2017-2018年广东省广州市华南师大附中高三(上)+综合测试数学试卷和答案(理科)(三)
广东省华南师范大学附属中学2017-2018学年高三综合测试(一)(即月考)数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知{}1,2,4,8,16A =，{}2|log ,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,4,8C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,82.已知曲线218y x =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．123.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xxy =+D ．sin 2y x x =+ 4.为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度5.已知()cos 4cos2f x x =-，则()0f 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．86.已知向量,a b ，满足()()26a b a b +-=-，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．23π7.已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9,c 1.1a b ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 8.在ABC ∆中，有一个内角为30°，“030A ∠>”是“1sin 2A >”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 9.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10.对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①()2f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数； ③()()2f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数； 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1c o s ,33A b c ==，则sin C =（ ）A ．9 B ．3 C ．13 D ．912.已知函数()()()[)()222,,0,44ln 1,0x x x f x g x x x x x ⎧+∈-∞⎪==--⎨+∈+∞⎪⎩，，若存在实数a ，使得()()0f a g x +=，则x 的取值范围为（ ）A ．[]1,5-B ．(][),15,-∞-+∞ C ．[)1,-+∞ D ．(],5-∞第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()()3,1,1,2a b =-=-，若()()//a b a kb -++，则实数k 的值是____________． 14.已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．15.已知命题:p 函数()()log 201a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-；命题:q 如果函数()3y f x =-的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象关于点()3,0对称，则命题p q ∨为__________（填“真”或“假”）．16.平面向量,a b 中，若()4,3,1a b =-=，且5a b =，则向量b =__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设U R =，集合{}()(){}2|320,|10A x x x B x x m x =++==++=，若()U C AB=∅，求m 的值．18.（本小题满分12分）设函数()f x a b =，其中向量()()2cos ,1,cos ,3sin 2,a x b x x x R ==∈． （1）若()13f x =-且,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(),2c m n m π⎛⎫=< ⎪⎝⎭平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值． 19.（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且三角形的面积为cos 2S ac B =． （1）求角B 的大小；（2）已知224a c ac +=，求sin sin A C 的值． 20.（本小题满分12分）设函数()()()2101x xa t f x a a a --=>≠且是定义域为R 的奇函数．（1）求t 的值；（2）若()10f >，求使不等式()()210f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围．21.（本小题满分14分）设函数()()()210xf x ax x e a =+-<．（1）当1a =-时，函数()y f x =与()321132g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围；（2）讨论()f x 的单调性．选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲．如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A B 、，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（1）BAC CAG ∠=∠； （2）2AC AE AF =．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ+-=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程 ；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤≤） 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数()25f x x x =---． （1）求函数()y f x =的值域；（2）求不等式()2815f x x x ≥-+的解集．参考答案一、选择题二、填空题 13. -1 14.16 15. 真 16. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：17.解：{}2,1A =--，因为()2140m m ∆=+-≥，所以B 非空，由()U C A B =∅，得B A ⊆，当1m =时，{}1B =-，符合B A ⊆；当1m ≠时，{}1,m B =--，而B A ⊆，所以2m -=-，即2m =．所以12m =或.18.解：（1）依题设，()22cos 212sin 26f x a b x x x π⎛⎫==+=++⎪⎝⎭，由12sin 216x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为33x ππ-≤≤，所以52266x πππ-≤+≤， 所以263x ππ+=-，即4x π=-．19.解：（1）在三角形ABC 中，1sinB 2S ac =，由已知cos 2S B =，可得1sin cos 22ac B ac B =，∴tan B = ∵B 为三角形内角， ∴0B π<<，∴3B π=．（2）∵224a c ac +=，又∵2222cos a c b ac B +=+，∴22cos 4b ac B ac += ∵3B π=，∴23b ac =.由正弦定理可得2sin 3sin sinC B A =， ∵3B π=，∴1sin sin 4A C =． 20.解：（1）法1：因为()f x 是定义域为R 的奇函数所以()00f =，得2t =． 此时()x x f x a a -=-，故()()x x f x a a f x --=-=-成立，所以t 的值为2．法2：因为()f x 是定义域为R 的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()11x x x x a t a a t a --⎡⎤--=---⎣⎦，所以()()20x xt a a --+=对x R ∈恒成立，所以20t -=，即2t =．（2）由（1）得()()210f kx x f x -+-<，得()()21f kx x f x -<--，因为()f x 为奇函数，所以()()21f kx x f x -<-．因为1a >，所以()x x f x a a -=-为R 上的增函数.所以21kx x x -<-对一切x R ∈恒成立，即()2110x k x -++>对一切x R ∈恒成立，故()2140k ∆=+-<，解得31k -<<.21.（1）当1a =-时，()()()23211132x f x g x x x e x x m ⎛⎫-=-+--++⎪⎝⎭，故()23211132x m x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭，令()()23211132xh x x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭， 则()()()()()2211x xh x x x e x x x x e '=-+-+=-++，故当1x <-时，()0h x '<；当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<；()()311,016h h e -=--=-，故3116m e --<<-．（2）因为()()21xf x ax x e =+-，所以()()()()()222121121x x x x a f x ax e ax x e ax a x e ax x e a +⎛⎫'=+++-=++=+ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减； 当12a <-时，21a x a +<-时，()210,0a f x x a+'<-<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，故函数()f x 在21,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时， 0x <时，()210,0a f x x a +'<<<-时，()0f x '>，当21a x a+>-时，()0f x '<； 故函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 22.证明：（1）连结,AB BC 是圆O 直径，∴090ACB ∠=，∴090ACB AGC ∠=∠=，GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠，∴BAC CAG ∠=∠． （2）连结,CF EC 切圆O 于C ， ∴ACE AFC ∠=∠， 又BAC CAG ∠=∠，∴ACF AEC ∆∆，∴AC AF AE AC=，∴2=AC AE AF ． 23.（1）曲线1C 的参数方程为()2x t t y t⎧=⎨=⎩为参数，普通方程为2y x =，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式化简得2sin cos ρθθ=，即1C 的极坐标方程为2sincos 0ρθθ-=．（2）曲线2C 的极坐标方程22cos 40ρρθ+-=化为平面直角坐标方程为22240x y x ++-=，将2y x =代入上式得2340x x +-=，解得1,4x x ==-（舍去）． 当1x =时，1y =±，所以1C 与2C 交点的平面直角坐标为()()1,1,1,1A B -．因为A 1,tan 1,0,02A B B ρρθθρθπ==-≥≤<， 所以7,44A B ππθθ==，故1C 与2C交点的极坐标7,44A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭． 24.解：（1）由题，()3,527,253,2x f x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩因此，当25x ≤≤时，函数()y f x =为增函数，因此()()()3253f f x f -=≤≤=；所以，函数()y f x =的值域为[]3,3-．（2）由题，不等式()2815f x x x ≥-+等价于258153x x x >⎧⎨-+≤⎩或22581527x x x x ≤≤⎧⎨-+≤-⎩或228153x x x <⎧⎨-+≤-⎩；解之得5655x x <≤≤≤或或无解；所以，所求为5⎡⎤⎣⎦．。
【精编】2017-2018年广东省广州市华南师大附中高三(上)+综合测试数学试卷(理科)(三)与解析
2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高三（上）综合测试数学试卷（理科）（三）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=cos 3+isin 3（i为虚数单位），则|z|为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，1}，则集合∁A∪B（A∩B）（）A．φB．{0}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}3．（5分）“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知=5，则cos2α+sin2α的值是（）A．B．﹣ C．﹣3 D．35．（5分）如图，将绘有函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A、B之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣6．（5分）已知向量||=3，||=2，=（m﹣n）+（2n﹣m﹣1），若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．28．（5分）（）A．7 B．C．D．49．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．10．（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2） C．（，1）D．（2，3）11．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）=e3x﹣x3在点（0，f（0））处的切线方程是．14．（5分）在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a，b，c成等比数列，，则=．15．（5分）已知函数f（x）=，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为．16．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数．（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望．19．（12分）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD．（1）证明：直线CE⊥平面ADF；（2）已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角P一DF一A的大小为60°．20．（12分）已知点C是圆F：（x﹣1）2+y2=16上任意一点，点F′与点F关于原点对称，线段CF′的中垂线与CF交于P点．（1）求动点P的轨迹方程E；（2）设点A（4，0），若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q，直线AQ与直线PF交于点B．①证明：点B恒在曲线E上；②求△PAB面积的最大值．21．（12分）函数f（x）=x2+mln（1+x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）＞﹣x1+2x1ln2．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，记f（x）的最小值为k．（1）解不等式f（x）≤x+1；（2）是否存在正数a、b，同时满足：2a+b=k，+=4？并证明．2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高三（上）综合测试数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=cos 3+isin 3（i为虚数单位），则|z|为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：|z|==1．故选：A．2．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，1}，则集合∁A∪B（A∩B）（）A．φB．{0}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵A={﹣1，0}，B={0，1}，则A∪B={﹣1，0，1}，A∩B={0}，C A∪B（A∩B）={﹣1，1}，故选：C．3．（5分）“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“（m﹣1）（a﹣1）＞0”时，则或，此时log a m可能无意义，故“log a m＞0”不一定成立，而当“log a m＞0”时，则或，“（m﹣1）（a﹣1）＞0”成立，故“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个必要不充分条件，故选：B．4．（5分）已知=5，则cos2α+sin2α的值是（）A．B．﹣ C．﹣3 D．3【解答】解：由=5，得，解得tanα=2．∴cos2α+sin2α==．故选：A．5．（5分）如图，将绘有函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A、B之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【解答】解：根据图象可得AM=BN=，A，B在x轴上的投影的距离为，A、B两点之间的距离d==，得T=4，再根据T==4，得ω=．∴f（x）=sin（x+），∴f（﹣1）=sin（﹣+）==．故选：C．6．（5分）已知向量||=3，||=2，=（m﹣n）+（2n﹣m﹣1），若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．D．【解答】解：向量||=3，||=2，与的夹角为60°，∴•=||•||•cos60°=3×2×=3，∵⊥，∴•=0，∴（+）（﹣）=（（m﹣n）+（2n﹣m））•（﹣）=（n﹣m）+（2n﹣m）+（2m﹣3n）•=0∴9（n﹣m）+4（2n﹣m）+3（2m﹣3n）=0，即8n=7m，∴=，故选：A．7．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．2【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故选：B．8．（5分）（）A．7 B．C．D．4【解答】解：（4﹣x2）dx=4dx﹣x2dx=4x﹣x3=4﹣=．故选：C．9．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选：B．10．（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2） C．（，1）D．（2，3）【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选：C．11．