(全册系列精选)华东师大初中数学八年级上册《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高) 2

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；
2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数
后，概念、运算等的一致性及其发展变化；
3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数⎧
⎨
⎩
有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨
⎪⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2
等；②有特殊意义的数，
如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2
a ≥0；
（3
0≥ (0a ≥).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算
数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、平方根和立方根
1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；
【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：
【变式】下列说法其中错误的是（ ）
A ．5是25的算术平方根
B ．()2
4-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4
D ．0的平方根与立方根都是0
【答案】B ；
2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2
2
37-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．
【答案与解析】
解：∵a <<
1，0，1，2
所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤
x ≈2，N 是满足不等式2
2
37-≤x 的最大整数． ∴N ＝2
∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算
3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可． 【答案与解析】 解：∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3| =|7﹣| =7﹣．
【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：
【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；
a －
b 的值是_______.
【答案】1;7a b a b +=-=；
提示：由题意可知3a =，4b =.
4 3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．
π的值．（结果精确到百分位）
【思路点拨】π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】
3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．
∴3.1622－3.1416π＜3.1623－3.1415，
0.0206π＜0.0208，
π≈0.02．
【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：
【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活
动：估算的近似值．
小明的方法：
∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1），
∴（）2=（3+k ）2
，
∴13=9+6k+k 2
，
∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴
≈3+≈3.67．
（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2
=a 2
+2ab+b 2
，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）；
（2的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a ＜a+1，
且m=a 2
+b ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．
【答案】（1）6.08；（2）．
解：（1）∵＜＜，设
=6+k （0＜k ＜1），
∴（）2=（6+k ）2
，
∴37=36+12k+k 2
， ∴37≈36+12k ，
解得k ≈
，
∴≈6+≈6.08．
故答案为：6.08；
（2）若a
＜a+1，且m=a 2
+b ，
≈a+．
故答案为：
．
类型三、实数综合应用
5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣
的立方根．
【答案与解析】
解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．
∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣
的立方根是2．
【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．
举一反三：
【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(2
2
=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.
【答案】
解：∵08)2(22=+++++-c c b a a
∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩
，解得248
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
∴2341280a b c --=-+=
.
6、如图，数轴上A 、B 两点，表示的数分别为－1
，点B 关于点A 的对称点为C ，求点
C 所表示的实数．
【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB 的长度，然后利用对称的性质即可求
出点C 所表示的实数． 【答案与解析】
解：∵数轴上A 、B 两点，表示的数分别为－1
，
∴点B到点A的距离为1，
则点C到点A的距离也为1
设点C的坐标为x，
则点A到点C的距离为－1－x=1，
∴x=－2
【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A 的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。