．
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S
△ABC
【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，
∴n==﹣2，
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，
=×2×5=5．
∴S
△ABC
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．
六、(每题10分,共20分)
23．（10分）△ABC是⊙O的内接三角形，∠C是最小内角．若过顶点B的⊙O 的一条弦把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条弦为△ABC的关于点B的伴侣分割弦．
（1）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，∠C＜∠B，利用尺规作图画出△ABC的关于点B的伴侣分割弦；
（2）BD是△ABC关于点B的伴侣分割，∠B＞90°，最小内角∠C的度数为30°，BC=2，求BD的长度．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）分三种情形讨论即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求；
（2）①如图1中，当∠ABN=90°，BN=CN时，满足条件；连接AD．
∴NB=NC，
∴∠C=∠NBC=30°，
∴∠ANB=60°，∠BAN=30°，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=BC=2，
∵∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，
∴BD=Q=AB=2
②如图2中，当AN=BN，∠NBC=90°时，满足条件．
同法可得：BD=2．
③如图3中，当∠BNC=90°，AN=BN时，满足条件．
此时BN=AN=1，DN=，
∴BD=1+．
综上所述，满足条件的BD的值为2或1+．
【点评】本题考查作图﹣复制作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考提高题．
24．（10分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域I（阴影部分）和一个剩余区域Ⅱ（空白部分），若区域I 满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等，其中区域I用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）求AB，BC的长；
（2）若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域I的三种瓷砖总价为4800元，设乙的面积为S，丙的单价x，求S与x的函数关系式．
【分析】（1）设AB=2y，则BC=3y，根据6﹣AB=8﹣AD，列出关于x的一元一次方程，解之即可，
（2）根据平行求出甲的面积，从而求出丙的面积用含S的式子表示出来，根据“甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3”，把甲和乙的单价用含x的式子表示出来，再根据“区域I的三种瓷砖总价为4800元”，列出关于x和S的等式，经过整理便可得S与x的函数关系式．
【解答】解：（1）设AB=2y，则BC=3y，
根据题意得：6﹣2y=8﹣3y，
解得：y=2，
AB=4m，BC=6m，
答：AB的长为4m，BC的长为6m，
（2）∵PQ∥AD
∴甲的面积=矩形ABCD面积的一半=12，
丙的面积=24﹣12﹣S=12﹣S，
丙的单价x，甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，甲的单价为（300﹣x）（元/m2），乙的单价为x（元/m2），
根据题意得：12（300﹣S）+xS+x（12﹣S）=4800，
整理得：S=，
答：S与x的函数关系式为S=．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和反比例函数的应用，解题的关键：（1）根等量关系列出一元一次方程，（2）根据等量关系列出反比例函数．
七、(本题12分)
25．（12分）如图，正方形ABCD中，AD=8，点F是AB中点，点E是AC上一点，DE⊥EF，连接DF交AC于点G．
（1）求△DEF的面积；
（2）将△FEG沿EF翻折得到△EFM，EF交DM于点N．
①求证：点M在对角线BD上；
②求MN的长度．
【分析】
（1）如图，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，利用角平分线的性质定理可得EQ=EP，即可解决问题；
（2）①过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，通过计算证明DL=ML 即可解决问题；
②过N作NI⊥AB，则NI=IB，想办法求出BN、BM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，
∵AC是对角线，
∴∠EAQ=∠EAP=45°，
∴EP=EQ，四边形APEQ是正方形，
∵∠QEP=∠DEF=90°，
∴∠DEQ=∠FEP，∵○EQD=∠EPF=90°
∴△DQE≌△FPE，
∴DE=EF，DQ=FP，且AP=EP，
设EP=x，则DQ=8﹣x=FP=x﹣4，
解得x=6，所以PF=2，
∴AE==6，DE==2，
∴S
=×2×2=20．
△DEF
（2）①∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴===2，∵AC=8，DF=4
∴CG=×8=，
∴EG=﹣2=，
AG=AC=，
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，
则易证△GHF≌△FKM全等，
∴GH=FK=，HF=MK=，
∵ML=AK=AF+FK=4+=，DL=AD﹣MK=8﹣=，
即DL=LM，
∴∠LDM=45°
∴DM在正方形对角线DB上，
②过N作NI⊥AB，则NI=IB，
设NI=y，
∵NI∥EP
∴=，
∴=，
解得y=3，
所以FI=4﹣y=1，
∴I为FP的中点，
∴N是EF的中点，
∴EN=EF=，
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=3，
∴BN=3，BK=AB﹣AK=8﹣=，BM=，MN=BN﹣BM=3﹣=，
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，全国全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、(本题14分)
26．（14分）抛物线y1=﹣x2+1交x轴于A、C两点（点A在点C左侧），交y轴于点B，将抛物线向左平移4个单位得到抛物线y2，两条抛物线交于点D．（1）求抛物线y2的解析式；
（2）点P是坐标平面内一点，若△ADC与△CDP全等，直接写出点P坐标；（3）点Q是抛物线y2上第二象限内一点，是否存在点Q使△CDQ中CD边上的高h有最大值，若存在，请求出点Q的坐标和h的最大值．
【分析】（1）先确定抛物线y1=﹣x2+1的顶点B的坐标，再利用抛物线的平移得到y2的顶点坐标为（﹣4，1），然后利用顶点式得到抛物线y2的解析式；
（2）解方程组得D（﹣2，﹣3），解方程﹣x2+1=0得A（﹣1，0），C（1，0），则AC=2，CD=3，易得直线CD的解析式为y=x﹣1，∠ACD=45°，。