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，可得f′（x）=2x（），令f′（x）=0，可得x=0或x=，函数由3个极值点，排除C，D；当x=时，f（）=2（1﹣ln2）＞0，排除B，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴故①错误，②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；故②错误，③当x＜0时，由f（x）=e x（x+1）＜0，得x+1＜0；即x＜﹣1，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；得0＜x＜1，∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；故③正确，④当x＜0时，f′（x）=e x（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；故④正确，∴正确的命题为③④．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）=e3x﹣x3在点（0，f（0））处的切线方程是3x﹣y+1=0．【解答】解：f（x）=e3x﹣x3的导数为f′（x）=3e x﹣3x2；∴f′（0）=3，∵f（0）=1，∴曲线f（x）=e3x﹣x3在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1=3x．即3x﹣y+1=0．故答案为：3x﹣y+1=0．14．（5分）在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a，b，c成等比数列，，则=﹣．【解答】解：△ABC中，cosB=，a+c=3，且a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，即ac=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×=9﹣，解得ac=2；∴•=c•acos（π﹣B）=﹣ac•cosB=﹣2×=﹣．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为（1，2）．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log2a=log2b，即ab=1；∵f（c）==+，∴＜f（c）＜1；故1＜=＜2；故答案为：（1，2）．16．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是或a≥1．【解答】解：p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．∴，或，解得则实数a的取值范围是．故答案为：或a≥1．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）由2a n=S n+2得，2a n﹣1=S n﹣1+2（n≥2），两式相减得a n=2a n﹣1（n≥2）．当n=1时，a1=2，所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，则．（2）由（1）知，b n=n，所以=（﹣）．则数列{}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣﹣）．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数．（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3…（1分）直方图如右所示…．（2分）中位数是计这次考试的中位数是73.3（3分）…．（4分）（2）[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．所以从成绩是7（0分）以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率．=…（8分）（3）因为X～B（4，0.3），所以其分布列为：数学期望为EX=np=4×0.3=1.2…（12分）19．（12分）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD．（1）证明：直线CE⊥平面ADF；（2）已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角P一DF一A的大小为60°．【解答】证明：（1）∵CD∥EF，CD=EF=CF=2，∴四边形CDEF是菱形，∴CE⊥DF，∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，∵AD⊥CD，∴AD⊥平面ACDEF，∴CE⊥AD，又AD∩DF=D，∴直线CE⊥平面ADF．解：（2）∵∠DCF=60°，∴△DEF为正三角形，取EF的中点G，连结GD，则GD⊥EF，∴GD⊥CD，∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD=CD，∴GD⊥平面ABCD，∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，∴E（0，﹣1，），F（0，1，），由（1）知=（0，﹣3，）是平面ADF的法向量，∵=（0，1，），=（1，﹣1，0），设，则==（a，2﹣a，0），设平面PDF的法向量=（x，y，z），则，取y=，则=（），∵二面角P﹣DF﹣A为60°，∴|cos＜＞|===，解得a=，∴P点在靠近B点的CB的三等分点处．20．（12分）已知点C是圆F：（x﹣1）2+y2=16上任意一点，点F′与点F关于原点对称，线段CF′的中垂线与CF交于P点．（1）求动点P的轨迹方程E；（2）设点A（4，0），若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q，直线AQ与直线PF交于点B．①证明：点B恒在曲线E上；②求△PAB面积的最大值．【解答】（1）解：由题意得，|PF′|=|PC|，又|PC|+|PF|=4，∴|PF′|+|PF|=4＞|F′F|=2，由椭圆的定义知，2a=4，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．故动点P的轨迹E：；（2）①证明：设P（m，n）（n≠0），则Q（m，﹣n），且3m2+4n2=12．∴直线QA：，即nx﹣（4﹣m）y﹣4n=0，直线PF：，即nx﹣（m﹣1）y﹣n=0．联立，解得．则==．∴点B恒在曲线E上；②解：设直线PF：x=ty+1，P（x1，y1），B（x2，y2），则由，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0．∴．∴=．从而==．令，则函数g（μ）=3在[1，+∞）上单调递增，故g（μ）=g（1）=4．min∴．即当t=0时，△PAB面积的最大值为．21．（12分）函数f（x）=x2+mln（1+x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）＞﹣x1+2x1ln2．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=2x+==，①当m≥时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当m＜时，f′（x）=0有两个解，x1=，x2=，且x1＜x2，若x1＞﹣1，即0＜m＜时，﹣1＜x1＜x2，此时f（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；若x1≤﹣1，即m≤0时，x1≤﹣1＜x2，此时f（x）在（﹣1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；（2）证明：若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f′（x）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+m，由（1）0＜m＜，∴x1+x2=﹣1，2+2x2+m=0，x2=∈（﹣，0），∴==，令h（x）=，x∈（﹣，0）．h′（x）=+2ln（x+1）．记p（x）=+2ln（x+1）．∴p′（x）=，分母＞0，分子u（x）=2x2+6x+2=2（x+）2﹣在x∈（﹣，0）上单调递增．u（﹣）=﹣＜0，u（0）=2＞0，因此函数p′（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），使得p′（x0）=0．当x∈（﹣，x0），p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而p（x）在（﹣，x0），单调递减，在（x0，0）单调递增．而p（0）=0，p（﹣）=1﹣2ln2＜0，∴p（x）min=p（x0）＜0．∴h′（x）＜0，∴函数h（x）在（﹣，0）上单调递减．∴h（0）＜h（x）＜h（﹣），可得：0＜h（x）＜ln2﹣，即0＜＜﹣+ln2，故2f（x2）＞﹣x1+2x1ln2．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l经过定点（﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由ρ=ρcosθ+2得ρ2=（ρcosθ+2）2，得曲线C的普通方程为x2+y2=（x+2）2，化简得y2=4x+4；﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）若，得的普通方程为y=x+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）联立曲线C：ρ=ρcosθ+2．得sinθ=1，取，得ρ=2，所以直线l 与曲线C 的交点为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|，记f （x ）的最小值为k ． （1）解不等式f （x ）≤x +1；（2）是否存在正数a 、b ，同时满足：2a +b=k ，+=4？并证明． 【解答】解：（1）f （x ）≤x +1，即为： |x ﹣1|+|x ﹣2|≤x +1，当x ≥2时，x ﹣1+x ﹣2≤x +1，即x ≤4，可得2≤x ≤4； 当1＜x ＜2时，x ﹣1+2﹣x ≤x +1，即x ≥0，可得1＜x ＜2； 当x ≤1时，1﹣x +2﹣x ≤x +1，即x ≥，可得≤x ≤1． 综上可得，原不等式的解集为[，4]；（2）不存在正数a 、b ，同时满足：2a +b=1，+=4．理由如下：函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣2）|=1， 当且仅当（x ﹣1）（x ﹣2）≤0，即1≤x ≤2时，f （x ）取得最小值1， 假设存在正数a 、b ，同时满足：2a +b=1，+=4． 将b=1﹣2a 代入第二式，可得+=4，即为8a 2﹣4a +1=0，由判别式为16﹣4×8×1=﹣16＜0， 可得方程无实数解．则不存在正数a 、b ，同时满足：2a +b=1，+=4．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
数学---广东省广州市华南师范大学附属中学2018届高三综合测试试题(二)(理)
广东省广州市华南师范大学附属中学2018届 高三综合测试数学试题（二）（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=xx B ，则（ ） A ．}0|{<=x x B A B ．=R A B U C ．}1|{>=x x B AD ．∅=B A2．3+i=1+i（ ） A ．1+2i B ．1-2i C ．2+i D ．2-i 3．已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．060 B ．030 C ．0120 D ．0150 4．设R ∈θ，则“ππ1212||-<θ”是“21sin <θ”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充要条件5．为了得到函数1π=3sin(-)25x 的图象，只要把x y 21sin3=上所有点（ ） A ．向右平移π5个单位长度 B ．向左平移π5个单位长度 C ．向右平移2π5个单位长度 D ．向左平移2π5个单位长度 6．设1>k ，则关于y x ,的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）A ．长轴在x 轴上的椭圆B ．长轴在y 轴上的椭圆C ．实轴在在x 轴上的双曲线D ．实轴在在y 轴上的双曲线 7．若2-=x 是函数2-1()=(-1)ex f x x +ax 的极值点，则)(x f 的极小值为（ ）A ．1-B ．-3-2eC ．-35e D ．1 8．已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且2π30()d =0⎰f x x ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是（ ） A ．5π=6x B ．7π=12x C ．π=3x D ．π=6x 9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+-D ．]3,221[-10．已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =.若)5.0log (2-=g a ，)2(8.0g b =，)3(g c =，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<11．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R ∈x ，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=xx f ，若在区间)6,2(-内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰好有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B ．)2,1( C ．)2,4(3D ．]2,4(312．如图，半径为1的扇形AOB 中，2π3∠=AOB ，P 是弧AB 上的一点，且满足OB OP ⊥，N M ,分别是线段OB OA ,上的动点，则PN PM ⋅的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．1D ．2二、填空题（每题5分，满分20分） 13．4π25π5πsincos tan =364⋅⋅ ． 14．已知非零向量,满足||3||2=，|||2|+=-，则a 与b 的夹角的余弦值为 ． 15．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20.,1)(x x x x f x，则满足1)21()(>-+x f x f 的x 的取值范围是 ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意R ∈x ，有|||)(|x m x f ≤，则称)(x f 为F 函数，给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有||2|)()(|2121x x x f x f -≤-. 其中是F 函数的序号为 ．三、解答题 （本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c B a C b cos cos 3cos -=. （1）求B cos 的值；（2）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求a 和c 的值.18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，CD AB //，060=∠DAB ，⊥FC 平面ABCD ，BD AE ⊥，CF CD CB ==.（1）求证：⊥BD 平面AED ； （2）求二面角C BD F --的余弦值.19．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,21,4341，且各阶段通过与否相互独立. （1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)1(12222≥>=+b a b y a x 的离心率23=e ，且椭圆C 上一点N 到点)3,0(Q 的距离最大值为4，过点)0,3(M 的直线交椭圆C 于点B A ,. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当3||<AB 时，求实数t 的取值范围.21．已知()e ln xf x =-a x -a ，其中常数0>a .（1）当=e a 时，求函数)(x f 的极值；（2）若函数)(x f y =有两个零点)0(,2121x x x x <<，求证：a x x a<<<<2111； （3）求证：2-2-1e -e ln -0≥x x x x .选做题：22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos(-)=13ρθ，N M ,分别为C 与x 轴，y 轴的交点. （1）写出C 的直角坐标方程，并求N M ,的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.23.已知|1|)(-=ax x f ，不等式3)(≤x f 的解集是}21|{≤≤-x x . （1）求a 的值； （2）若||3)()(k x f x f <-+存在实数解，求实数k 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1-5：ADCAC 6-10：DAADC 11-12：DC二、填空题 13．43-14．3115．),41(+∞- 16．③④三、解答题17．解：（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 6cos sin 2-=， 所以B A B C C B cos sin 3cos sin cos sin =+ 所以B A C B cos sin 3)sin(=+ 由此可得B A A cos sin 3sin =，又因为在ABC ∆中0sin ≠A ，所以31cos =B ； （2）由2=⋅BC BA 得2cos =B ac ， 由（1）知31cos =B ，所以6=ac ， 又由余弦定理12cos 222222=+⇒-+=c a B ac c a b ，于是有⎩⎨⎧=+=12622c a ac ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==66c a ， 所以6==c a .18.证明：（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，CD AB //，060=∠DAB ， 所以0120=∠=∠BCD ADC . 又CD CB =，所以030=∠CDB ，因此090=∠ADB ，BD AD ⊥，又BD AE ⊥，且A AD AE = ，⊂AD AE ,平面AED ， 所以⊥BD 平面AED .（2）解法一：由（1）知BD AD ⊥，所以BC AC ⊥又⊥FC 平面ABCD ，因此CF CB CA ,,两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设1=CB ，则)0,0,0(C ，)0,1,0(B ，)0,21,23(-D ，)1,0,0(F 因此)0,23,23(-=，)1,1,0(-= 设平面BDF 的法向量为)1,1,3(=由于z y x 33==，取1=z ，则)1,1,3(=， 由于)1,0,0(=CF 是平面BDC 的一个法向量， 则5551||||,cos ==⋅<CF m CF m 所以二面角C BD F --的余弦值为55.