新编高等数学》(理工类)(第八版)刘严第一章 (4)[3页]

第三节 极限的运算(一)(Computation of Limit) 教学目的：掌握极限的性质及运算法则 内 容：1.极限的四则运算
2.极限运算举例
教学重点: 掌握不同类型极限的解法
教学难点: 极限的运算
教 具：多媒体课件
教学方法: 讲练结合
教学过程：
1. 引入新课：
有了函数极限定义后又如何来计算函数的极限
2. 教学内容：
一、极限的四则运算
设()lim f x 及()lim g x 都存在，则有
法则1 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x ±=±⎡⎤⎣⎦ 法则2 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x = 推论1 ()()lim lim cf x c f x = (c 为常数) 推论2 ()()lim lim n n f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
法则3 ()()()()
()()lim lim
lim 0lim f x f x g x g x g x =≠ 注意：
(1)对0,x x x →→∞等情形，法则都成立。

(2)对数列极限法则也成立
(3)法则１和法则２均可推广至有限个函数的情形
二、极限运算举例
例１ 求()24lim 31x x x →-+ 解 ()224444
lim 31lim lim3lim15x x x x x x x x →→→→-+=-+= 例２ 求2222lim 53
x x x x →--+ 解 ()
()2222222lim 22lim 253lim 53x x x x x x x x x →→→--==--+-+ 例３ 求233lim 9
x x x →--
解 ()32333
lim1311lim lim 93lim 36x x x x x x x x →→→→-===-++ (消去零因子法)
小结:
则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=- n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0
00 n n n a x a x a +++=- 10100).(0x f =
则有且设,0)(,)
()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 00
0x Q x P x f x x x x x x →→→=)
()(00x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q
例４ 求2232341lim 43
x x x x x →∞+--+ 解 3223234133413lim lim 134344x x x x x x x x x x
→∞→∞+
-+-==-+-+ 小结: 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,
,lim 00110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 例５ 求3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭ 解 ()()()()()()()2322111312131lim lim lim 111111x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+++-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭ 2
12l i m 11x x x x →+==++
课堂练习：
求下列极限：
22022111.lim 2.lim 2222313.lim 4.lim 3331x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞+---+⎛⎫- ⎪-+⎝
⎭
小结:
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
课后作业：P16：2(2)(4),3(1)(4)。