专题5.8一元一次方程的应用(4)追赶小明-2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(教师版含解析

2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.8一元一次方程的应用(4)追赶小明
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019秋•崂山区期末)已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是()
A．20米/秒，200米B．18米/秒，180米
C．16米/秒，160米D．15米/秒，150米
【分析】设火车的速度是x米/秒，根据“已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒”，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到火车的速度，根据车长＝火车的速度×火车从开始上桥到完全通过所用的时间﹣桥长，即可得到火车的车长．
【解析】设火车的速度是x米/秒，
根据题意得：
800﹣40x＝60x﹣800，
解得：x＝16，
即火车的速度是16米/秒，
火车的车长是：60×16﹣800＝160(米)，
故选：C．
2．(2020春•九龙坡区期末)甲、乙两人分别从A、B两地同时骑自行车相向而行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙骑自行车的速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻以原路和提高后的速度向A地返行，乙到达A地后也立刻以原路和提高后的速度向B地返行．甲、乙两人在开始出发后的5小时36分钟又再次相遇，则A、B两地的距离是()
A．24千米B．30千米C．32千米D．36千米
【分析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm/h，由第一次到第二次相遇的过程中，甲，乙的路程和是第一次相遇时甲，乙路程和的两倍．可列方程，即可求解．
【解析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm /h ，
5小时36分钟＝535(小时) 由题意可得：2×2x ＝(535−2)(x +2)， 解得：x ＝18，
∴A 、B 两地的距离＝2×18＝36(km )，
故选：D ．
3．(2020•海门市二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？
译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x 日与乙相逢，可列方程．( )
A ．7x+2+5x =1
B ．7x+2−5x =1
C ．x+27=x 5
D ．x+27+x 5=1
【分析】设甲经过x 日与乙相逢，则乙已出发(x +2)日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程＝齐国到长安的距离(单位1)，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．
【解析】设甲经过x 日与乙相逢，则乙已出发(x +2)日，
依题意，得：
x+27+x 5=1．
故选：D ．
4．(2020•娄星区一模)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步；若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？运用所学的知识可求得走路快的人追上走路慢的人需要走的步数是( )
A ．250步
B ．200步
C ．150步
D ．100步 【分析】设走路快的人要走x 步才能追上对方，根据时间＝路程÷速度结合时间相同，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设走路快的人要走x 步才能追上对方，
依题意，得：x 100=x−10060，
解得：x ＝250．
故选：A ．
5．(2020•涡阳县模拟)小明和小亮两人在长为50m 的直道AB (A ，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点……若小明跑步的速度为5m /s ，小亮跑步的速度为4m /s ，则起跑后60s 内，两人相遇的次数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】在60s 内，求两人相遇的次数，关键一是求出两人每一次相遇间隔时间，二是找出隐含等量关系：每一次相遇时间×次数＝总时间构建一元一次方程．
【解析】设两人起跑后60s 内，两人相遇的次数为x 次，依题意得；
每次相遇间隔时间t ，A 、B 两地相距为S ，V 甲、V 乙分别表示小明和小亮两人的速度，则有：
(V 甲+V 乙)t ＝2S ，
则t =
2×505+4=1009， 则1009x ＝60，
解得：x ＝5.4，
∵x 是正整数，且只能取整，
∴x ＝5．
故选：C ．
6．(2019秋•赣榆区期末)A 、B 两地相距550千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/小时，乙车的速度为90千米/小时，经过t 小时，两车相距50千米，则t 的值为( )
A ．2.5
B ．2或10
C ．2.5或3
D ．3
【分析】分两者相遇前相距50千米和两者相遇后相距50千米两种情况，根据路程＝速度×时间，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】依题意，得：110t +90t ＝550﹣50或110t +90t ＝550+50，
解得：t ＝2.5或t ＝3．
故选：C ．
7．(2019春•浦东新区期中)甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发3小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是( )
A ．甲和乙所用的时间相等
