(徐州专版)2021年中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的综合应用课件

A,B,C 三点,其中点 A 的坐标为(0,8),点 B 的坐标为(-4,0).
(2)点 D 的坐标为(0,4),点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接
CD,CF,以 CD,CF 为邻边作▱CDEF,设▱CDEF 的面积为 S.
①求 S 的最大值;
1
- 4 × (-4)2 -4 + = 0,
= 1,
所以有
解得
= 8.
= 8,
1
所以二次函数的解析式为 y=- x2+x+8.
4
当 y=0 时,解得 x1=-4,x2=8,所以点 C 的坐标为(8,0).
1
2.如图 15-9,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-4x2+bx+c 的图象与坐标轴交于
解:(2)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),
把(0,-4)代入,得-4a=-4,解得a=1,
故抛物线的表达式为y=x2-3x-4.
图15-7
例2 [2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且
OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.
由此得 a=10,b=-60,c=90.
∴曲线 NK 的函数表达式为 y=10x2-60x+90(2≤x≤3).
例1 [2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5 cm,动点P从点B出发,沿
折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它
们运动的速度相同.设点P出发x s时,△BPQ的面积为y cm2.已知y与x之间的函数
9-3 + = 0,
= -1,
根据题意得 = 3,
解得 = -2,

- = -1,
= 3.
2
所以抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3.
1. [2019·永州]如图15-8,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线
x=-1.
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的最
2.如图 15-3,坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线,此抛物线与直线 y=2 交于 B,C 两
点,△ABC 为正三角形.若点 A 坐标为(-3,0),则此抛物线与 y 轴的交点坐标为(
9
A. 0,2
27
B. 0, 2
C.(0,9)
图15-3
D.(0,19)
)
[答案] B
[解析]作 AD⊥BC 于点 D,则 AD=2.
折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它
们运动的速度相同.设点P出发x s时,△BPQ的面积为y cm2.已知y与x之间的函数
关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的
信息,解答下列问题:
图15-4
(1)当1<x<2时,△BPQ的面积 不变
y与x的函数图象如图②,则线段EF所在的直线对应的函数关系式为
图15-5
.
[答案] y=-3x+18
[解析]∵点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q 沿边 AB,BC
从点 A 开始向点 C 以 2 cm/s 的速度移动,
∴当点 P 到 AD 的中点时,Q 到点 B,此时,△PAQ 的面积最大.
向未知,由复杂向简单的转换.而作为中考压轴题,更注重不同知识之间的联系
与转换.一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的
思路更要得到充分的应用.
对点演练
1.如图15-1,等腰直角三角形ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长
均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向
∴线段 OM 的函数表达式为 y=10x(0≤x≤1).
5
在曲线 NK 上取一点 G,使它的横坐标为2,
5
55ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由题意可得其纵坐标为2,∴曲线 NK 过点 N(2,10),G 2,2 ,K(3,0).
设曲线 NK 的表达式为 y=ax2+bx+c,将 N,G,K 三点坐标分别代入 y=ax2+bx+c,
| 考向精练 |
1. [2019·永州]如图15-8,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线
x=-1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的
动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的
最大值,并求出此时点P的坐标.
图15-8
解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,
2
1
∴当 x=3- 2 或 x=2时,△BPQ 的面积是 5 cm2.
| 考向精练 |
1. [2014·徐州18题]如图15-5①,在正方形ABCD中,点P沿边DA从点D开始向点A
以1 cm/s的速度移动;同时,点Q沿边AB,BC从点A开始向点C以2 cm/s的速度移
动.当点P移动到点A时,P,Q同时停止移动.设点P出发x s时,△PAQ的面积为y cm2,
设正方形的边长为 a cm,∵从图②可以看出当点 Q 到点 B 时的面积为 9,
1 1
∴ ·a·a=9,解得 a=6,即正方形的边长为 6.
2 2
1
当点 Q 在 BC 上时,AP=6-x,△APQ 的高为 AB,∴y= ·(6-x)·6=-3x+18.
2
∴线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 y=-3x+18.
2.如图15-6,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB边向点B
以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.已知
P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动,设运动时间为t(s),阴影部分
的面积为S(cm2).
(1)写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.
P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动,设运动时间为t(s),阴影部分
的面积为S(cm2).
(2)当t为何值时,S最小?最小值是多少?
解:(2)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,
∴当t=3 s时,S取得最小值,最小值为63 cm2.
图15-6
考向二 综合多个知识点,运用转化思想
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最
大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.
图15-7
解: (3)∵直线 CA 过点 C(0,-4),∴设其函数表达式为:y=kx-4,
将点 A 坐标代入上式,解得 k=1,故直线 CA 的表达式为 y=x-4.
过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H,∵OA=OC=4,OA⊥OC,
关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的
信息,解答下列问题:
(3)当x为何值时,△BPQ的面积是5 cm2?
图15-4
1
解: (3)把 y=5 代入 y=10x,解得 x=2;
2
2
把 y=5 代入 y=10x2-60x+90,解得 x1=3- 2 ,x2=3+ 2 (舍去).
例2 [2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且
OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求抛物线的表达式;
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作
PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标
及PD的最大值.
图15-7
解:(1)由题意知OA=OC=4OB=4,
故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).
例2 [2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且
OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(2)求抛物线的表达式;
当 A 从点 D 运动到点 E,即 2<x≤4 时,y=2×[2-(x-2)]×[2-(x-2)]=2x2-4x+8,
1
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=
- 2 2 + 2(0 ≤ ≤ 2),
1
2
2 -4 + 8(2 < ≤ 4).
由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应.故选 A.
∴∠OAC=∠OCA=45°.∵PH∥y 轴,∴∠PHD=∠OCA=45°.
设点 P(x,x2-3x-4),则点 H(x,x-4),
2
2
PD=HPsin∠PHD= (x-4-x2+3x+4)=- x2+2 2x,
2
2
2
∵- 2 <0,∴当 x=2 时,PD 有最大值,其最大值为 2 2,
此时点 P(2,-6).
(2)点 D 的坐标为(0,4),点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接 CD,CF,
以 CD,CF 为邻边作▱CDEF,设▱CDEF 的面积为 S.
①求 S 的最大值;
②在点 F 的运动过程中,当点 E 落在该二次函
数图象上时,请直接写出此时 S 的值.
图15-9
1
解:(1)因为二次函数 y=-4x2+bx+c 的图象过 A(0,8),B(-4,0)两点,
3
27
3 15
2
8
2 4
所以当 m=- 时,S△PAB 有最大值 ,此时点 P 的坐标为 - ,
.
1
2.如图 15-9,在平面直角坐标系中,二次函数 y=- x2+bx+c 的图象与坐标轴交于
4
A,B,C 三点,其中点 A 的坐标为(0,8),点 B 的坐标为(-4,0).
(1)求该二次函数的表达式及点 C 的坐标.
(2)当t为何值时,S最小?最小值是多少?
图15-6
解:(1)由题意知 AP=t,BQ=2t,
则 BP=6-t,
1
所以 S=12×6-2·(6-t)·2t=t2-6t+72(0≤t≤6).
2.如图15-6,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB边向点B
以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.已知
∵△ABC 为正三角形,∴BD=CD=

