2012全国高考山东卷数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为
(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
(3)
函数1()ln(1)
f x x =++ (A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-
(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为
2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2
x π=对称.则下列判断正确的是
(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真
(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是
(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2
- (7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝
⎭的最大值与最小值之和为
(A)2 (B)0 (C)－1
(D)1-(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
(10)函数cos622x x
x y -=-的图象大致为
(11)已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为
(A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = (12)设函数1()f x x
=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是
(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<
(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，
则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得
到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，
26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，
[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低
于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃
的城市个数为＿＿＿＿.
(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小
值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝
＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.
当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
(17)(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；
(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，
,CB CD EC BD =⊥.
(Ⅰ)求证：BE DE =；
(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，
求证：DM ∥平面BEC .
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项
和m S .
(21) (本小题满分13分)
如图，椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点
,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||
PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.
(22) (本小题满分13分) 已知函数ln ()(e x
x k f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
(Ⅰ)求k 的值；
(Ⅱ)求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.
参考答案：
一、选择题：
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同
零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03
F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此
得b =.不妨设12x x <，
则223
x b =.所
以21()()()F x x x x =-
，比较系数得1x -
，故1x =
120x x +=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=
+=<，故答案为B. 二、填空题 (13)16 以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326
V =⋅⋅⋅⋅=. (14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. (15)14 当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2
a m ==
，此时()g x =题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416
a m ==，检验知符合题意. (16)(2sin 2,1cos2)--
三、解答题
(17)(I)由已知得：
sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，
sin sin()sin sin B A C A C +=，
2sin sin sin B A C =，
再由正弦定理可得：2b ac =，
所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24
a c
b B a
c +-==，
sin C =，
∴△ABC
的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310
P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815
P =. (19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，
又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .
所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，
所以BE DE =.
(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，
∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，
∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.
由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，
所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .
(20)(I)由已知得：111
510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==,
所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.
(II)由277m n a n =≤，得217m n -≤，
即217m m b -=. ∵21
1217497
m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948
m m m S -==--. (21)
(I)22234
c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②
由①②解得：2,1a b ==，
∴椭圆M 的标准方程是2
214
x y +=. (II)222244,58440,
x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55
m x x m x x -+=-=，
由226420(44)0m m ∆=-->得m <.
||PQ =当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.
①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，
||||PQ ST =
其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .
②由对称性，可知若1m <53m =时，||||PQ ST .
③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，
由此知，当0m =时，||||PQ ST .
综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST (22)(I)1ln ()e x
x k x f x --'=， 由已知，1(1)0e
k f -'==，∴1k =. (II)由(I)知，1ln 1()e x
x x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x '=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.
(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.
当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e x x x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+.
综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。