解法二：如图，取BD 的中点G ，连接FG CG , 由于CD CB =，因此BD CG ⊥，又⊥FC 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ， 所以BD FC ⊥，由于C CG FC = ，⊂CG FC ,平面FCG , 所以⊥BD 平面FCG ，故FG BD ⊥， 在等腰三角形BCD 中，由于0120=∠BCD ， 因此CB CG 21=， 又CF CB =，所以CG CF CG GF 522=+=， 故55cos =∠FGC ，因此二面角C BD F --的余弦值为55.19.解：(1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则41)(,21)(,43)(===C P B P A P 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：83)211(43)()()(=-⨯===B P A P B A p p . （2）ξ可能取值为1,2,341431)()1(=-===A P P ξ， 83)211(43)()()()2(=-⨯====B P A P B A P P ξ， 832143)()()()3(=⨯====B P A P AB P P ξ ξ的分布列为：ξ的数学期望8178********=⨯+⨯+⨯=ξE . 20.解：（1）∵43222222=-==a b a a c e ，∴224b a =， 则椭圆方程为142222=+by b x ，即22244b y x =+设),(y x N ，则22222)3(44)3()0(||-+-=-+-=y y b y x NQ124)1(394632222+++-=++--=b y b y y当1-=y 时，||NQ 有最大值为41242=+b ，解得12=b ，∴42=a ，椭圆方程是1422=+y x （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，AB 的方程为)3(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)3(22y x x k y ，整理得043624)41(2222=-+-+k x k x k由0)41)(19(16242242>+--=∆k k k k ，得512<k 22214124k k x x +=+，222141436k k x x +-=，∴),(),(2121y x t y y x x OB OA =++=+，则)41(24)(12221k t k x x t x +=+=，)41(6]6)([1)(122121k t k k x x k t y y t y +-=-+=+=由点P 在椭圆上，得4)41(144)41()24(222222222=+++k t k k t k化简得)41(36222k t k +=① 又由3||1||212<-+=x x k AB ， 即3]4))[(1(212212<-++x x x x k ，将21x x +，21x x 代入得3]41)436(4)41(24)[1(2222422<+--++k k k k k ，化简，得0)1316)(18(22>+-k k ， 则81,01822>>-k k ，∴51812<<k ②由①，得222241994136k k k t +-=+=，联立②，解得432<<t ，∴32-<<-t 或23<<t 21.解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，（1）当=e a 时，()=e -eln -e xf x x ，e '()=e -xf x x， 而e'()=e -xf x x在),0(+∞上单调递增，又0)1('=f ， 当10<<x 时，0)1(')('=<f x f ，则)(x f 在)1,0(上单调递减；当1>x 时，0)1(')('=>f x f ，则)(x f 在),1(+∞上单调递增，所以)(x f 有极小值0)1(=f ， 没有极大值.（2）先证明：当0)(≥x f 恒成立时，有0<e ≤a 成立.若10<e≤x ，则()=e -(ln +1)0≥xf x a x 显然成立； 若1>e x ，由0)(≥x f 得e ln +1≤x a x ，令e ()=ln +1x x x ϕ，则21e (ln +1-)'()=(ln +1)x x x x x ϕ，令11()=ln +1-(>)e g x x x x ，由011)('2>+=x x g 得)(x g 在1(,+)e∞上单调递增，又因为0)1(=g ，所以)('x ϕ在1(,1)e上为负，在),1(+∞上为正，因此)(x ϕ在1(,1)e上递减，在),1(+∞上递增，所以min ()=(1)=e x ϕϕ，从而0<e ≤a . 因而函数)(x f y =若有两个零点，则>e a ，所以(1)=e -<0f a ， 由()=e -ln -(>e)af a a a a a 得'()=e -ln -2af a a ，则111''()=e ->e ->e ->0e ea a f a a ， 所以()e ln 2af'a =-a -在(e,+)∞上单调递增， 所以e 2()(e)e 3>e -3>0f'a >f'=-， 所以()=e ln af a -a a -a 在(e,+)∞上单调递增，所以e 2()(e)=e -2e >e -2e >0f a >f ，则0)()1(<a f f ，所以a x <<21，由>e a 得1111()e ln e ln a a f =-a -a =+a a -a a a11>e +lne -=e >0a aa a ，则0)1()1(<a f f ，所以111<<x a，综上得a x x a<<<<2111. （3）由（2）知当=e a 时，0)(≥x f 恒成立，所以()=e -eln -e 0≥xf x x ， 即()=e -eln e ≥xf x x ， 设()=(>0)e x x h x x ，则1-'()=ex x h x ， 当10<<x 时，0)('>x h ，所以)(x g 在)1,0(上单调递增； 当1>x 时，0)('<x h ，所以)(x g 在),1(+∞上单调递减；所以()=(>0)e x x h x x 的最大值为1(1)=e h ，即1e e≤x x ， 因而-2e e≤x x ，所以-2()=e -eln e≥xx x f x x ，即2-2-1()=e-e ln -0≥x x f x x x22.解：（1）由πcos(-)=13ρθ得1)sin 23cos 21(=+θθρ， 从而C 的直角坐标方程为12321=+y x ，即23=+y x 0=θ时，2=ρ，所以)0,2(M ，π=2θ时，332=ρ，所以π)2N . （2）M 点的直角坐标为)0,2(，N 点的直角坐标为)332,0(， 所以点的直角坐标为)33,1(，则点的极坐标为， 所以直线OP 的极坐标方程为π=,(-,+)6∈∞∞θρ. 23.解：（1）由3|1|≤-ax ，得313≤-≤-ax ，即42≤≤-ax当0>a 时，ax a 42≤≤-， 因为不等式3)(≤x f 的解集是}21|{≤≤-x x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-2412aa ，解得2=a ，当0<a 时，a x a 24-≤≤，因为不等式3)(≤x f 的解集是}21|{≤≤-x x ，P P )6,332(π所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-1422aa 无解，所以2=a .（2）因为323|)12()12(|3|12||12|3)()(=+--≥++-=-+x x x x x f x f所以要使||3)()(k x f x f <-+存在实数解，只需32||>k解得32>k 或32-<k 所以实数k 的取值范围是),32()32,(+∞--∞ .。
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华南师大附中2018届高三综合测试（一）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出集合与中不等式的解集，确定两个结合，求出两个集合的交集即可．【详解】由题意，集合或，集合，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算，其中熟记集合的运算和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.设，且，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】C【解析】【详解】由题意，当，则，所以充分性不成立，又满足时，理如，此时不成立，所以必要性不成立，所以“”是“”既不充分也不必要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法，也采用特例法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C．【解析】注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．4.设命题，使得，则为（）A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】【详解】由题意，根据命题的否定的概念，可知命题“，使得”，则为“，使得”，故选A．【点睛】本题主要考查了命题的否定的概念，其中熟记全称命题和存在性命题的互为否定的关系是书写全称命题否定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，即可得到图象变换后的三角函数的解析式，得到答案．【详解】由题意，把的图像向左平移个单位，得，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为，故选B．【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质，即可得到答案．【详解】由题意，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了利用函数的性质比较大小问题，其中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.8.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用抽象函数的定义域求解方法和对数函数的性质，列出相应的不等式，即可求解．【详解】由题意，函数的定义域为，即，令，解得，又由满足且，解得且，所以函数的定义域为，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中熟记抽象函数的定义域的求解方法和对数函数的性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的；②若函数的图像关于直线对称，则这样的函数是不唯一的；③若，是第一象限角，且，则；④若是定义在上的奇函数，它的最小正周期是，则．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，如，此时，此时，所以不正确；④中，由，，所以，所以正确，【详解】由题意，①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，若是第一象限角，且，如，此时，此时，所以不正确；④中，若函数是定义在上的奇函数，它的最小正周期为，则，，所以，所以正确，故选B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记三角函数的相关知识，逐个判定是解答的关键，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．10.函数是定义域为的非常值函数，且对任意，有，，则是（）A. 奇函数但非偶函数B. 偶函数但非奇函数C. 奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据，可以确定函数额对称性，再根据，可以确定函数的周期，结合函数的奇偶性的定义，即可判断得到答案．【详解】由题意，因为，所以函数的对称轴为，又，所以，所以函数的周期为，∴是函数的对称轴，所以为偶函数，又∵在R上不是常数函数，所以不恒为0，所以是偶函数但不是奇函数，故选B．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的奇偶性与对称性、周期性的关系，函数的奇偶性可以利用定义判定，也可以利用函数的图象的对称性进行判定，同时主语既是奇函数又是偶函数的函数必为函数，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。
2017届华南师大附中高三综合测试一理科数学参考答案
2016-2017学年度高三综合测试（一）参考答案数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．三. 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. 解：（Ⅰ）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，…………2分2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，……………3分{}|23AB x x ∴=<≤；{}2RB x x =≤{}|3RBA x x ∴=≤ ………………………………………………………5分（Ⅱ）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当C A ⊆ ……………………………………6分当C 为空集时，1a ≤ 当C 为非空集合时，可得 31≤<a综上所述3a ≤ …………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）对p ：由得，因为0a , 所以3a x a ………………………………………………2分 当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<. 又为真时实数的取值范围是………………………………………4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是()2,3 . …………………………………………… 6分(Ⅱ) p 是q 的必要不充分条件，即q p ,且p q ，设{}{}(),()A x p x B x q x ==, 则 B A ……………………………………8分又，A =；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,2 ……………12分19．解：（Ⅰ）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= …………………….2分1(1)0,0f a a>∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴> ……………………4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-22430x ax a -+<(3)()0x a x a --<1a =3x <p x 3x <q x 23x <≤p q ∧p q x ⇒⇒/(2,3]B =(,3)a a224x x x ∴+>-，即2340x x +-> 14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或. ………………………………………6分（Ⅱ）313(1),22f a a =∴-=，……212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+ ………9分令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去. 综上可知2m =． …………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5.400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ …………….4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，21000y x =(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t . 故()f t ==，[]5,20t ∈. ……………….8分 ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得t = 当(t ∈时，()0g t'<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t'>，()g t 是增函数.从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l 的长度最短，最短长度为………………….12分21. 解：(Ⅰ)令0x y ==，恒等式可变为(00)(0)(0)1f f f +=+-，解得(0)1f = ……1分(Ⅱ)任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得21()1f x x ->∵()()()1f x y f x f y +=+-∴()()()()21211211()1f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦所以()f x 是R 上增函数 …………………………4分 （Ⅲ）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+故原不等式可化为：2(2)13f ax x x -+-+<,即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦ 而当*N n ∈时，()(1)(1)1(2)2(1)2f n f n f f n f =-+-=-+-=()(3)3(1)3(1)1f n f nf n -+-=⋅⋅⋅=--所以(6)6(1)5f f =-，所以(1)2f =, 故不等式可化为()212(1)f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()2()13g x x a x =-++，即min ()0g x >成立即可①当112a +<-即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增 则()min ()(1)=1+130g x g a =-++>解得5a >-，所以53a -<<-②当112a +≥-即3a ≥-时，有()2min 111()130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13--<-，所以31a -≤<- 综上，实数a的取值范围是()51- ………………………………………12分22.解：(Ⅰ)()1(),0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以1(1)10mf e+'=-=，所以1m =-，所以11()x f x e x-'=- …………………2分 当01x <<时，1101,1x ex-<<-<-，所以()0f x '<当1x >时，111,10x ex->-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．…………………………………5分(Ⅱ)()1(),0x mf x ex x +'=->，设1()x m g x e x +=-，则21()0x m g x e x+'=+> 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．…………………………………………………6分 由于00x x <<时，0()()0f x f x ''<=；当0x x >时，0()()0f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，…………………………8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以000001()()ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．…………………………………………9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥. 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤.……………………………………………………11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--.即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞.……………………………………………………12分。