B ．乙比甲多走3小时
C ．甲和乙所走的路程相等
D ．乙走的路程比甲多
【分析】两人从同一地点出发，乙追上甲，那么甲走的路程＝乙走的路程．
【解析】∵甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发3小时，乙追上甲，
∴甲和乙所走的路程相等．
故选：C．
8．(2019秋•正定县期末)长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进．在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒．则往返共用的时间为()
A．200s B．205s C．210s D．215s
【分析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒．因为从排尾到排头是追击问题，根据速度差×时间＝队伍长列出方程，求出t1，又从排头到排尾是相遇问题，根据速度和×时间＝队伍长列出方程，求出t2，那么t1+t2的值即为所求．
【解析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒，
根据题意，得(4﹣2)t1＝300，(4+2)t2＝300，
解得t1＝150，t2＝50，
t1+t2＝150+50＝200(秒)．
答：此人往返一趟共需200秒，
故选：A．
9．(2019秋•富锦市期末)某人驾驶一小船航行在甲，乙码头之间，顺水航行需6h，逆水航行比顺水航行多用2h，若水流的速度是每小时2km，那么船在静水中的平均速度为每小时多少千米()
A．14B．15C．16D．17
【分析】设船在静水中的速度为x千米每小时，表示出顺水与逆水速度，根据两码头的距离相等列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解析】设船在静水中的速度为x千米每小时，
根据题意得：6(x+2)＝(6+2)(x﹣2)，
解得：x＝14，
故选：A．
10．(2019秋•大兴区期末)已知下列四个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现
甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距60km的两地同时出发，相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几
小时后两人相遇后又相距20km？
③甲乙两人从相距60km的两地相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，如果甲先走了20km
后，乙再出发，问乙出发后几小时两人相遇？
④甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几
小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中对应数量关系的应用题序号是()
A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②
【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数+乙生产的零件数+未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，根据甲的路程+乙的路程+相遇后又间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程；③设乙出发后x小时两人相遇，根据甲的路程+乙的路程＝两地间的距离，即可得出关于x 的一元一次方程；④设经过x小时后两人相距60km，根据甲的路程+乙的路程+20＝两人间的间距，即可得出关于x的一元一次方程．综上即可得出结论．
【解析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，
依题意，得：4x+6x+20＝60，
∴①可以用方程4x+6x+20＝60来表述；
②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，
依题意，得：4x+6x﹣20＝60，
∴②不可以用方程4x+6x+20＝60来表述；
③设乙出发后x小时两人相遇，
依题意，得：4x+20+6x＝80，
∴③方程4x+6x+20＝60来表述；
④设经过x小时后两人相距60km，
依题意，得：4x+6x+20＝60，
∴④可以用方程4x+6x+20＝60来表述．
故选：B．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上
11．(2019秋•庐阳区期末)甲、乙两站相距80公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里．两车同时开出同向而行，快车在慢车后面追赶慢车，快车与慢车相距30
公里时快车行驶的时间为 1或115小时 ．
【分析】需要分类讨论：慢车在前，快车在后；快车在前，慢车在后．根据它们相距30公里列方程解答．
【解析】设快车与慢车相距30公里时快车行驶的时间为t 小时，
①慢车在前，快车在后时，
由题意得：90t +80﹣140t ＝30
解得t ＝1；
②快车在前，慢车在后时，
由题意得：140t ﹣(90t +80)＝30
解得t =115．
综上所述，快车与慢车相距30公里时快车行驶的时间为1或
115小时． 故答案是：1或115小时．
12．(2019秋•明光市期末)一组自行车运动员在一条笔直的道路上作赛前训练他们以每小时35千米的速度向前行驶，突然运动员甲离开小组以每小时45千米的速度向前行驶10千米然后以同样速度掉转头回来重新和小组汇合，则运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为 0.25 小时．
【分析】理解运动员甲从离开小组到和小组汇合所走的路程+小组走的路程＝10×2，列出方程，即可解答．
【解析】设运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为x 小时．
则有：35x +45x ＝20
解得：x ＝0.25