2 3
=
3
3
2
,∴C -3+3
3,2 .
设抛物线解析式为 y=a(x+3)2,
将点 C 坐标代入,得 a -3+
故选 B.
2 3
3
3
3
27
+3 2=2,∴a=2,∴y=2(x+3)2,当 x=0 时,y= 2 .
考向一 解决图形运动问题,运用分类讨论思想
例1 [2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5 cm,动点P从点B出发,沿
们运动的速度相同.设点P出发x s时,△BPQ的面积为y cm2.已知y与x之间的函数
关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的
信息,解答下列问题:
(2)分别求出线段OM,曲线
NK所对应的函数表达式;
图15-4
解: (2)设 OM 所在直线的函数表达式为 y=kx,把 M(1,10)代入,得 k=10.
右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分
(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是 (
图15-1
图15-2
)
[答案] A
1
1
[解析]由题意知当 C 从点 D 运动到点 E,即 0≤x≤2 时,y=2×(2-x+2)x=-2x2+2x.
1
1
第 15 课时
二次函数的综合应用
考点聚焦
考点一
利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想
分类讨论思想可用来检测思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结
论的不确定性来进行考查.有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能
造成错解或漏解.
考点二
综合多个知识点,运用等价转换思想
许多数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知
大值,并求出此时点P的坐标.
图15-8
解: (2)易知直线 AB 的表达式为 y=x+3,设 P(m,-m2-2m+3)(-3<m<0),
过点 P 作 PC∥y 轴交 AB 于点 C,则 C(m,m+3),
PC=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m,
1
3
3
3
27
S△PAB=2×(-m2-3m)×3=-2×(m2+3m)=-2 m+2 2+ 8 .
(填“变”或“不变”);
(2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式;
(3)当x为何值时,△BPQ的面积是5 cm2?
图15-4
例1 [2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5 cm,动点P从点B出发,沿
折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它