《大学物理学》矢量课堂ppt
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合矢量的大小的方向cos四矢量合成的解析法在直角坐标系任一矢量都可沿坐标轴方向分解的大小的方向五矢量的乘积1
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
八。基本函数的导数和积分
1.基本函数的导数
基本函数 常量 幂 三角函数
y
C
n
导数
y
x
指数函数 对数函数
3.矢量的矢积
0 （1） 设矢量 A 和 B 之间小于 180 的夹角为 A 和 B 的矢积定义为
C A B
矢量 C 的大小为 C AB sin 矢量 C 的方向：右手螺旋法则。 C B A
当 0, 时，即 A B, 当 时，即 A B,
所以
A B
A （3）在直角坐标系中， , B 两矢量的标积
A B Ax Bx Ay By Az Bz
标积的性质： （1）标积遵守交换律，即
A B AB cos BA cos B A
（2）标积遵守分配律，即
( A B) C A C B C
则
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
五、矢量的乘积
mA 1.矢量的数乘 当 m 0 时， mA 与 A 同向， 当 m 0 时， mA 与 A 反向。
dF ( x) dx
原函数
F ( x) f ( x)dx
0
C
1 x dx x n 1 C n 1
n
x (n 1)
n
三角函数
1 x , (n 1) x
n
sin x cos x
e
x
1 x dx ln x C sin xdx cos x C
指数函数
cos xdx sin x C e dx e C
x x
i
j Ay By
k Az Bz
六。矢量函数的导数
1.导数
矢量函数 A(t )
时间内，增量为
A(t )
A
t
在 t
A(t t )
A A(t t ) A(t )
当 t 0 时，A t 极限值为导数，即 dA A lim t 0 t dt
（2）和差的导数等于导数的和差。
d dA dB ( A B) dt dt dt
（3）乘积的导数
df d dA f ( x ) A A f ( x ) dx dx dx
（4）商的导数
dA dB B A d A dt dt dt B B2
sin x cos x x e
ln x( x 0)
d C 0 dt d x n nx n 1 dx d sin x cos x dx
d cos x sin x dx d ex ex dx
d 1 (ln x) dx x
2.基本函数的积分
基本函数 零 幂
பைடு நூலகம்
f ( x)
B
B
C
A
C
四、矢量合成的解析法
在直角坐标系，任一矢量 A 都可沿坐 标轴方向分解 y A Ax i Ay j Ay A 的大小 2 2 A Ax Ay A o Ax Ay A 的方向 arctan Ax
x
设 A和 B两矢量的坐标表达式为
（4）矢量标积的导数
dB dA d A B A B dt dt dt
（5）矢量矢积的导数 dB dA d A B A B dt dt dt
七。矢量函数的积分
1.矢量函数的积分 已知矢量函数 A(t ) Ax (t ) Bx (t ) dt 存在另一个矢量函数 B (t ) A (t ) B (t ) dt y y dA B(t ) 且满足 dt Az (t ) Bz (t ) dt 则 A(t ) B (t ) dt A 积分和导数互为逆运算， (t )是 B (t )的原函数， 是 B (t ) A(t ) 的导函数。
2
（2）矢积的性质 矢积不满足交换律
A B 0 A B AB
A B B A
矢积满足分配律
( A B) C A C B C
在直角坐标系中， , B 两矢量的矢积为 A
A B Ax Bx
合矢量 C 的大小
A B C
A
B cos
C ( A B cos )2 ( B sin )2
C 的方向
A2 B 2 2 AB cos
B sin arctan A B cos
2.矢量的减法：按加法的逆运算来定义。
A B A ( B ) C
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
八。基本函数的导数和积分
1.基本函数的导数
基本函数 常量 幂 三角函数
y
C
n
导数
y
x
指数函数 对数函数
3.矢量的矢积
0 （1） 设矢量 A 和 B 之间小于 180 的夹角为 A 和 B 的矢积定义为
C A B
矢量 C 的大小为 C AB sin 矢量 C 的方向：右手螺旋法则。 C B A
当 0, 时，即 A B, 当 时，即 A B,
所以
A B
A （3）在直角坐标系中， , B 两矢量的标积
A B Ax Bx Ay By Az Bz
标积的性质： （1）标积遵守交换律，即
A B AB cos BA cos B A
（2）标积遵守分配律，即
( A B) C A C B C
则
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
五、矢量的乘积
mA 1.矢量的数乘 当 m 0 时， mA 与 A 同向， 当 m 0 时， mA 与 A 反向。
dF ( x) dx
原函数
F ( x) f ( x)dx
0
C
1 x dx x n 1 C n 1
n
x (n 1)
n
三角函数
1 x , (n 1) x
n
sin x cos x
e
x
1 x dx ln x C sin xdx cos x C
指数函数
cos xdx sin x C e dx e C
x x
i
j Ay By
k Az Bz
六。矢量函数的导数
1.导数
矢量函数 A(t )
时间内，增量为
A(t )
A
t
在 t
A(t t )
A A(t t ) A(t )
当 t 0 时，A t 极限值为导数，即 dA A lim t 0 t dt
（2）和差的导数等于导数的和差。
d dA dB ( A B) dt dt dt
（3）乘积的导数
df d dA f ( x ) A A f ( x ) dx dx dx
（4）商的导数
dA dB B A d A dt dt dt B B2
sin x cos x x e
ln x( x 0)
d C 0 dt d x n nx n 1 dx d sin x cos x dx
d cos x sin x dx d ex ex dx
d 1 (ln x) dx x
2.基本函数的积分
基本函数 零 幂
பைடு நூலகம்
f ( x)
B
B
C
A
C
四、矢量合成的解析法
在直角坐标系，任一矢量 A 都可沿坐 标轴方向分解 y A Ax i Ay j Ay A 的大小 2 2 A Ax Ay A o Ax Ay A 的方向 arctan Ax
x
设 A和 B两矢量的坐标表达式为
（4）矢量标积的导数
dB dA d A B A B dt dt dt
（5）矢量矢积的导数 dB dA d A B A B dt dt dt
七。矢量函数的积分
1.矢量函数的积分 已知矢量函数 A(t ) Ax (t ) Bx (t ) dt 存在另一个矢量函数 B (t ) A (t ) B (t ) dt y y dA B(t ) 且满足 dt Az (t ) Bz (t ) dt 则 A(t ) B (t ) dt A 积分和导数互为逆运算， (t )是 B (t )的原函数， 是 B (t ) A(t ) 的导函数。
2
（2）矢积的性质 矢积不满足交换律
A B 0 A B AB
A B B A
矢积满足分配律
( A B) C A C B C
在直角坐标系中， , B 两矢量的矢积为 A
A B Ax Bx
合矢量 C 的大小
A B C
A
B cos
C ( A B cos )2 ( B sin )2
C 的方向
A2 B 2 2 AB cos
B sin arctan A B cos
2.矢量的减法：按加法的逆运算来定义。
A B A ( B ) C