答：运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为0.25小时．
13．(2019秋•大足区期末)甲乙两车分别从A ，B 两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A 地后未作停留，继续保持原速向远离B 地的方向行驶，而甲车在相遇后又行驶了2小时到达B 地后休整了半小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C 地．则A ，C 两地相距 360 千米．
【分析】设乙车每小时行驶x 千米，则甲车每小时行驶(x +20)千米，由题意得3x ＝2(x +20)，解得x ＝40，则x +20＝60，求出A ，B 两地的距离为300千米，设两车相遇后经过y 小时到达C 地，由题意得60(y ﹣
2.5)＝40(y +3)，解得y ＝1
3.5，求出B ，C 两地的距离为660千米，即可得出答案．
【解析】设乙车每小时行驶x 千米，则甲车每小时行驶(x +20)千米，
由题意得：3x＝2(x+20)，
解得：x＝40，
则x+20＝60，
即乙车每小时行驶40千米，则甲车每小时行驶60千米，
∴A，B两地的距离为：3×60+3×40＝300(千米)，
设两车相遇后经过y小时到达C地，
由题意得：60(y﹣2.5)＝40(y+3)，
解得：y＝13.5，
∴B，C两地的距离为：60(13.5﹣2.5)＝660(千米)，
∴A，C两地的距离为：660﹣300＝360(千米)；
故答案为：360．
14．(2010•合肥校级自主招生)一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；
又过了5分钟，小轿车追上客车；再过了15分钟货车追上客车．
【分析】首先设出货车，客车，小轿车的速度为x、y、z，它们在某一时刻的间距，根据过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车，先表示出小轿车与货车、小轿车与客车的速度差，再求出货车与客车的速度差，从而求出答案．
【解析】设货车，客车，小轿车速度为x、y，z，间距为s，则：10(z﹣x)＝s，15(z﹣y)＝2s，
则z﹣x=
s
10，z﹣y=
2s
15
所以，x﹣y=2s
15
−s10，
得：s
x−y
=30，30﹣15＝15．
故答案为：15．
15．(2020春•番禺区期末)一条船顺流航行，每小时行驶20千米；逆流航行，每小时行驶16千米．若水的流速与船在静水中的速度都是不变的，则轮船在静水中的速度为18千米/小时．
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为(20﹣x)千米/小时，由逆水速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，可求解．
【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为(20﹣x)千米/小时，
由题意可得：x﹣(20﹣x)＝16，
解得：x ＝18，
∴轮船在静水中的速度为18千米/小时，
故答案为：18．
16．(2019秋•海州区校级期末)甲、乙两人从长度为400m 的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200m /min ，乙步行，当甲第三次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过
56或52 min ，甲、乙之间相距100m ．(在甲第四次超越乙前)
【分析】根据速度＝路程÷时间，即可求出乙步行的速度，设再经过xmin ，甲、乙之间相距100m ，根据甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝100或甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝300，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】乙步行的速度为400×2÷[400×(2+3)÷200]＝80(m /min )．
设再经过xmin ，甲、乙之间相距100m ，
依题意，得：200x ﹣80x ＝100或200x ﹣80x ＝300，
解得：x =56或x =52．
故答案为：56或52． 17．(2019秋•沙坪坝区校级期末)A 、B 、C 三地依次在同一直线上，B ，C 两地相距560千米，甲、乙两车分别从B ，C 两地同时出发，相向匀速行驶．行驶4小时两车相遇，再经过3小时，甲车到达C 地，然后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达A 地，则A ，B 两地相距 760 千米．
【分析】设乙车的平均速度是x 千米/时，根据4(甲的平均速度+乙的平均速度)＝560列出方程并求得乙车的行驶平均速度；设甲车从C 地到A 地需要t 小时，则乙车从C 地到A 地需要(t +7)小时，根据它们行驶路程相等列出方程并求得t 的值；然后由路程＝时间×速度解答．
【解析】设乙车的平均速度是x 千米/时，则
4(5607+x )＝560．
解得x ＝60
即乙车的平均速度是60千米/时．
设甲车从C 地到A 地需要t 小时，则乙车从C 地到A 地需要(t +7)小时，则
80(1+10%)t ＝60(7+t )
解得t ＝15．
所以60(7+t )﹣560＝760(千米)
故答案是：760．
18．(2019秋•高邑县期末)轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距 504 千米．
【分析】轮船航行问题中的基本关系为：
(1)船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；
(2)船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A 港和B 港相距x 千米，则从A 港顺流行驶到B 港所用时间为x 26+2小时，从B 港返回A 港用x 26−2小时，根据题意列方程求解．
【解析】设A 港和B 港相距x 千米．
根据题意，得x 26+2+3=x 26−2，