广东省华南师范大学附属中学2017-2018学年高三综合测试(一)(即月考)数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5 2.命题“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤3.设248log 3,log 6log 9a b ===，则下列关系中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112 B ．124 C ．14 D ．126.由曲线y =，直线2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．103 B ．4 C ．76D ．6 7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(]4,4- 8.函数()21log f x x =+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2 10.已知函数()sin f x x x =，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.下列命题中是假命题的是（ ）A ．m R ∃∈，使()()2431mm f x m x-+=-是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ） A ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2y =的定义域为____________．14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =，则实数a 的所有可能取值的集合为____________． 15.若25abm ==，且112a b+=，则m =__________． 16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1xA xB x x =≤≤=>．（1）分别求(),R AB C B A ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合． 18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19.（本小题满分12分） 函数()()01xxf x ka aa a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．参考答案一、选择题二、填空题13. ()2,+∞ 14. {}1,0,1-30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭三、解答题：17.解：（1）∵3327x≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-，∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵()312f =，∴132a a -=， (2)2320a a --=，∴122a a ==-或（舍去） ∴()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令()22xxt f x -==-，∵1x ≥，∴()312t f ≥=，∴()()222222g t t mt t m m =-+=-+-， 当32m ≥时，当t m =时，()min 17324g t m =-=-，∴2m =， 当32m <时，当32t =时，()min 17324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去， 综上可知2m =．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）令0x y ==，恒等式可变为()()()00001f f f +=+-，解得()01f =．．．．．．．．．．．．1分 （2）任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得()211f x x ->， ∵()()()1f x y f x f y +=+-，∴()()()()()212112111f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦， 所以()f x 是R 上增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+， 故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<， 即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立， 令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()1,0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当01x <<时，1101,1x e x -<<-<-，所以()0f x '<，当1x >时，111,10x e x->-<-<，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()1,0x mf x ex x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点，所以00001,ln x mex m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x mf x f x ex x m x +≥=-=++， 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
广东省华南师范大学附属中学2017届高三综合测试(一)(即月考)数学(理)试题Word版含答案
数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A （ ） A ．∅ B ．{}2 C ．{}5 D ．{}2,5 2.命题“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤3.设248log 3,log 6log 9a b ===，则下列关系中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112 B ．124 C ．14 D ．126.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．103 B ．4 C ．76D ．6 7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(]4,4- 8.函数()21log f x x =+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2 10.已知函数()sin f x x x =，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.下列命题中是假命题的是（ ） A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x-+=-是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ） A ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2y =的定义域为____________．14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =，则实数a 的所有可能取值的集合为____________． 15.若25abm ==，且112a b+=，则m =__________． 16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>． （1）分别求(),R AB C B A ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合． 18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19.（本小题满分12分） 函数()()01xx f x ka aa a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．参考答案一、选择题二、填空题13. ()2,+∞ 14. {}1,0,1-30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭三、解答题：17.解：（1）∵3327x≤≤，即13333x≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵()312f =，∴132a a -=， (2)2320a a --=，∴122a a ==-或（舍去） ∴()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令()22xxt f x -==-，∵1x ≥，∴()312t f ≥=，∴()()222222g t t mt t m m =-+=-+-， 当32m ≥时，当t m =时，()min 17324g t m =-=-，∴2m =，当32m <时，当32t =时，()min 17324g t m =-=-，解得253122m =>，舍去， 综上可知2m =．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）令0x y ==，恒等式可变为()()()00001f f f +=+-，解得()01f =．．．．．．．．．．．．1分 （2）任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得()211f x x ->， ∵()()()1f x y f x f y +=+-，∴()()()()()212112111f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦， 所以()f x 是R 上增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+，故原不等式可化为：()2213f ax x x-+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<， 即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110mf e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当01x <<时，1101,1x e x -<<-<-，所以()0f x '<，当1x >时，111,10x e x->-<-<，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()1,0x mf x ex x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点，所以00001,ln x mex m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x mf x f x ex x m x +≥=-=++， 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2017-2018年广东省华南师大附中高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
元．现此企业有如下三种应对方案： 方案 方案一 方案二 方案三 防控等级 无措施 防控 1 级灾害 防控 2 级灾害 费用（单位：万元） 0 40 100
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 20． （12 分）已知圆 M：x2+（ y+1）2= （1）求 p 的值； （2）当 p＞0 时，直线 l 与抛物线 C、圆 M 均只有一个公共点，求直线 l 的 方程． 21． （12 分）已知函数 f （ x）=（ x﹣1﹣ ）ex+1，其中 e=2.718⋅ ⋅ ⋅ 为自然对 数的底数，常数 a＞0． （1）求函数 f （ x） 在区间[0，+∞） 的零点个数； （2）设函数 g （ x） 的导数 g′（x）=（ex﹣a） f （x） ，a∈（1，e） ，判断 ln a 是函数 g （ x） 的极大值点还是极小值点？并说明理由． 经过抛物线 C：x2=2py 的焦点．
10． （5 分）设 a＞1，则双曲线 A． B．
11． （5 分）幻方，是中国古代一种填数游戏．n（n∈N*，n≥3）阶幻方是指将 连续 n2 个正整数排成的正 方形数阵， 使之同一行、 同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如 图 1） ，即现在的图 2．若某 3 阶幻方正中间的数是 2018，则该幻方中的最小
19． （12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的 频 率 分 布 条 形 图 如 图 （ 乙 ） 所
示． （1）试估计该河流在 8 月份水位的中位数； （2）我们知道若该河流 8 月份的水位小于 40 米的频率为 f，该河流 8 月份 的水位小于 40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g， 则该河流 8 月份的水位 小于 40 米且发生 1 级灾害 的频率为 f×g，其它情况类似．据此，试分别估 计该河流在 8 月份发生 1、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p1，p2，p3； （3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万 元； 若受 1 级灾害影响， 则亏损 100 万元； 若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万
2018年高三最新 广东省华南师大附中2018学年第一学期
广东省华南师大附中2018—2018学年第一学期期末高三水平测试数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题木指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：锥体的体积公式,31Sh V =其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知等差数列{a n }是单调数列，且a 1,a 3,a 4,成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则3523S S S S --的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．不能确定2．如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ）A ．334 B ．354 C ．324 D ．不确定3．已知两向量b a ,的夹角为60°，且,2||2||==b a 在△ABC 中，b a AB -=，,a CA =则A 的值为（ ）A ．120°B ．30°C ．150°D ．60°4．右图是某公交线路收支差额y 与乘客量x 之间的关系图（收支差额=车票收入+财政补贴-支出费用；假设财政 补贴和支出费用与乘客量无关），在这次公交、地铁票 价听证会上，有市民代表提出“增加财政补贴，票价实 行8折优惠”的建议.则下列四个图像反映了市民代表 建议的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设集合},,,)1ln()(|{},11|{为增函数函数A x ax x x f a B x x A ∈-+==<<-=则=⋂B A （ ） A ．{5.01|≤<-x x } B ．{11|<<-x x }C ．{15.0|<≤x x }D ．空集 6．定义x ⊙,3y y x -=则a ⊙(a ⊙a)等于 （ ）A ．-aB ．a3C ．aD ．a3-7．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“)(x f 为偶函数”是“2为函数)(x f 的一个周期”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是 （ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13—15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．已知A （2，1），B （—2，3），以AB 为直径的圆的方程为______________. 10．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案（阴影部分）．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_________.11．观察：①tan10°·tan20°+tan20°·tan60°+tan60°·tan10°=1；②tan15°·tan25°+tan25°·tan50°+tan50°·tan15°=1；③tan13°·tan27°+tan27°·tan50°+tan50°·tan13°=1．已知以上三式成立且还有不少类似的等式成立，请你再写出一个这样的式子：______________． 12．有一地球同步卫星A 与地面四个科研机构B 、C 、D 、E ，它们两两之间可以相互接发信息，由于功 率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处 发送信息（例如A 不能同时给B 、C 发信息，它 可先发给B ，再发给C ），它们彼此之间一次接发 信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星 发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短 时间为________．13（选做题）．在极坐标系中，以ρcos θ+1=0为准线，（1，0）为焦点的抛物线的极坐标方程为_______________．14（选做题）．不等式5|33||||12|<-++++x a x x 的解集非空，则a 的取值范围为___________． 15（选做题）．在圆内接△ABC 中，AB=AC=35，Q 为圆上一点，AQ 和BC 的延长线交于点P （如 图），且AQ ：QP=1：2，则AP=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知：函数m xx x f +-=2sin 2)sin(3)(2ωω的周期为π3，且当],0[π∈x 时，函数)(xf的最小值为0．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）在△ABC 中，若.sin ),cos(cos sin 2,1)(2的值求且A C A B B C f -+==17．（12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．18．（14分）如图，已知几何体ABC-DEF 中，△ABC 及△DEF 都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD ∥AF ，O 为AB 中点． （1）求证：AB ⊥平面DCO ．（2）若M 为CD 中点，AF=x ，则当x 取何值时，使AM 与平面ABEF 所成角为45°？试求相应的x值．（3）求该几何体在（2）的条件下的体积．19．