南通市2019届高三一模数学试卷及答案

南通市2019届高三一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .
2. 已知复数z ＝2i
1－i
－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .
3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：
次数 2 3 4 5 人数
20
15
10
5
则平均每人参加活动的次数为 .
4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .
5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .
6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.
7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .
8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
y 2＝2px(p>0)的准线为
l ，直线l 与双曲线x 2
4
－
y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。

10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：
① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；
③ 数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等比数列； ④ 数列{lg a 2n }是等比数列.
其中正确的命题有 个.
11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .
12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →
|的最小值为 .
13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .
14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点.已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP.求证：
(1) MN∥平面PBC；
(2) MD⊥平面PAB.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝
3 3.
(1) 求角B的值；
(2) 若a＝6，求△ABC的面积.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上
顶点为B.
(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为2
2，求椭圆的标准方程；
(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.
18. (本小题满分16分)
如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π
3
.
(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝a
x
＋ln x(a ∈R ).
(1) 讨论函数f (x )的单调性；
(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；
② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.
20. (本小题满分16分)
已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若数列{b n }满足k ＝1
n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).
① 证明：{b n }为等比数列；
② 求集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
（m ，p ）|a m b m
＝3a p b p
，m ，p ∈N *.
2019届高三年级第一次模拟考试(九)
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤14002，求矩阵M .
[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝ 2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程；
(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1
c 2＋1
≥
.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.
(1) 求X为“回文数”的概率；
(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
23. (本小题满分10分)
设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：
(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；
(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.
南通市2019届高三一模数学参考答案
1. {0，1，3}
2. 5
3. 3
4. 7
5. 2
3 6. 54
7. －6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 2 5 13. ⎝
⎛⎭⎫－4，4
3 14. 337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点， 所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD.
所以MN ∥BC.(4分)
又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， 所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD.
又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ， 所以AB ⊥MD.(10分)
因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点， 从而MD ⊥PA.(12分)
又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝3
3
，0<A<π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝6
3
.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，
由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，得sin A cos B ＝2sin B cos A.
所以cos B ＝sin B.(4分)
若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin B
cos B ＝1.
又因为0<B<π， 所以B ＝π
4.(7分)
(2) 因为a ＝6，sin A ＝
63， 由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b
2
2，
所以b ＝32
2
.(9分)
又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝
23＋6
6
.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋32
4.(14分)
17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为1
2，
所以c a ＝1
2，则a ＝2c.
因为线段AF 中点的横坐标为2
2
， 所以a －c 2＝22
.
所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2
6＝1.(4分)
(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c
2
.
又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以点C ⎝⎛
⎭⎫
a －c 2
，－
a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，
所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝a
b ⎝⎛⎭
⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭
⎫
a －c 2－a 2，
整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)
即(b －c)(a ＋b)＝0.
因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)
所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c
2＝2
2.(14分)
18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.
在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π
3
，CO 2＝3，
所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.
所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5 m .(4分)
(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.
当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；
当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.
由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 2
1＋O 1B 2＝2 3.
以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.
① 当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π
2.
由∠OBx ＝θ＋π
6，OB ＝23，
由三角函数定义，
得点O ⎝⎛⎭
⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π
3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)
② 如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π
6.
设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC 2＋CD 2＝27，
sin φ＝2327＝217，cos φ＝427
＝277.
由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).
所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)
又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π
6＝3>0.
所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π
6上递增. 所以当θ＝π
6
时，h 取得最大值5.
因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.
故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π
6，2＋23sin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π6， π6<θ≤π2.
艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)
19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝
x －a
x 2
. ① 当a ≤0时，f′(x)>0成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ② 当a>0时，
(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ① 由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，
依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1
e
.(6分)
一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.
所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.
另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1
e .
f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1
a ＋2ln a ，
当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1
a 2<0，
所以f(a 2)＝g(a)＝1
a
＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.
又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，
所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.
综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2
＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋a
x 1＝0，
ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2
).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.
不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.
要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2
x 2
. 因为x 1，a 2
x 2
∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2
x 2>f(x 1).
又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)
设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x
－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2
ax 2
>0， 所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.
所以F(x 2)>F(a)＝0，
所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.
从而x 1x 2>a 2成立.
所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)
20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.
因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)
(2) ① 设数列{b n }的前n 项和为B n .
由③－④得
3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…
＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.
所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，
又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.
所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤
(6分)
当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥
由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)
b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，
所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n
＝2， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)
② 由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2
p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2
n －1， 所以c n ＋1c n ＝n ＋12n
≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p
，得c m ＝3c p >c p ， 所以m <p .(12分)
设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，
由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3
. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；
当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；
当t ＝3时，m ＝95
，不合题意； 当t ＝4时，m ＝1213
<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3
<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，
则f ′(x )＝2x ln 2－3>0，
所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，
所以f (x )≥f (4)＝1>0，
所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3
<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p
，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21. A. 由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤14002， 则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4
)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)
(2) 曲线C ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0
得x 2－x －2＝0， 所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)
所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)
C. 由柯西不等式，得
[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1
)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94
.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.
9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.
所以事件A 的概率P(A)＝29
.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.
由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59
. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881
； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381
； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081
(8分) 所以，随机变量ξξ
0 1 2 P 2881 4381 1081
所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79
.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)
(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.
由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.
集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：
第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个； 第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；
同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；
同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；
同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；
第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；
同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个， 所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个.
同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)
所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，
所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .
又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。