解之得x ＝504．
故填504．
三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(2019秋•崂山区期末)某人乘船由A 地顺流而下到达B 地，然后又逆流而上到C 地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A 、B 、C 三地在一条直线上，若AC 两地距离是2千米，则AB 两地距离多少千米？(C 在A 、B 之间)
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答．
【解析】设AB 两地距离为x 千米，则CB 两地距离为(x ﹣2)千米．
根据题意，得
x 8+2+x−28−2=3
解得 x =252
． 答：AB 两地距离为252千米．
20．(2020春•嘉定区期末)小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．
(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？
【分析】(1)设出发x 分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)①设出发y 分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设出发z 分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】(1)设出发x 分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：300x +220x ＝400，
解得：x =1013．
答：出发1013分钟后，小明、小杰第一次相遇．
(2)①设出发y 分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：300y ﹣220y ＝100，
解得：y =54
．
答：出发54分钟后，小明、小杰第一次相遇． ②设出发z 分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，
依题意，得：300z ﹣220z +20＝100，
解得：z ＝1．
答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．
21．(2019秋•新余期末)一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少千米？
【分析】设A 、B 两地间的路程为x 千米，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为2小时即可列出方程，求出x 的值．
【解析】设A 、B 两地间的路程为x 千米，
根据题意得x 40−x 60=2
解得x ＝240
答：A 、B 两地间的路程是240千米．
22．(2020春•宁阳县期末)已知高铁的速度比动车的速度快50km /h ，小路同学从苏州去北京游玩，本打算乘坐动车，需要6h 才能到达；由于得知开通了高铁，决定乘坐高铁，她发现乘坐高铁比乘坐动车节约72min ．求高铁的速度和苏州与北京之间的距离．
【分析】设高铁的速度为xkm /h ，则动车的速度为(x ﹣50)km /h ，根据时间、路程与速度关系，列出等式，求出x 的值，进一步求出路程即可．
【解析】72min =65h ，
设高铁的速度为xkm /h ，则动车的速度为(x ﹣50)km /h ，依题意有
6(x ﹣50)=245x ，
解得x ＝250，
6(x ﹣50)＝6×(250﹣50)＝1200．
答：高铁的速度为250km /h ，苏州与北京之间的距离为1200km ．
23．(2020春•万州区期末)5月的第二个周日是母亲节，小东准备精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后(接电话时间忽略不计)，立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米．
(1)求父亲贺明和小东骑车的速度；
(2)求小东家到商店的路程．
【分析】(1)设小东骑车速度为x 米/分钟，由“父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米”，列出方程，即可求解；
(2)利用路程＝速度×时间可求解．
【解析】设小东骑车速度为x 米/分钟，则父亲贺明骑车速度=15x+12x×1515=32x (米/分钟)， 由题意可得：10x +10×32x ＝5000，
∴x ＝200
∴32x ＝300米/分钟，
答：父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；
(2)小东家到商店的路程＝15×200+15×100+10×200＝6500(米)，
答：小东家到商店的路程为6500米．
24．(2019秋•慈利县期末)列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．
(1)求经过多少秒摩托车追上自行车？
(2)求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？
【分析】(1)设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程＝1200+骑自行车行驶路程”列出方程并解答；
(2)需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行驶
路程间的数量关系列出方程并解答．
【解析】(1)设经过x秒摩托车追上自行车，
20x＝5x+1200，
解得x＝80．
答：经过80秒摩托车追上自行车．
(2)设经过y秒两人相距150米，
第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，
20y﹣1200＝5y﹣150
解得y＝70．
第二种情况：摩托车超过自行车150米时，
20y＝150+5y+1200
解得y＝90．
答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．。