（14分）已知函数23)(nx mx x f +=（m 、n ∈R ，m ≠0）的图像在（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行．（1）求n ，m 的关系式并求)(x f 的单调减区间；（2）证明：对任意实数,1021<<<x x 关于x 的方程： ),(0)()()(211212x x x x x f x f x f 在=---恒有实数解．（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数)(x f 是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间（a,b ）内导数都存在，则在（a,b ）内至少存在一点x 0，使得.)()()('0ab a f b f x f --=如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明： 当b a <<0时，aab a b b a b -<<-ln （可不用证明函数的连续性和可导性）20．（14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足114,2+==n n n a a S a （1）求;,,432a a a （2）求;n a（3）若,2)(2211n n n nn n n b a C a C a C =+++ 求证：nb b b 147222221-≤++ .21．（14分）椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．广东省华南师大附中2018—2018学年第一学期期末高三水平测试数学试题（理科）参考答案1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．5)2(22=-+y x 10．π111．612．tan5°·tan 20°+ tan 20°·tan 60°+ tan 60°·tan 5°=1 13．θθρcos 4sin 2= 14．13<<-a 15．15 16．（1）截：m x m x x x f +-+=+-+=1)6sin(21)cos()sin(3)(πωωω3分 依题意函数)(x f 的周期为π3，4分 即m x x f +-+==∴=1)632sin(2)(,32,32πωπωπ5分1)632sin(21656326],,0[≤+≤∴≤+≤∴∈πππππx x x)(x f ∴的最小值为m,0=∴m6分即1)632sin(2)(-+=πx x f7分（2）1)632sin(11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 而∠C ∈(0，π), ∴∠C=2π9分在Rt △ABC 中，)cos(cos sin 2,22C A B B B A -+==+π251sin 0sin sin cos 22±-==--∴A A A A 解得11分.215sin ,1sin 0-=∴<<A A 12分17．（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则 5415)32()32)(31()(+=C A P2分 243131])32()32)(31([1)(5415=+⋅-=∴C A P4分 答：该生考上大学的概率为2431315分（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，6分,91)31()2(2===ξP274313231)3(12=⋅⋅⋅==C P ξ27431)32(31)4(213=⋅⋅⋅==C P ξ 8148)32()32(31)5(4314=+⋅⋅==C P ξ 10分故ξ的分布列为：81815274273912=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE12分18．解：（1）因为△ABC 为等边三角形， O 为AB 的中点，故AB ⊥CO ，1分 又CD ∥AF ，在矩行ABEF 中AB ⊥AF ， 所以AB ⊥CD ，2分由CD ∩CO=C ，证得AB ⊥平面DCO 4分（2）设I 为EF 中点，连接OI ，依题意，四边形OIDC 为等腰梯形 5分在梯形OIDC 中过O 作OH ⊥CD 垂足为H ，过M 作MG ∥OG ，则MG ⊥OI ，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF因为OIDC ∩面ABEF=OI ，所以MG ⊥面ABEF 6分连接AC ，则∠MAG 等于直线AM 与平面ABEF 所成角7分因为在正三角形ABC 中，AO=1，CO=3，在等腰梯形OIDC 中，CH=1，OG=0.5x ；所以在直角三角形OCH 中，213=-=OH ，即;2=MG在直角三角形AOG 中，241422+=+=x x AG8分由2,1422tan 2=∴=+==∠x x AGMGMAG10分（3）连接AH 、BH ，由（1）（2）可知，该几何体的体积等于两个以三角形ABH 为底面，CH 为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH 为底面，AF 为高的三棱柱的体积之和12分Θ△ABH=2,1,221===⋅AF OH OH AB 14分3282212312=⨯+⨯⨯⨯=∴-DEF ABC V 解二：建坐标系（略）19．解：（1）因为nx mx x f 23)('2+= 1分 由已知m n n m f 303,0)2('-==+=即所以2分即.0)2(0)(',63)('2>->-=x mx x f mx mx x f 知由 当);2,0()(,200的减区间为或时得x f x x m ><> 3分当);,2(),0,()(,200+∞-∞<<<的减区间为时得x f x m 4分综上所述：当);2,0()(,0的减区间为时x f m >当);,2(),0,()(,0+∞-∞<的减区间为时x f m5分（2）)33()()(212122211212x x x x x x m x x x f x f --++=--Θ6分0)()()('1212=---∴x x x f x f x f可化为,03363212122212=++----x x x x x x x x 令2121222123363)(x x x x x x x x x h ++----=7分则)32)(()(21211-+-=x x x x x h ，)32)(()(21122-+-=x x x x x h ， 即)32)(32()()()(212122121-+-+-=x x x x x x x h x h 又因为,1021<<<x x所以0)32(,0)32(2121<-+<-+x x x x ，即0)()(21<x h x h 8分故0)(=x h 在区间),(21x x 内必有解，即关于x 的方程),(0)()()('211212x x x x x f x f x f 在=---恒有实数解9分（3）令),,(,ln )(b a x x x g ∈= 10分则)(x g 符合拉格朗日中值定理的条件，即存在),,(0b a x ∈使a b ab a b a g b g x g --=--=ln ln )()()('0 11分因为0),1,1()('0),,(,1)('>-∈<<∈=a b ab x g b a b a x x x g 可知由12分即,1lnln ln )()()('10a a b a b a b a b a b a g b g x g b <-=--=--=< a a b a b b a b -<<-∴ln14分20．解：（1）8,6,4432===a a a3分 （2）由已知：当n>1时，,411=--+n n a a 5分 当n 为偶数时，,24)15.0(2n n a a n =⨯-⨯+= 6分当n 为奇数时，,24]1)1(5.0[1n n a a n =⨯-+⨯+= 7分（此处等价于证出数列为等差）故n a n 2=对任意正整数n 都成立，即n a n 2= 8分（3）nb b n nC k C a C n n n n k n kn k kn 1,222,22111=∴=∴==Θ--- 11分 所以222222211312111nb b b n ++++=+++ nn n )1(1321411131211222-++⨯++≤++++=.1471113121411n nn -=--++-++=14分21．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心1分故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+ 3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222 4分 若30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b 5分 由25350962±-==++b b b 得（舍去） 6分 若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当 7分 由165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x 8分（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+kyx ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y将点Q （00,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ……④ 11分由③④得Q （33,332-k ）12分 而Q 点必在椭圆内部11632220<+∴y x ，由此得29400294,0,2472<<<<-∴≠<k k k k 或又故当)294,0()0,294(⋃-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分。
2018年最新 华南师大附中2018学年度高三综合测试(1)数学试题(理科) 精品
华南师大附中2018—2018学年度高三综合测试（1）数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共40分）一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=))21((1|| 111|| 2|1|)(2f f x x x x x f ，则 （ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．41252．已知2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数3．若函数)(x f y =的反函数)(1x f y --=的图象与y 轴交于点P （0，2），则方程0)(=x f 的根是（ ） A ．x =4 B ．x =3 C ．x =2 D ．x =1 4．下列关系中，成立的是（ ）A ．10log )51(4log 3103>>B ．4log )51(10log 3031>>C ．0313)51(10log 4log >>D ．0331)51(4log 10log >>5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ）A ．)5.60(5060≤≤+=t t t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤=5.65.3 ,501505.35.2,1505.20,60t t t t t xC ．⎩⎨⎧>-≤≤=5.3 ,501505.20,60t t t t xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤=5.65.3 ),5.3(501505.35.2,1505.20,60t t t t t x6．若函数],[)(b a x f y 在区间=上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得B ．若)()(b f a f <0，存在且只存在一个实数0)(),(=∈c f b a c 使得C ．若)()(b f a f >0，有可能存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得D ．若)()(b f a f <0，有可能不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得7．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象 （ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．设b>0，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+-第二部分（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数),2[54)(2+∞-+-=在区间mx x x f 上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则 )1(f 等于10．若集合B A x xy y B x x y y A ⋂≤<-==≤≤-==，则}10,12|{},11,|{31等于 11．函数2231x x y -+=单调减区间是 ；值域是12．对任意)}(1,1max{)( , ,},max{,R x x x x f ba b ba ab a R b a ∈++-=⎩⎨⎧<≥=∈，则函数，记的最小值是13．已知两变量x ，y 之间的关系为x y x y lg lg )lg(-=-，则以x 的自变量的函数y 的最小值为14．已知集合M 是满足下列条件的函数)(x f 的全体； ①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的s 、t ∈),0[+∞，都有)()()(t s f t f s f +≤+在三个函数中，)1ln()(12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x ，属于集合M 的是 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知全集U=R ，集合}.02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （Ⅰ）当m=3时，求A B C U ⋂；（Ⅱ）若}41|{<<-=⋂x x B A ，求实数m 的值. 16．（本小题满分12分）已知函数).,1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f （Ⅰ）当,21时=a 求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对任意),1[+∞∈x ，都有)(x f >0恒成立，试求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.18元，但实际出厂单价不能低于51元.（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=)(x f 的表达式； （Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）18．（本小题满分14分）设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x 、y ，都有)()()(y f x f xy f +=；②当x >1时，)(x f <0；③1)3(-=f . （Ⅰ）求)91()1(f f 、的值；（Ⅱ）如果不等式2)2()(<-+x f x f 成立，求x 的取值范围；（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式2)2()(<-+x f kx f 有解，求正数k 的取值范围. 19．（本小题满分14分）P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点. 如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分） 已知函数)0(|11|)(>-=x xx f ，. （Ⅰ）当1)()(0>=<<ab b f a f b a ，求证，且；（Ⅱ）是否存在实数)(,b a b a <使得函数y=)(x f 的定义域、值域都是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.D8.B 二、填空题9．25 10．[－1，1] 11．),21[ ];1,1(+∞- 12．1 13．4 14．)(),(21x f x f 三、解答题 15．解：∵516101116≤<-⇔⎩⎨⎧≤+>+⇔≥+x x x x ∴}51|{≤<-=x x A（Ⅰ）当m=3时，}31|{<<-=x x B ， 则}31|{≥-≤=x x x B C U 或 ∴}53|{≤≤=⋂x x B C A U（Ⅱ）由024}41|{2<--=<<-=⋂m x x x x x B A 是方程可知的根， ∴有04242=-⨯-m 成立， 解得m=8 此时}42|{<<-=x x B ，符合题意 16．（Ⅰ）解：当221)(21++==xx x f a 时， 设21212122112121212)(2121)()(1x x x x x x x x x x x f x f x x -⋅-=--+=-≥>，则， ∵0212,0 121212121>->-∴≥>x x x x x x x x ，，∴)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-，即 ∴),1[)(+∞在区间x f 上为增函数， ∴),1[)(+∞在区间x f 上的最小值为.27)1(=f（Ⅱ）解法一：在区间02)(),1[2>++=+∞xax x x f 上恒成立 02),1[2>+++∞⇔a x x 上在区间恒成立.设),1[ ,22+∞∈++=x a x x y ∴当x =1时，a y +=3min ，当且仅当30)(03min ->>>+=a x f a y 恒成立，故时，函数 解法二 ),1[2)(+∞∈++=x x a x x f ，，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正；当a <0时，函数)(x f 的递增，故当x =1时，a x f +=3)(min ， 当且仅当a x f +=3)(min >0时，函数)(x f >0恒成立，故a >－317．解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则55002.051601000=-+=x ， 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，（Ⅱ）当时，当时，550100601000≤<=≤<x P x ， 5062)100(02.060xx P -=--= 当,51550=≥P x 时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=)550(51).)(550100(5062)1000(60)(x N x x x x x f P（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 ).( )500100(5022)1000(20)40(2N x x x x x x x P L ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=-= 当x =500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元.18．解：（Ⅰ）令x =y=1易得0)1(=f .而211)3()3()9(-=--=+=f f f ，且.2)91(0)1()91()9(===+f f f f ，得（Ⅱ）由条件①及（Ⅰ）的结果得：,20)91()]2([<<<-x f x x f 其中由函数)(x f 在R 上的递减性，可得：⎪⎩⎪⎨⎧<<>-20,91)2(x x x 由此解得x 的范围是3221,3221(+-） （Ⅲ）同上理，不等式2091)2(2)2()(<<>-<-+x x kx x f kx f 且可化为， 可得 )2(91x x k ->，此不等式有解等价于k>[)2(91x x -]min∵911)]2([max >=-k x x ，故即为所求范围. 19．解：当0<a <1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减；当a >1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减.曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点等价于.252104)32(2><>--a a a 或，即 情形（1）：P 正确，且Q 不正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此)1,21[]]25,1()1,21[[)1,0(∈⋃⋂∈a a ，即 情形（2）：P 不正确，且Q 正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此).,25()],25()21,0[(),1(+∞∈+∞⋃⋂+∞∈a a ，即综上，a 取值范围是).,25()1,21[+∞⋃20．（Ⅰ）解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤<-=-=1 ,1110 ,11|11|)(x xx x x x f故]1,0()(在x f 上是减函数，而在),1(+∞上是增函数， 由,211111110)()(0=+-=-<<<=<<ba b a b a b f a f b a ，即，和得，且 而.112112>>+=ab abb a ，所以 （Ⅱ）不存在这样的实数a ，b.假设存这样的实数a ，b 使得函数)(x f y =的定义域、值域是都是 [a ，b]①当0<a <b<1时，函数]1,0(11)(在-=x x f 上是减函数，则⎩⎨⎧==ab f b a f )()(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a bb a 1111， 解得a =b 与0<a <b<1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a ，b. ②当1<a <b 时，函数),1(11)(+∞-=在x x f 上是增函数，则⎩⎨⎧==b b f a a f )()(， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-b ba a 1111， 此时实数a ，b 为方程012=+-x x 的两根，但方程012=+-x x 无实根，因此不存在满足条件的实数a ，b.③当0<a <1<b ，此时显然有],[0)1(],[1b a f b a ∉=∈，而（这是因为a >0）， 故此时不存在满足条件的实数a ，b.综合①②③可得满足条件的实数是不存在的.。
