《高等数学》(经管类专业适用) 教案 第一章 1.1.1教学设计

课题 1.1.1初等函数
教学目标知识目标
1）深刻理解函数的意义，特别是函数的两要素；理解分段函数的概念特征，
会求简单函数的定义域和函数值；2）理解反函数的概念特征，会求简单函数
的反函数；3）熟练掌握基本初等函数的图形、性质与变化趋势； 4）理解复
合函数的概念特征，会分析复合函数的复合过程。

能力目标
通过函数知识的教学活动，训练学生对现实生活中事物之间和现象的正确分
析，准确判断，使学生体会量与量之间的关系，提高实际应变能力，发展学
生思维，培养学生分析解决问题的能力。

教学重点函数的概念和两要素，复合函数的
分解式
教学
难点
求函数的反函数。

教法
学法
以问题来引入课题的讲授法和以理解和巩固概念的练习法
教学反思函数概念在初中数学教学已经引入，这里注重实际应用，特别在经济上的应用，如何提高学生数学应用的能力，为以后章节学习以及后期专业课程的学习，打下坚实基础。

教学过程
设计意图 一、知识回顾
圆的周长、面积公式 二、情境引入
问题1：设某公司每天最多能生产某产品200吨，固定成本为30000元，每生产该产品1吨成本增加1200元，那么该公司每天生产该产品的总成本C 与产量Q 有什么关系？
这种变量C 和Q 的对应关系（C=1200Q+30000）便是函数关系。

三、合作探究
问题2：给出圆半径R 与圆边长L 与圆面积S 之间的关系式？
设x 和
y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一
个数x ，按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称y 是x
的函数，记作 )(x f y =，D x ∈ ，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变
量，y 称为因变量，f 是函数的对应法则．
如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称
0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作000|()x x y y f x ===.
函数值的集合{}D x x f y y M ∈==),(|称为函数的值域.
2y x =与y x =是相同的函数；而函数()2
lg f x x =与()2lg f x x
=是不相同的二个函数（二者定义域不同）. 问题3：函数的只能用数学公式来表示吗？
函数通常有三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 问题4：由用解析式表示的函数的定义域一般如何求得？
求函数的定义域时，应注意如下条件： ①分式函数的分母不能为零；
②偶次根式的被开方式必须大于等于零； ③对数函数的真数必须大于零；
引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备
设置问题情境，引入如何用数学式子表示量与量之间的关系，为给出变量量之间的函数关系做准备。

从具体到抽象，从特殊实例归纳出一般结论的过程，降低学习难度，使学生很自然地学习了新的知识，达到了
突破难点的目的。

引导学生得出函数概念。

引导学生得出函数的两要素。

引导学生了解函数量之间的抽象性
④如果函数的表达式由若干项组合而成，则它的定义域是各项定义域的公共部分；
⑤实际问题对变量的要求.
2.探究例题
【例1】求下列函数的定义域.
（1）()2lg(1)f x x x =
++-； （2）1
()ln(23)
f x x =
-.
解 （1）当且仅当02≥+x 且10x ->时，()x f 才有意义，即12<≤-x ，所以函数的定义域是)1,2[-=D .
（2）当且仅当0)32ln(≠-x 且032>-x 时，()x f 才有意义，即2≠x 且
23>
x ，所以函数的定义域是),2()2,2
3
[+∞⋃=D . 【例2】 已知()3
1f x x =+，求)0(f ,()1f a -,1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
解110)0(3=+=f ；()()3
32
11133f a a a a a -=-+=-+；
3
311111f x x x ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
3.学习新知
问题5：用函数概念判断⎩⎨⎧=x x x f 2)( 00
<≥x x 是不是一个函数，如果是，它的
自然定义域是什么？
问题6：已知某种商品的需求关于价格函数是2005Q P =-，则价格关于需求的函数()P Q 如何表达？ 4.探究例题
【例3】 A 、B 两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤而不超过30公斤的，每公斤收运费0.50
元；超过30公斤而不超过100公斤的，每公斤收运费0.80元。

试列出运输行
李的运费y 与行李的重量x 之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行李分别为18公斤和60公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？
解
仔细讲解例子，让概念回归实际，突
出第一个重点——函数的两要素。

利用函数定义判断给出新函数表示形式——分段函数。

通过实例给出反函
数的概念。

通过例子加深理解分段函数概念。

⎪⎪
⎨⎧-==)
10(50.00
)(x x f y (0≤x ≤10), (10＜x ≤30),
化简为
其定义域为D=[0,10](10,30](30,100]，即定义域为闭区间[0,100].
【例4】求函数110+=x y 的反函数．
解 等式两边同取10为底的对数，得，110lg lg 1+==+x y x
整理得，1lg -=y x ，即110+=x y 的反函数为lg 1x y =-，习惯表达为：lg 1y x =-.
5.学习新知
通过复习指数运算、对数运算和三角运算，引出基本初等函数：
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数
在基本初等函数中主要说明幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（以正余弦、正切函数为主），内容以以上函数的定义域、图像、性质和变化趋势为主。

问题6：企业的产品利润L 是产量Q 的函数，如果产量Q 与生产过程中各种投
入量的总和u 有关，可以通过生产函数Q = f （u ）表示出来，即L 是Q 的函数，而Q 又是u 的函数，那么，L 能否通过Q 是u 的函数？
如果y = f （u ）是u 的函数， )(x u ϕ=是x 的函数；且与x 对应的u 值能使
y 有定义，则称y 是x 的复合函数，记作[()]y f x ϕ=，其中u 叫做中间变量.
利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数，一般分解到每个简单函数都是基本初等函数，或由基本初等函数经过有限次四则运算而成的函数.
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并能用一个表达式表示的函数称为初等函数． 6.探究例题
【例5】指出下列各复合函数的复合过程.
（1）x y 2
sin =； （2）.1cos +=x y
通过例子讲解反函
数的求法
通过复习运算引出基本初等函数的定义域等。

通过问题的分析带出复合函数的定
义。

仔细讲解解题的步骤和认知过程，突出重点，培养学生
⎪⎩
⎪
⎨⎧--=148.05
5.00)(x x x f (0≤x ≤10), (10＜x ≤30), (30＜x ≤100)
解 （1）x y 2sin =是由2
u y =和x u sin =复合而成； （2）1cos +=x y 是由u y cos =，v u =和1+=x v 复合而成.
四、课堂练习
1．求函数)1lg(3++-=x x y 的定义域. 2．指出复合函数)3sin(ln x y =的复合过程.
3．设1,0,()0,0,1,0,x x f x x x x -<⎧⎪
==⎨⎪+>⎩
求)2(-f ，)0(f ，)3(f .
五、 课堂小结
1、理解函数的概念，会求函数的定义域和函数值；
2、了解基本初等函数的定义域、性质、变化趋势，二项分布的概率。

六、布置作业 1．书面作业
必做：《习题集》中的“练习1.1.1（1）与练习（2）” 选做：习题1.1的1，2 2．拓展作业
（1）根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。

（2）以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题（小组之间循环解答）． 3．上机操作
利用MATLAB 求解习题1.1的3。

分析问题和解决问题的能力
通过学与做的课堂活动，引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良
好的学习方式，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，体验成功。

整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系。

按不同层次学生的需求布置作业，挖掘和发展学生的数学能力。