广西田阳高中2018-2019学年高二数学12月月考试卷 理(含解析)

广西壮族自治区田阳高中2018-2019学年高二12月月考
数学（理）试题
一、选择题：（共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
抛物线方程即为，故准线方程为选A．
2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A. 100,10
B. 200,10
C. 100,20
D. 200,20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%＝10000×2%＝200，
抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，
则近视人数为40×0.5＝20人，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
3.将数30012转化为十进制数为（）
A. 524
B. 774
C. 256
D. 260
【答案】B
【解析】
试题分析：∵．故选B．
考点：排序问题与算法的多样性.
4.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）
A. 55.2，3.6
B. 55.2，56.4
C. 64.8，63.6
D. 64.8，3.6
【答案】D
【解析】
【分析】
首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.
【详解】设这组数据分别为，
由其平均数为，方差是，则有，
方差，
若将这组数据中每一个数据都加上，则数据为，
则其平均数为，
方差为，
故选D.
【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5.下列结论错误的是( )
A. 命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有
C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真
D. “若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真
【答案】D
【解析】
【分析】
写出命题“若p，则q”的逆否命题判断A，通过四种命题的关系和真假判断，即可判断B，由直棱柱的性质可知C成立．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，该命题为假来判断D．
【详解】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若非q，则非p”，故A正确；
一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，互为逆否命题的命题有2对，
根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，∴这四个命题中真命题个数为0、2或4，
故B正确；
由直棱柱的性质可知，直棱柱每个侧面都是矩形，故C成立；
命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，
很显然当m＝0时，该命题为假．故D不成立．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题间的相互关系，考查了直棱柱的性质，属于综合题.
6.已知是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，则面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程可得：c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，再联立两个方程求出t1t2＝12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，
∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，
所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②
把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，
∴∠F1PF2＝3．
故选A．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质与椭圆的定义，考查了解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，属于中档题．
7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）
A. 34
B. 55
C. 78
D. 89
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，①②③
④⑤⑥⑦
⑧，从而输出，故选B.
考点：1.程序框图的应用.
【此处有视频，请去附件查看】
8.双曲线过点（，4），则它的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
【详解】双曲线过点（，4），
可得，可得a＝4，
则该双曲线的渐近线方程为：．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
9.如图，长方体中，，，分别是的中点，则异面直线与所成角为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】D
【解析】
如图：连接B1G，EG
∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角
在三角形B1GF中，B1G=
∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°，
故选 D
10.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，则他们两人在约定时间内相见的概率为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设事件A为“甲乙两人能会面”，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表
示的面积是s＝1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是，进而根据几何概率模型的计算公式可得答案．
【详解】由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“甲乙两人能会面”，
试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|}，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，
满足条件的事件是A＝{（x，y）|，|x﹣y|}
所以事件对应的集合表示的面积是1﹣2，
根据几何概型概率公式得到P．
则两人在约定时间内能相见的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者体积之比来求事件发生的概率，本题属于中档题，
11.直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于两点，若，则椭圆离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的性质结合求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线
的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.
【详解】
椭圆的焦点在轴上，,
，
故直线的方程为，即，
直线（即）的斜率为，
过作的垂线，则为的中点，
，
，
是的中点，
直线的斜率，
，不妨令，
则，
椭圆的离心率，故选D.
【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的
求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
12.双曲线与抛物线相交于两点,公共弦恰好过它们的公共焦点,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知垂直与轴．因为过焦点,则可令
．
因为抛物线和双曲线共焦点,则,所以,
将代入双曲线方程可得,则,
将代入上式并整理可得,即,解得,
因为,所以．故B正确．
考点：1抛物线的定义;2双曲线的离心率．
二．填空题：（每小题5分，共20分）
13.若向量=（4, 2，-4）,=（6, -3，2）,则_____________
【答案】4
【解析】
【分析】
由坐标运算可得2和2的坐标，进而可得其数量积．
【详解】∵（4，2，﹣4），（6，﹣3，2），
由向量的坐标运算可得22（4，2，﹣4）-（6，﹣3，2）＝（2，7，﹣10），
2（4，2，﹣4）+2（6，﹣3，2）＝（16，-4，0）
∴6×2﹣4×7﹣0×（﹣10）＝4
【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
14.命题p:，,若“非p”为真命题，m的取值范围为____________【答案】
【解析】
【分析】
由题意知， x2+mx+20恒成立，即，即可得到结果.