2018年高三最新 广东省华南师大附中2018学年度高三综合测试(三)数学试题(文科) 精品
广东省华南师大附中2018—2018学年度高三综合测试（三）数学试题（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上， 用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．函数xx x f 1ln )(-=的零点个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若xxb x g a x f b a b a ==≠≠=+)()()1,1(0lg lg 与，则函数其中的图象 （ ）A ．关于直线y=x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称4．下列能使θθθtan sin cos <<成立的θ所在区间是 （ ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．),2(ππD ．)23,45(ππ5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是 （ ）A ．x y 2cos =B ．x y sin 2=C ．xy cos )31(=D ．x y tan -= 6．已知数列{a n }中，a 1=2，前n 项和S n ，若n n a n S 2=，则a n =（ ）A ．n2 B ．14+n C ．)1(2+n nD ．)1(4+n n7．不等式02||2<--x x 的解集是（ ）A ．}22|{<<-x xB ．}22|{>-<x x x 或C ．}11|{<<-x xD ．}11|{>-<x x x 或8．已知函数1)(0,01),sin()(12=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f x e x x x f x ，若π，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）A ．}22,1{-B ． {1，22}C ．{－22}D ．{1}9．设函数P M x f x P x f x M x ax x f ≠⊂≥'=<=--=，若，集合}0)(|{},0)(|{1)(，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．（0，1）C ．),1(+∞D ．),1[+∞10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,，则复数、、、”类比推出“d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22，则、、、”③“若b a b a R b a >⇒>-∈0，则、、”类比推出“若b a b a c b a >⇒-∈0.,则、”④“若111||<<-⇒<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）. 11．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z= 12．在等比数列{a n }中，∏∏==+=⋅===92110131i i n nki k k ia a a a aa a ，则，若，13．已知xy y x R y x ，则，且14,=+∈+的最大值为14．将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的300应出现在第 行.三、解答题；本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分） 已知a>0且1≠a命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； 命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点. 如果“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，求a 的取值范围.16．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知.272cos 2sin 42=-+C B A a+b=5，c=7，（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 18．（本小题满分14分）在公差为d （d ≠0）的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{c n }的前n 项和T n .19．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB|=3米，|AD|=2米.（Ⅰ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AM 的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.20．（本小题满分14分）定义域为R 的偶函数)(ln )(0)(R a ax x x f x x f ∈-=>时，，当，方程0)(=x f 在R 上恰有5个不同的实数解. （Ⅰ）求x<0时，函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 1．C2．B 利用数形结合求解，令xy x y x x x x 1ln 1ln 01ln ====-与，即求函数，得的交点个数.3．C 解析：取满足2121lg lg ===+b a b a ，则的特殊值可得答案C. 4．B 解析：取答案各区间的特点值343236ππππ、、、代入检验即可. 5．D 解析：B 、C 的函数周期为2π，不合题意，A 的函数在区间),2(ππ上为增函数，不合题意6．D 解析：由a 1=2知答案A 不正确，再由a 1+a 2=S 2=4a 2322=⇒a 可得答案B 、C 不正确 7．A 解析：2||02||01||0)1|)(|2|(|02||2<⇒<-⇒>+<+-⇒<--x x x x x x x ，由 22<<-⇒x ，故选A.8．A 解析：2221221)sin(01;110a k a a a a e a a ⇒+=⇒=⇒<<-=⇒=⇒≥-ππππ时时=2k+2221-=a ，由范围得，故选A. 9．D 解析：0)(,1,1)(110)1(1)(2='=⇒≠==≥⇒≥--='x f M x x f a a x a x f φ时，，当满足}0|{),,1(1;}0|{0)(≠==>⊂⇒≠=⇒≥'≠x x P a M a P M x x P x f 时，当 P M ≠⊂，故a 的取值范围是),1[+∞，故选D.10．B 解析：①、②正确，③、④错误，因为③、④中对于虚数的情况没有大小关系，故选B. 二、填空题11．答案：1－i 解析：i z i ii z -=⇒+=-=11112．答案：81 解析：813)())()()((441016574839298765432====a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13．答案：161 解析：∵161)24(41441,,2=+≤⋅=⋅∴∈+y y x y x y x R y x ，当且仅当81,214===y x y x 即时取等号. 14．答案：18 解析：每行的数字取值从（n －1）2+1到n 2，而172<300<182，故300在第18行.三、解答题：15．解：∵1,0≠>a a ， ∴命题P 为真时1,0a <⇔命题P 为假时1>⇔a命题Q 为真时，252101,004)32(2><<≠>>--=∆⇔a a a a a 或，即，且 命题Q 为假时 2521≤≤⇔a 由“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，知P 、Q 有且只有一个正确.情形（1）：P 正确，且Q 不正确)1,21[252110∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<⇔a a a ，即情形（2）：P 不正确，且Q 正确),25(252101+∞∈⎪⎩⎪⎨⎧><<>⇔a a a a ，即或 综上，a 取值范围是),25()1,21[+∞⋃ 另解：依题意，命题P 为真时，0<a<1曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点等价于04)32(2>--a ， 得 2521><a a 或 故命题Q 为真时，2521><a a 或 由“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，知P 、Q 有且只有一个正确.等价于P 、Q 为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分. 由图形知a 取值范围是),25()1,21[+∞⋃ （注：如果答案中21端点取了开区间，扣2分） 16．解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨. 获得利润z 万元依题意可得约束条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001032005436049y x y x y x y x作出可行域如右图利润目标函数z=6x+12y由几何意义知当直线l ：z=6x+12y ，经过可行域上的点M 时，z=6x+12y 取最大值.解方程组 ⎩⎨⎧=+=+20054300103y x y x ，得M （20，24）答：生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，才能使此工厂获得最大利润17．解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C 整理，得01cos 4cos 42=+-C C 解得：21cos =C∵︒<<︒1800C ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－2ab ∴ab b a 3)(72-+==25－3ab 6=⇔ab∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC 18．解：（1）由条件得：126,4565711-=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+n n n b n a q d qd qd （2）123216)45(611661--++⨯+⨯+=++++=n n n n c c c c T ① ∴6T n =6+6×62+11×63+…+（5n －4）6n ② ①－②：n n n n T 6)45()666(51512--++++=--n n n n n 6)1(556)45(5)61(6511---=----⋅+=-∴16)1(+-=n n n T 19．解：设AM 的长为x 米(x>3)∵||||||||AM DC AN DN = ∴32||-=x x AN∴32||||2-=⋅=x x AM AN S AMPN…………3分（Ⅰ）由S AMPN >32得32322>-x x ， ∵12430)12)(4(04816,32><<∴>-->+-∴>x x x x x x x 或，即即AM 长的取值范围是（3，4）),12(+∞⋃（Ⅱ）令2222)3()6(3)3(3)3(633--=---='-=x x x x x x x y x x y ，则 ∴当),6(0,6+∞>'>，即函数在y x 上单调递增，x<6，0<'y ，函数在（3，6）上单调递减∴当x=6时，322-=x x y 取得最小值即S AMPN 取得最小值24（平方米）此时|AM|=6米，|AN|=4米答：当AM 、AN 的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是24平方米.另解：以AM 、AN 分别为x 、y 轴建立直角坐标系，设1),2,3()3(),,0(),0,(=+>by a x MN C a b N a M 的方程为直线，则 由C 在直线MN 上得 ab b a 312123-=⇔=+ ∴)31(162163232ab b a ab S AMPN-=⋅=>⇔>=124048162><⇔>+-⇔a a x a 或∴AM 的长取值范围是（3，4）),12(+∞⋃（Ⅱ）∵4,62324232231===≥⇒⋅≥+=b a ba ab b a b a ，即，当且仅当时等号成立. ∴|AM|=6米，|AN|=4米时，S AMPN 达到最小值24答：当AM 、AN 的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是24平方米. 20．解：（1）设x<0，则－x>0∵)(x f 为偶函数， ∴ax x x f x f +-=-=)ln()()( （2）∵)(x f 为偶函数，∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况 ∵),0(0)(01)(+∞∈>'≤∴-='x x f a a xx f ，时，当即 ),0(ln )(+∞-=在ax x x f 为单调增函数，故),0(0)(+∞=在x f 不可能有两实根 ∴a>0 令ax x f 10)(=='，得 当)(0)(1)(,0)(10x f x f a x x f x f a x ，时，递增，当时，<'>>'<<递减， ∴ax x f 1)(=在处取到极大值1ln --a又当-∞→+∞→-∞→→)(,)(0x f x x f x ，当时， 要使x x f x 与时，)(0>轴有两个交点当且仅当1ln --a >0 解得e a 10<<，故实数a 的取值范围（0，e1） 方法二：（2）∵)(x f 为偶函数， ∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况x y x f ln 0)(=⇔=的零点个数与直线ax y =交点的个数.∴当0≤a 时，x y ln =递增与直线y=ax 下降或是x 国， 故交点的个数为1，不合题意 ∴a>0由几何意义知x y ln =与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与x y ln =相切之间的情形. 设切点t x k t t t x 1|)(ln )ln ,(='=⇒= ∴切线方为 )(1ln t x t t y -=-由切线与y=ax 重合知e a e t t t a 1,1ln ,1==⇒== 故实数a 的取值范围为（0，e1）。
高三数学-2018【数学】广东华南师范大学附属中学2018
广东华南师范大学附属中学 2018届高三数学模拟题（一）本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1、设集合A = {}x ||x |<4 ，B = {}x |x 2－4x + 3≥0 ，则集合{}x |x ∈ A 且x ∉ A ∩B =(A) (1，3) (B) [1，3] (C) (－4，1)∪(3，4)(D) [－4，1]∪[3，4]2、若集合A = {0，2，3}，B ={}A b ,a ,ab x x ∈=，则B 的真．子集的个数是 (A) 4(B) 8(C) 15(D) 163、如果命题“p 且q ”是假命题，那么(A) 命题“非p ”与“非q ”的真假不同 (B) 命题“非p ”与“非q ”至少有一个是真命题(C) 命题“p ”与“非q ”同真假 (D) 命题“非p 且非q ”是真命题 4、“函数y = f(x)在x = x 0处连续”是“函数y = f(x)在x = x 0处可导”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件5、设随机变量ξ 的分布列为P(ξ = k ) = a ·( 13 )k (其中k = 1,2,3)，则a 的值为(A) 1(B) 913 (C) 1113 (D) 2713 6、设随机变量ξ 满足E ξ = －1，D ξ = 3 ，则E[3(ξ 2－2)] =(A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 367、1x lim →x 2－3x + 2x 3－4x + 3=(A) 1(B) 12(C) 0 (D) 不存在8、下列说法中正确的是(A) i sin θ 是纯虚数(B)a + b i = c + d i ⇔ ⎩⎨⎧ a = cb = d(C)a -的平方根是i a ±(D)0321=++++++n n n n i i ii (n ∈ N)9、已知函数f(x) = ⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3 (x <－3)2 (－3≤x <0) x + 2 (x ≥0)，有下面四个结论：① f (x)在x = 0处连续；② f (x)在x = －3处连续； ③ f (x)在x = 0处可导； ④ f(x)在x = －3处可导． 其中正确结论的个数是(A) 1个 (B) 2个(C) 3个 (D) 4个10、函数y = asinx + 13 sin3x 在x = π3 处有极值，则a =(A) －6 (B) 6 (C) －2 (D) 211、如果函数f(x) = ax 3－x 2 + x －5在(－∞, + ∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是(A) (0，+ ∞) (B) [0，+ ∞)(C) (13 ，+ ∞)(D) [13 ，+ ∞)12、已知f(x) = 2x 3－6x 2 + m (m 为常数)，在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为(A) －37 (B) －29 (C) －11 (D) －5第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13、在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率是15 ，则他在射击时击中目标所需要的射击次数ξ 的期望是****.14、已知z 1，z 2是方程z 2－2z + 2 = 0的两根，且z 1对应点在第一象限，则 z 1z 2=****.15、在等比数列 {a n } 中，已知a 1 = 23 ，a 3a 4 = －118，则∞→n lim (1a 1 + 1a 2 + ┄ + 1a n) = ****.16、曲线y = x 3 + 3x 2 + 6x －10的切线中，倾斜角最小的直线方程为****.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、(本小题满分12分)解关于x 的不等式x 2－(a + 3)x + 2(a + 1)≥0．18、(本小题满分12分)已知袋中有红色球3个，蓝色球2个，黄色球1个，从中任取一球，确定颜色后，不再放回袋中．(1) 求在三次选取中恰好有两次取到蓝色球的概率；(2) 若取到红球就结束选取，且最多只可以取三次，求取球次数的分布列及数学期望．19、(本小题满分12分)已知z 2 = 3 + 4i ，求z 3－6z + 24z 的值．20、(本小题满分12分)有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计；如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b )． （1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1． 图（a ） 图（b ）图（a ）图（b ）21、(本小题满分12分)已知数列 {a n }，其中a 2 = 6且a n + 1 + a n －1a n + 1－a n + 1= n ．(1) 求a 1，a 3，a 4；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3)求∞→n lim (1a 2－2 + 1a 3－3 + ┄ + 1a n －n )．22、(本小题满分14分)设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值－23 ． （1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：34|)()(|21≤-x f x f ．参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．ACBBD BADAD DA二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13、5 14、i 15、98 16、3x －y －11 = 0 三、解答题：17、(本小题满分12分)解：原不等式可化为(x －2)(x －a －1)≥0， 2分(1) 当a + 1>2即a>1时，解得x ≥a + 1或x ≤2； 5分 (2) 当a + 1 = 2即a = 1时，解得x ∈ R ； 7分(3) 当a + 1<2即a<1时，解得x ≥2或x ≤a + 1； 10分∴ 原不等式的解集：当a ≥1时，是{}x |x ≥a + 1或x ≤2 ；当a<1时，是{}x |x ≥2或x ≤a + 1 ． 12分18、(本小题满分12分)解（1）从6个球中选取3个，共有A 63种取法， 2分三次选取中，恰好有两次取到蓝色球，共有C 31C 41 A 22种取法， 4分所以在三次选取中，恰好有两次取到蓝色球的概率为P = C 31C 41 A 22A 63 = 15 ． 6分（2）设取球次数为随机变量ξ ，则ξ =1、2、3， 8分 其分布列是：ξ 12 3 P123101510分 ∴ E ξ =1×12 + 2×310 + 3×15 = 1.7． 12分 19、(本小题满分12分)解：设z = a + b i (a,b ∈ R)，则z 2 = (a 2－b 2) + 2ab i ， 2分∴ (a 2－b 2) + 2ab i = 3 + 4i ⇔ ⎩⎨⎧ a 2－b 2 = 32ab = 4， 3分解得 ⎩⎨⎧ a = 2b = 1 或 ⎩⎨⎧ a = －2 b = －1， 5分即z = 2 + i 或z = －2－i ． 6分又z 3－6z + 24z = z 4－6z 2 + 24z = － 1z ， 8分当z = 2 + i 时，z 3－6z + 24z = －12 + i = －25 + 15 i ； 10分 当z = －2 － i 时，z 3－6z + 24z = －1－2－i= 25 － 15 i ． 12分20、(本小题满分12分) 解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ， 1分 所以V=（4－2x ）2·x = 4(x 3－4x 2 + 4x) (0<x<2) ． 3分 ∴ V / = 4(3x 2－8x + 4)， 4分令V / = 0，即4(3x 2－8x + 4) = 0，解得x 1 = 23 ，x 2 = 2 (舍去) ． 6分 又当x<23 时，V />0；当23 <x<2时，V /<0． 7分 ∴ 当x = 23 时，V 取得最大值V 1 = 12827 ． 8分（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2 = 3×2×1 = 6，显然V 2>V 1．故第二种方案符合要求．图① 图② 图③12分 21、(本小题满分12分)解：(1) 由a 2 = 6，a 2 + a 1－1a 2－a 1 + 1 = 1，a 3 + a 2－1a 3－a 2 + 1 = 2，a 4 + a 3－1a 4－a 3 + 1 = 3， 1分解得a 1 = 1，a 3 = 15，a 4 = 28． 3分(2) 由此猜想a n = n (2n －1) ． 4分 下面用数学归纳法加以证明：① 当n = 1时，a 1 = 1×(2×1－1) = 1，结论正确；当n = 2时，a 1 = 2×(2×2－1) = 6，结论正确． 5分 ② 假设n = k (k ≥2)时结论正确，即a k = k(2k －1) ． 则当n = k + 1时，∵a k + 1 + a k －1a k + 1－a k + 1= k ，∴ (k －1)a k + 1 = (k + 1)a k －(k + 1) = (k + 1)k(2k －1)－(k + 1)= (k + 1)(2k 2－k －1) = (k + 1)(2k + 1)(k －1)，∵ k －1 ≠ 0，∴ a k + 1 = (k + 1)[2(k + 1)－1]，即当n = k + 1时，结论正确． 7分 由①②可知，{a n } 的通项公式是a n = n (2n －1) ． 8分(3) ∵ 1a n －n = 12n (2－1) = 12 ( 1n －1－1n ) 10分∴ ∞→n lim (1a 2－2 + 1a 3－3 + ┄ + 1a n －n ) = ∞→n lim 12 (1－1n ) = 12 ． 12分22、(本小题满分14分)解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有， 1分d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立， 0,0==∴d b ，c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(． 3分∵ x = 1时，)(x f 取极小值－23 ， ∴ 3a + c = 0且a + c = －23 ， 解得a = 13 ，c = －1． 5分（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 6分假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-⋅-x x …………（*） 8分∵x 1、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x ，此与（*）相矛盾，故假设不成立． 9分（3）证明：f /(x) = x 2－1，令f /(x) = 0，得x = ±1，∵ x ∈ (－∞,－1)或x ∈ (1, + ∞)时，f /(x)>0；x ∈ (－1,1)时，f /(x)<0， 10分]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且32)1()(,32)1()(min max -===-=f x f f x f ， 11分 ∴在[－1，1]上，有| f(x) |≤23 成立， 12分于是当x 1，x 2 ∈ [－1,1]时，343232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f ． 14分。
2017-2018学年华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳高级中学四校联考高三(上)期末数学试卷(
2017-2018学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深 圳高级中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60 分）1. （ 5 分）集合 A 二｛x|x 2 _5x 6 …0｝ , B 二｛x|2x_1 .0｝，则斤2=（）A .（-匚；-,2]U [3，:：）B . 1 （护1 1C .匕,3]D .（- 2 22】U 【3，:：）2 -2. （ 5分）i 为虚数单位，则复数 z =—— i-在复平面上对应的点位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C . 第三象限D .第四象限|x y, 63. （5分）若实数x , y 满足条件 x-3y, -2，则2x 3y 的最大值为（）xT5. （5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算 法求某多项式值的一个实例， 若输入n , x 的 值分别为4, 2，则输出v 的值为（）A . 21B . 174 H4. （ 5 分）已知两个单位向量 a , b 的夹角为 A .3 B .42 C . 14D . 54 4120 , r R ，则|a - kb I 的最小值为（ 3C . 1 D.- 26. （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）1 324.,(x) x 亠x 亠x，若函数y = f3 3的值为（）8 . （ 5分）已知函数f （x ） =si n （「x •.0 ）图象的一个对称中心为 （,0），且f （2— 1）=一，则■ ■的最小值为（ ）4 29. （5分）已知关于x 的方程sin （專「x ），sin 「 x ）二m 在区间[0 , 2二）上有两个实根 石,x 2 , 2 且lx -X 2 I …二，则实数m 的取值范围为（ ）A . （- 5，1）B . （- 5，1]C . [1，、- 5）D . [0，1）10. （ 5分）已知抛物线E:y 2=2px （ p 0 ）的焦点为F , O 为坐标原点，点M （-卫， 29） , N （-号,-1），连结0M , ON 分别交抛物线 E 于点A , B ，且A , B , F 三 点共线，则p 的值为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4x—+1 x <111. （5分）e 为自然对数的底数，已知函数 f （ x ） = 8 '，则函数y = f （x ）-axInx T,x"唯一零点的充要条件是（）B . 64C . 65D . 130C . （x a ） b 为奇函数，则a bC . 01 9a ：：： T 或a 或 a --e 2 81 1B . a "T 或 8 剟3e 27. （5分）已知函数f锥P _ABC 的外接球的表面积为（ ）三、解答题（共5小题，满分60 分）17. (12分)已知等差数列 ®｝的前n 项和为S , a = -(■・0 ) , ana =2. S 7(n N*). （I ） 求’的值；1（II ）求数列｛ ｝的前n 项和T n .a n an +18. （12分）依据某地某条河流 8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方12. （5 分）在三棱锥 P —ABC 中，PA=PB=AC二 BC 二 2 , PC =1，则三棱C . 12 二52 二二、填空题（共 4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）如图是一组数据（x,y ）的散点图，经最小二乘法计算, y 与x 之间的线性回归方程为？4.4 3.2 1.9-f 0.9":O13 4 x14.（5分）1(x__+1)(X215.（5分）过双曲线一2 2爲-1（a 0,b 0）右顶点且斜率为 2的直线，与该双曲线的右支a b交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为16. （ 5 分）如图在平面四边形 ABCD 中，A =45，B =60，D =150 ，AB =2BC =4， 则四边形ABCD 的面积为4 . . 3X-1）展开式中X 3的系数为B图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙频)所示.试估计该河流在8月份水位的中位数；(I)以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；(n)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案：万案防控等级费用(单位：万兀)万案一无措施0万案二防控1级灾害40万案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.19. (12分)已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD为菱形，PD = PB , H为PC上的点，过AH 的平面分别交PB , PD于点M , N，且BD//平面AMHN .(I) 证明：MN _ PC ；(II) 当H为PC的中点，PA二PC二3AB , PA与平面ABCD所成的角为60，求二面角P - AM -N的余弦值.轴交于点M 、N , P 为椭圆E 上的动点，| PM | | PN H2a , ;PMN 面积最大值为,3 .(I) 求圆O 与椭圆E 的方程；(II) 圆O 的切线I 交椭圆E 于点A 、B ，求|AB|的取值范围.a21. (12分)已知函数f ( x) =( x -^-)e x 1，其中e =2.71灶为自然对数的底数，常6 数 a . 0 .(I) 求函数f ( x)在区间(0, •：：)上的零点个数；(II) 函数F ( x)的导数F(x) =(e -a) f (x),是否存在无数个a (1,4),使得Ina 为数F ( x)的极大值点？说明理由.(二)选考题：共 10分•请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］x = 2 2cos :22. (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 G ：x ，y =1与曲线C ?： .(= 2sin 屮「为参数，门三［0 , 2二)).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (I)写出曲线G , C2的极坐标方程； (II )在极坐标系中，已知点A 是射线(二…。
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2016年江苏省泰州市高考物理一模试卷一、单项选择题，本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个选项符合题意．1．（3分）一质量为m的人站在观光电梯内的磅秤上，电梯以0.1g的加速度加速上升h高度，在此过程中（）A．磅秤的示数等于mg B．磅秤的示数等于0.1mgC．人的动能增加了0.9mgh D．人的机械能增加了1.1mgh2．（3分）如图所示，在载流直导线近旁固定有两平行光滑导轨A、B，导轨与直导线平行且在同一水平面内，在导轨上有两可自由滑动的导体ab和cd．当载流直导线中的电流逐渐增强时，导体ab和cd的运动情况是（）A．一起向左运动B．一起向右运动C．ab和cd相向运动，相互靠近D．ab和cd相背运动，相互远离3．（3分）如图所示，一物块受到一个水平力F作用静止于斜面上，此力F的方向与斜面平行，如果将力F撤去，下列对物块的描述正确的是（）A．物块将沿斜面下滑B．物块受到的摩擦力变大C．物块立即获得加速度D．物块所受的摩擦力方向改变4．（3分）如图所示路线，已知电源电动势为E，内阻为r，R0为固定电阻，当滑动变阻器R的触头向上移动时，下列论述不正确的是（）A．灯泡L一定变亮 B．伏特表的示数变小C．安培表的示数变小D．R0消耗的功率变小5．（3分）在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一个面积不变的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示，取线圈中磁场B的方向向上为正，当磁场中的磁感应强度B随时间t如图乙变化时，下列图中能正确表示线圈中感应电流变化的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的动能将（）A．不断增大B．不断减小C．先减小后增大D．先增大后减小二、多项选择题．本题共5小题，每小题得4分，共计20分，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．7．（4分）载人飞船绕地球做匀速圆周运动．已知地球半径为R0，飞船运行的轨道半径为KR0，地球表面的重力加速度为g0，则飞船运行的（）A．加速度是K2g0B．加速度是C．角速度是D．角速度是8．（4分）如图甲，一理想变压器原副线圈的匝数比为2：1，原线圈的电压随时间变化规律如图乙所示，副线圈电路中接有灯泡，额定功率为22W；原线圈电路巾接有电压表和电流表．现闭合开关，灯泡正常发光．若用U和I分别表示此时电压表和电流表的读数，则（）A．灯泡的额定电压为l10VB．副线圈输出交流电的频率为50HzC．U=220V，I=0.2AD．原线圈输入电压的瞬时表达式为u=220sin100πtV9．（4分）如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻r不能忽略．R1和R2是两个定值电阻，L是一个自感系数较大的线圈．开关S原来是断开的．从闭合开关S到电路中电流达到稳定为止的时间内，通过R1的电流I1和通过R2的电流I2的变化情况是（）A．I1开始较大而后逐渐变小B．I1开始很小而后逐渐变大C．I2开始很小而后逐渐变大D．I2开始较大而后逐渐变小10．（4分）如图（a）所示，质量相等的a、b两物体，分别从斜面上的同一位置A由静止下滑，经B点的水平面上滑行一段距离后停下．不计经过B点时的能量损失，用传感器采集到它们的速度﹣时间图象如图（b）所示，下列说法正确的是（）A．a在斜面上滑行的加速度比b的大B．a在水平面上滑行的距离比b的短C．a与斜面间的动摩擦因数比b的小D．a与水平面间的动摩擦因数比b的大11．（4分）如图甲所示，Q1、Q2还两个固定的点电荷，一带负电的试探电荷仅在电场力作用下以初速度v a沿两点电荷连线的中垂线从a点向上运动，其v﹣t 图象如图乙所示，下列说法正确的是（）A．两点电荷一定都带负电，但电量不一定相等B．两点电荷一定都带负电，且电量一定相等C．t1、t2两时刻试探电荷在同一位置D．t2时刻试探电荷的电势能最大三、简答题：本题共2小题，共计20分，请将解答填写在答题卡相应的位置．12．（8分）为了“探究加速度与力、质量的关系”，现提供如图甲所示的实验装置：（1）以下实验操作正确的是．A．将木板不带滑轮的一端适当垫高，使小车在砝码及砝码盘牵引下恰好做匀速运动B．调节滑轮的高度，使细线与木板平行C．先接通电源后释放小车D．试验中小车的加速度越大越好（2）在实验中，得到一条如图乙所示的纸带，已知相邻计数点间的时间间隔为T=0.1s，且间距s1、s2、s3、s4、s5、s6已量出，则小车加速度a=m/s2（结果保留两位有效数字）；（3）有一组同学保持小车及车中的砝码质量一定，探究加速度a与所受外力F 的关系，他们在轨道水平和倾斜两种情况下分别做了实验，得到了两条a﹣F图线．