【详解】由题意知，命题p:，为假，即x2+mx+20恒成立，即，所以<0，得到，
故答案为.
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．
15.过原点的直线与圆相交于A、B两点，则弦AB中点M的轨迹方程为
_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k CM k AB＝﹣1，斜率不存在时加以验证．
【详解】设圆x2+y2﹣6x+5＝0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k CM k AB＝﹣1，
∴（x≠3，x≠0），
化简得x2+y2﹣3x＝0（x≠3，x≠0），
②当x＝3时，y＝0，点（3，0）适合题意，
③当x＝0时，y＝0，点（0，0）不适合题意，
解方程组得x，y，
∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣3x＝0（）．
故答案为
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．
16.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线x= - 1的距离之和的最小值为M，若B（3,2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N= ______________
【答案】
【解析】
【分析】
当P、A、F三点共线时，点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线x= - 1距离之和最小，由两点间的距离公式可得M；
当P、B、F三点共线时，|PB|+|PF|最小，由点到直线的距离公式可得．
【详解】可得抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
∴点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和
等于P到点A（﹣1，1）的距离与点P到焦点F的距离之和，
当P、A、F三点共线时，距离之和最小，且M=|AF|，
由两点间的距离公式可得M=|AF|；
由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x＝﹣1的距离，
故|PB|+|PF|等于|PB|与P到准线x＝﹣1的距离之和，
可知当P、B、F三点共线时，距离之和最小，
最小距离N为3﹣（﹣1）＝4,
所以M+N=，
故答案为.
【点睛】本题考查抛物线的定义，涉及点到点、点到线的距离，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属于中档题．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知p:,q:,若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，
从而求出a的范围.
【详解】解得，
解得：，
若p是q的充分不必要条件，
则，
∴，解得：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道基础题；
18.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
【答案】（1）0.125；（2）5；（3）
【解析】
【分析】
（1）由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数．（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
【详解】（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以．
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．
（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）
而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．
【点睛】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19.已知直线与双曲线．
（1）当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的距离；
（2）若直线与双曲线交于两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）写出双曲线渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得，利用点到直线距离公式即可得结果；（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可. 【详解】（1）双曲线渐近线方程为
由得
则到的距离为；
（2）联立方程组，消去得
直线与双曲线有两个交点，
，解得且，
（且）.
，
解得，或，
.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式以及弦长公式的应用，属于中档题.求曲线的弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
20.某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？
参考公式：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程；（2）根据所给的变量的值，把值代入线性回归方程，得到对应的的值，这里的的值是一个预报值.
试题解析：（1）求回归直线方程，，
，，∴因此回归直线方程为；
（2）当时，预报的值为万元，
即广告费用为12万元时，销售收入的值大约是万元.
21.如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.
（1）求证AF PC
（2）BD//平面PEC
（3）求二面角D-PC-E的大小
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）150°.
【解析】
【分析】
（1）依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．
（2）取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．
（3）由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．
【详解】（1）依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。

依题意，可得
A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0），
P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）
∵，，
∴，∴..
（2）取PC的中点M，连接EM.
∵，，
∴，∴.
∵平面PEC，平面PEC，
∴BD//平面PEC.
（3）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，
所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．
设平面PCE的法向量为，
因为，，
所以即
令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．
所以，
所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．
【点睛】本题考查用空间向量解决线线垂直、线面平行的
证明及二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22.如图，已知椭圆C：的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求的面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由离心率为，|F1F2|＝2，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程.
（2）将直线PA1，PA1的方程：y，y分别与椭圆方程联立，得到M、N的坐标，可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x＝ty+1，由结合韦达定理，可得△OMN的面积S2，再利用函数单调性即可求出面积最大值．
【详解】（1）∵离心率为，，
∴，∴，，则b=1
∴椭圆C的方程的方程为：
（2）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA1的方程分别为：，
由，得
∴，可得，
由，可得
∴，可得，
，
直线MN的方程为：，
可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：由得
设，，则，
∴，
∴的面积
令，则
∵，且函数在递增，
∴当，S取得最大值.
【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.。