如图丙所示，图线是在轨道倾斜情况下得到的（选填“①”或“②”）：小车及车中的砝码总质量m=kg．13．（12分）某同学要测量一均匀新材料制成的圆柱体的电阻率ρ．步骤如下：（1）用游标为20分度的卡尺测量其长度如图1，由图可知其长度L=mm；（2）用螺旋测微器测量其直径如图2，由图可知其直径D=mm；（3）用多用电表的电阻“×10”挡，按正确的操作步骤测此圆柱体的电阻，表盘的示数如图3，则该电阻的阻值R=Ω．（4）该同学想用伏安法更精确地测量其电阻R，现有的器材及其代号和规格如下：待测圆柱体电阻R电流表A1（量程0～10mA，内阻约50Ω）电流表A2（量程0～50mA，内阻约30Ω）电压表V1（量程0～3V，内阻约30kΩ）电压表V2（量程0～15V，内阻约50kΩ）直流电源E（电动势4V，内阻不计）滑动变阻器R1（阻值范围0～50Ω，允许通过的最大电流0.5A）开关S、导线若干．为使实验误差较小，要求测得多组数据进行分析，请在图4中画出测量的电路图，并标明所用器材的代号．四、计算题：本共4小题，共计62分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤．只写出最后答案的不得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14．（14分）如图所示，倾角为α=30°的光滑固定斜面，斜面上相隔为d=8m平行虚线MN与PQ间有大小为B=0.1T的匀强磁场，方向垂直斜面向下．一质量为m=0.1kg，电阻为R=0.2Ω，边长L=1m的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈cd边从距PQ上方x=2.5m处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，切ab边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动，重力加速度g=10m/s2．求：（1）cd边刚进入磁场时，线圈的速度v1；（2）线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电量q；（3）线圈通过磁场的过程中，ab边产生的热量Q．15．（15分）预警雷达探测到敌机在20000m上空水平匀速飞行，立即启动质量m=100kg的防空导弹，导弹的火箭发动机在制导系统控制下竖直向下喷气，使导弹由静止以a=10g（g=10m/s2）的加速度竖直向上匀加速上升至5000m高空，喷气方向立即变为与竖直方向成θ角（cosθ=）斜向下，导弹做曲线运动，直至击中敌机．假设导弹飞行过程中火箭推力大小恒定，且不考虑导弹质量变化及空气阻力，导弹可视为质点．试求：（1）火箭喷气产生的推力；（2）导弹从发射到击中敌机所用的时间；（3）导弹击中敌机时的动能．16．（16分）如图所示，一压缩的轻弹簧左端固定，右端与一滑块相接触但不连接，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，A点左侧地面光滑，AB 的长度为5R，现将滑块由静止释放，滑块运动到A点时弹簧恢复原长，以后继续向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的光滑圆弧BC，在C点正上方有一离C 点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后进入P孔，又恰能从Q孔落下，已知物体通过B点时对地面的压力为9mg．求：（1）滑块通过B点时的速度v B；（2）弹簧释放的弹性势能E p；（3）平台转动的角速度ω应满足什么条件．17．（17分）在竖直面内建立直角坐标系，曲线y=位于第一象限的部分如图，在曲线上不同点以初速度v0向x轴负方向水平抛出质量为m，带电量为+q的小球，小球下落过程中都会通过坐标原点，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域，磁感应强度为B=T，方向垂直纸面向里，小球恰好做匀速圆周运动，并在做圆周运动的过程中都能打到y轴负半轴上（已知重力加速度为g=10m/s2、=102C/kg）．求：（1）第三象限的电场强度大小及方向；（2）沿水平方向抛出的初速度v0；（3）为使所有的小球都打到y轴负半轴，所加磁场区域的最小面积．2016年江苏省泰州市高考物理一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题，本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个选项符合题意．1．（3分）一质量为m的人站在观光电梯内的磅秤上，电梯以0.1g的加速度加速上升h高度，在此过程中（）A．磅秤的示数等于mg B．磅秤的示数等于0.1mgC．人的动能增加了0.9mgh D．人的机械能增加了1.1mgh【解答】解：A、根据牛顿第二定律得：F﹣mg=ma解得：F=mg+ma=1.1mg，即磅秤的示数等于1.1mg，故AB错误；C、根据动能定理得：△E K=W合=mah=0.1mgh，故C错误；D、人上升h，则重力做功为﹣mgh，可知重力势能增大mgh，动能增加0.1mgh，则机械能增大了1.1mgh，故D正确．故选：D2．（3分）如图所示，在载流直导线近旁固定有两平行光滑导轨A、B，导轨与直导线平行且在同一水平面内，在导轨上有两可自由滑动的导体ab和cd．当载流直导线中的电流逐渐增强时，导体ab和cd的运动情况是（）A．一起向左运动B．一起向右运动C．ab和cd相向运动，相互靠近D．ab和cd相背运动，相互远离【解答】解：根据右手螺旋定则知，直线电流下方的磁场方向垂直纸面向里，电流增强时，磁场增强，根据楞次定律得，回路中的感应电流为abdc，根据左手定则知，ab所受安培力方向向右，cd所受安培力向左，即ab和cd相向运动，相互靠近．故C正确，A、B、D错误．故选：C．3．（3分）如图所示，一物块受到一个水平力F作用静止于斜面上，此力F的方向与斜面平行，如果将力F撤去，下列对物块的描述正确的是（）A．物块将沿斜面下滑B．物块受到的摩擦力变大C．物块立即获得加速度D．物块所受的摩擦力方向改变【解答】解：物体受重力、支持力、拉力及摩擦力而处于平衡，重力可分解为垂直于斜面及沿斜面的两个力；垂直斜面方向受力平衡，而沿斜面方向上有拉力重力的分子及摩擦力而处于平衡；故摩擦力应与拉力与重力分力的合力平衡；如图所示：当F撤去后，垂直斜面方向上受力不变，而沿斜面方向上只有重力的分力存在，很明显重力的分力小于刚才的合力，故物体不会发生滑动；此时的摩擦力仍为静摩擦力，方向沿斜面向上；故A、B、C错误，D正确；故选D．4．（3分）如图所示路线，已知电源电动势为E，内阻为r，R0为固定电阻，当滑动变阻器R的触头向上移动时，下列论述不正确的是（）A．灯泡L一定变亮 B．伏特表的示数变小C．安培表的示数变小D．R0消耗的功率变小【解答】解：AB、当R的滑动触点向上滑移动时，R变小，外电路总电阻变小，由闭合电路欧姆定律知，总电流I变大，电源的内电压变大，则路端电压变小，因此伏特表读数变小．灯泡L的电压减小，则灯L一定变暗．故A错误，B正确．CD、电路中并联部分电压变小，通过L的电流减小，而总电流增大，则安培表A 的读数变大，R0消耗的功率变大．故C、D错误．本题选不正确的，故选：ACD5．（3分）在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一个面积不变的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示，取线圈中磁场B的方向向上为正，当磁场中的磁感应强度B随时间t如图乙变化时，下列图中能正确表示线圈中感应电流变化的是（）A．B．C．D．【解答】解：在0﹣s内，根据法拉第电磁感应定律，=．根据楞次定律，感应电动势的方向与图示箭头方向相反，为负值；在﹣T内，根据法拉第电磁感应定律，E′=n==2E，所以感应电流是之前的2倍．再根据楞次定律，感应电动势的方向与图示方向相反，为负值．故A正确，B、C、D错误．故选A．6．（3分）如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的动能将（）A．不断增大B．不断减小C．先减小后增大D．先增大后减小【解答】解：其速度方向恰好改变了90°，可以判断恒力方向应为向右偏M方向，与初速度的方向夹角要大于90°小于180°才能出现末速度与初速度垂直的情况，因此恒力先做负功，当达到速度与恒力方向垂直后，恒力做正功，动能先减小后增大．所以C正确．故选C二、多项选择题．本题共5小题，每小题得4分，共计20分，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．7．（4分）载人飞船绕地球做匀速圆周运动．已知地球半径为R0，飞船运行的轨道半径为KR 0，地球表面的重力加速度为g0，则飞船运行的（）A．加速度是K2g0B．加速度是C．角速度是D．角速度是【解答】解：A、根据万有引力定律，引力提供向心力，则有：G；而黄金代换公式：GM=g0R02，联立上两式，解得：a n=，故A错误，B正确；C、根据万有引力定律，引力提供向心力，则有：；且GM=g0R02，解得：角速度ω=，故C正确，D错误；故选：BC．8．（4分）如图甲，一理想变压器原副线圈的匝数比为2：1，原线圈的电压随时间变化规律如图乙所示，副线圈电路中接有灯泡，额定功率为22W；原线圈电路巾接有电压表和电流表．现闭合开关，灯泡正常发光．若用U和I分别表示此时电压表和电流表的读数，则（）A．灯泡的额定电压为l10VB．副线圈输出交流电的频率为50HzC．U=220V，I=0.2AD．原线圈输入电压的瞬时表达式为u=220sin100πtV【解答】解：A、有效值为：U==220V，副线圈的电压为：U2=U1=110V，则A正确．B、原线圈的频率为f=，变压器不会改变频率，故B正确，C、副线圈电流为：I2==0.2A，原线圈的电流为：I1=I1=0.1A，则C错误．D、ω=2πf=100π，瞬时表达式为：u=220sin100πtV，故D正确故选：ABD9．（4分）如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻r不能忽略．R1和R2是两个定值电阻，L是一个自感系数较大的线圈．开关S原来是断开的．从闭合开关S到电路中电流达到稳定为止的时间内，通过R1的电流I1和通过R2的电流I2的变化情况是（）A．I1开始较大而后逐渐变小B．I1开始很小而后逐渐变大C．I2开始很小而后逐渐变大D．I2开始较大而后逐渐变小【解答】解：开关S闭合瞬间，L相当于断路，通过R1的电流I1较大，通过R2的电流I2较小；当稳定后L的自感作用减弱，通过R1的电流I1变小，通过R2的电流I2变大，故AC正确BD错误．故选：AC10．（4分）如图（a）所示，质量相等的a、b两物体，分别从斜面上的同一位置A由静止下滑，经B点的水平面上滑行一段距离后停下．不计经过B点时的能量损失，用传感器采集到它们的速度﹣时间图象如图（b）所示，下列说法正确的是（）A．a在斜面上滑行的加速度比b的大B．a在水平面上滑行的距离比b的短C．a与斜面间的动摩擦因数比b的小D．a与水平面间的动摩擦因数比b的大【解答】解：A、由乙图图象斜率可知a做加速运动时的加速度比b做加速时的加速度大，故A正确；B、物体在水平面上的运动是匀减速运动，a从t1时刻开始，b从t2时刻开始．由图象与坐标轴围成的面积表示位移可知，a在水平面上做匀减速运动的位移比b 在水平面上做匀减速运动的位移大，故B错误；C、物体在斜面上运动的加速度为，因为a的加速度大于b的加速度，所以a与斜面间的动摩擦因数比b的小，故C 正确；D、物体在水平面上运动的加速度为，因为a的加速度小于b的加速度，所以a与水平面间的动摩擦因数比b的小，故D错误故选：AC11．（4分）如图甲所示，Q1、Q2还两个固定的点电荷，一带负电的试探电荷仅在电场力作用下以初速度v a沿两点电荷连线的中垂线从a点向上运动，其v﹣t 图象如图乙所示，下列说法正确的是（）A．两点电荷一定都带负电，但电量不一定相等B．两点电荷一定都带负电，且电量一定相等C．t1、t2两时刻试探电荷在同一位置D．t2时刻试探电荷的电势能最大【解答】解：A、由图乙可知，试探电荷先向上做减速运动，再反向向下做加速运动，说明粒子受到的电场力应先向下后向上，故两点电荷一定都带正电；由于电场线只能沿竖直方向，故两个点电荷带电量一定相等；故AB错误；C、根据速度图象的斜率表示加速度，知t1、t2两时刻试探电荷的加速度不同，所受的电场力不同，所以不可能在同一位置．故C错误．D、t 2时刻试探电荷的速度为零，动能为零，根据能量守恒定律可知试探电荷的电势能最大．故D正确．故选：D三、简答题：本题共2小题，共计20分，请将解答填写在答题卡相应的位置．12．（8分）为了“探究加速度与力、质量的关系”，现提供如图甲所示的实验装置：（1）以下实验操作正确的是BC．A．将木板不带滑轮的一端适当垫高，使小车在砝码及砝码盘牵引下恰好做匀速运动B．调节滑轮的高度，使细线与木板平行C．先接通电源后释放小车D．试验中小车的加速度越大越好（2）在实验中，得到一条如图乙所示的纸带，已知相邻计数点间的时间间隔为T=0.1s，且间距s1、s2、s3、s4、s5、s6已量出，则小车加速度a=0.33m/s2（结果保留两位有效数字）；（3）有一组同学保持小车及车中的砝码质量一定，探究加速度a与所受外力F 的关系，他们在轨道水平和倾斜两种情况下分别做了实验，得到了两条a﹣F图线．如图丙所示，图线①是在轨道倾斜情况下得到的（选填“①”或“②”）：小车及车中的砝码总质量m=0.5kg．【解答】解：（1）A、平衡摩擦力就是让小车在无拉力的作用下做匀速直线运动，让重力沿斜面的分力等于小车受到的摩擦力．所以平衡时应为：将不带滑轮的木板一端适当垫高，在不挂钩码的情况下使小车恰好做匀速运动，故A错误；B、为了使绳子拉力代替小车受到的合力，需要调节滑轮的高度，使细线与木板平行，故B正确；C、使用打点计时器时，先接通电源后释放小车，故C正确；D、试验中小车的加速度不是越大越好，加速度太大，纸带打的点太少，不利于测量，故D错误．故选：BC（2）由匀变速运动的规律得：s4﹣s1=3aT2s5﹣s2=3aT2s6﹣s3=3aT2联立得：（s4+s5+s6）﹣（s1+s2+s3）=9aT2解得：a===0.33m/s2，（3）由图象可知，当F=0时，a≠0．也就是说当绳子上没有拉力时小车就有加速度，该同学实验操作中平衡摩擦力过大，即倾角过大，平衡摩擦力时木板的右端垫得过高．所以图线①是在轨道右侧抬高成为斜面情况下得到的．根据F=ma得a﹣F图象的斜率k=，由a﹣F图象得图象斜率k=2，所以m=0.5kg．故答案为：（1）BC；（2）0.33；（3）①，0.513．（12分）某同学要测量一均匀新材料制成的圆柱体的电阻率ρ．步骤如下：（1）用游标为20分度的卡尺测量其长度如图1，由图可知其长度L=50.15 mm；（2）用螺旋测微器测量其直径如图2，由图可知其直径D= 4.699mm；（3）用多用电表的电阻“×10”挡，按正确的操作步骤测此圆柱体的电阻，表盘的示数如图3，则该电阻的阻值R=300Ω．（4）该同学想用伏安法更精确地测量其电阻R，现有的器材及其代号和规格如下：待测圆柱体电阻R电流表A1（量程0～10mA，内阻约50Ω）电流表A2（量程0～50mA，内阻约30Ω）电压表V1（量程0～3V，内阻约30kΩ）电压表V2（量程0～15V，内阻约50kΩ）直流电源E（电动势4V，内阻不计）滑动变阻器R1（阻值范围0～50Ω，允许通过的最大电流0.5A）开关S、导线若干．为使实验误差较小，要求测得多组数据进行分析，请在图4中画出测量的电路图，并标明所用器材的代号．【解答】解；（1）游标卡尺的读数为：L=50mm+3×0.05mm=50.15mm；（2）螺旋测微器的读数为：D=4.5mm+19.9×0.01mm=4.699（4.700±0.001）；（3）欧姆表的读数为：R=30×10Ω=300Ω；（4）根据电源的电动势为4V可知电压表应选择；由于通过待测电阻的最大电流为===13mA，所以电流表应选择；由于待测电阻满足，所以电流表应用外接法；由于实验要求能测多组数据，所以变阻器应采用分压式接法，电路图如图所示：故答案为：（1）50.15；（2）4.699；（3）300；（4）如图四、计算题：本共4小题，共计62分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤．只写出最后答案的不得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14．（14分）如图所示，倾角为α=30°的光滑固定斜面，斜面上相隔为d=8m平行虚线MN与PQ间有大小为B=0.1T的匀强磁场，方向垂直斜面向下．一质量为m=0.1kg，电阻为R=0.2Ω，边长L=1m的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈cd边从距PQ上方x=2.5m处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，切ab边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动，重力加速度g=10m/s2．求：（1）cd边刚进入磁场时，线圈的速度v1；（2）线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电量q；（3）线圈通过磁场的过程中，ab边产生的热量Q．【解答】解：（1）导线框沿斜面向下运动：解得：（2）导线进入磁场通过ab棒的电量：联立得：==0.5C（3）导线框离开磁场时：解得：由能量守恒有：代入数据：解得：则ab边产生的热量为：答：（1）cd边刚进入磁场时，线圈的速度为5m/s；（2）线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电量q为0.5C；（3）线圈通过磁场的过程中，ab边产生的热量Q为15．（15分）预警雷达探测到敌机在20000m上空水平匀速飞行，立即启动质量m=100kg的防空导弹，导弹的火箭发动机在制导系统控制下竖直向下喷气，使导弹由静止以a=10g（g=10m/s2）的加速度竖直向上匀加速上升至5000m高空，喷气方向立即变为与竖直方向成θ角（cosθ=）斜向下，导弹做曲线运动，直至击中敌机．假设导弹飞行过程中火箭推力大小恒定，且不考虑导弹质量变化及空气阻力，导弹可视为质点．试求：（1）火箭喷气产生的推力；（2）导弹从发射到击中敌机所用的时间；（3）导弹击中敌机时的动能．【解答】解：（1）对导弹，由牛顿第二定律得F﹣mg=ma解得火箭喷气产生的推力F=m（g+a）=100×（10+100）N=11mg=1.1×104N （2）导弹竖直向上做匀加速直线运动的过程，有=h1，得t1==s=10s推力改变方向后，由于Fcosθ=11mg×=mg所以导弹在竖直方向上作匀速运动，运动时间为t2=又v y=at1=100×10=1000m/s，H=20000m联立解得t2=15s=t1+t2=25s故t总（3）在5000m高处之后，导弹在竖直方向作匀速运动，水平方向作匀加速运动，则水平方向有Fsinθ=ma x，sinθ==解得a x==20m/s2；导弹击中飞机时水平分速度为v x=a x t2=300m/s则导弹击中飞机时的动能为E k==1.85×108J答：（1）火箭喷气产生的推力是1.1×104N；（2）导弹从发射到击中敌机所用的时间是25s；（3）导弹击中敌机时的动能是1.85×108J．16．（16分）如图所示，一压缩的轻弹簧左端固定，右端与一滑块相接触但不连接，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，A点左侧地面光滑，AB 的长度为5R，现将滑块由静止释放，滑块运动到A点时弹簧恢复原长，以后继续向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的光滑圆弧BC，在C点正上方有一离C 点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后进入P孔，又恰能从Q孔落下，已知物体通过B点时对地面的压力为9mg．求：（1）滑块通过B点时的速度v B；（2）弹簧释放的弹性势能E p；（3）平台转动的角速度ω应满足什么条件．【解答】解：（1）物体经过B点做圆周运动，由牛顿第二定律可得：即：，解得：（2）物体由静止释放到B点，根据动能定理可得：又由功能关系W=E P解得：即E P=4.5mgR（3）滑块从B点开始运动后机械能守恒，设滑块到达P处时速度为V P．则由机械能守恒定律得解得：滑块穿过P孔后再回到平台时间：要想实现上述过程，必须满足ωt=（2n+1）π解得：答：（1）滑块通过B点时的速度为；（2）弹簧释放的弹性势能为4.5mgR；。