2020年高考文数(人教版)教学案第8讲二次函数

第8讲二次函数

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1 •熟练掌握二次函数的定义、图象与性质.

2 •会求二次函数在闭区间上的最值.

『■|谍前预可

知识梳理

1 •二次函数的三种表达式

⑴一般式：f(x)= ax2+ bx+ c(a z 0)

⑵顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k, h)，则其解析式为f(x) = a(x- k)2+ h .

⑶零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x i,O),(血,0)，则其解析式为f(x) = a(x

—x i)(x- X2)

3•二次函数在闭区间的最值

单调性进行分析求解.

可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的

1 .若函数f(x)满足f(x)= f(2a —x)，则f(x)的图象关于x= a对称；若f(x)满足f(a+ x)= f(a —x)，

则f(x)的图象关于x= a对称.

2 .若f(x) = ax2+ bx+ c(a 工0)，则

r

a >0

当* ，时，恒有f(x)>0;

△<0

t a<0, ,.亠

当* 时，恒有f(x)<0.

△<0

3.对二次函数f(x) = a(x—k)2+ h (a>0)在区间［m, n］上的最值问题，有以下结论：

①若k€ ［m, n］，则y min = f(k) = h, y m ax = max{f(m), f(n)}.

②若k? ［m, n］,

当k v m 时,y= f(x)在［m, n］上单调递增，y min = f(m), y max= f(n);

当k>n 时，y= f(x)在［m, n］上单调递减，y min = f(n), y max = f(m).

热身练习

1•若二次函数的图象的顶点为(2,—1),且过点(3,1)，则此函数的解析式为(B)

2 2

A . y= 2(x+ 2) —1

B . y= 2(x—2) —1

C. y= —2(x+ 2)2—1

D. y=—2(x—2)2—1

设所求函数的解析式为y= a(x—2)2—1,

把点(3,1)代入得a= 2.

故所求函数的解析式为y= 2(x—2)2—1.

2. 已知函数f(x) = ax2+ bx+ c,如果a>b>c且a+ b+ c= 0,则它的图象可能是(D)

因为a>b>c且a + b + c= 0,所以a>0 , c<0,

2

则抛物线y= ax + bx + c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，由此可知选 D.

3. 如果函数f(x) = x2+ bx+ c对任意实数t都有f(2 + t) = f(2 —t)，那么(A)

A . f(2) v f(1) v f(4)

B . f(1) v f(2) v f(4)

C . f(2) v f(4) v f(1) D. f(4) v f(2) v f(1)

画！因为f(x)= x2+ bx+ c,所以a = 1,抛物线的图象开口向上，

又f(2 + t)= f(2 - t), x= 2是其对称轴,

即当x= 2时，f(x)取得最小值.

而当x> 2时，f(x)是增函数，有f(2) v f(3) v f(4),

又f(2- 1)= f(2 + 1)，即f(1)= f(3),

所以f(2) v f(1) v f(4).

4 .若f(x)= (m- 1)x2+ 2mx+ 3 为偶函数，则f(x)在区间(一5,- 2)上是(A)

A .增函数

B .减函数

C .部分为增函数，部分为减函数

D•无法确定增减性

由f(x)= f(-x),可得m= 0,所以f(x) = - x2+ 3，由此知f(x)在(-5,- 2)上是增函数.

5 .函数f(x)=- 2x2- x+ 1, x€ ［- 3,1］.

1 1

(1) f(x)的单调递增区间为［—3,- 4］，单调递减区间为［—4, 1］；

9

(2) f(x)的最大值为，最小值为-14 .

8

1 1

(1) 当x€ ［- 3,1］时，函数f(x)在［-3,--］上为增函数，在［—",1］上为减函数.

1 1 9

(2) 当x=-4时，y取得最大值f(-4)= 8；

1

又因为x=- 3与对称轴x=- 4的距离大于x= 1与对称轴的距离，所以x=- 3时取得

最小值，且最小值为f(-3) =- 14.

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-■

二次函数的图象与性质

OD 若函数f(x) = 2X 2 + mx — 1在区间[—1 ,+^ )上递增，则 f( — 1)的取值范围为

作出f(x)的图象,

所以—— 1，解得m 》4.

4 所以 f( — 1) = — m + 1 < — 3. 即f( — 1)的取值范围为(一3].

(—m

，— 3]

二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因此，讨论二次函数的单调性时，要

抓住对称轴与所给定义域的关系.

1. 已知函数 f(x) = x 2 + 2ax + 2, x € [ — 5,5].

(1)若f(x)在 [ — 5,5]上单调递增，则a 的取值范围为 ⑵若f(x)在 [ — 5,5]上单调递减，则a 的取值范围为

⑶若f(x)在 [ — 5,5]上单调，则a 的取值范围为 (—a,— 5] U [5 , + a )； ⑷若f(x)在 [ — 5,5]上不单调，则a 的取值范围为

(—5, 5).

必功 因为f(x) = x 2 + 2ax + 2 = (x + a)2+ 2— a 2的图象的对称轴为 x = — a. (1)若f(x)在[ — 5,5]上单调递增，则—a w — 5, 所以a >5,所以a 的取值范围为[5,+a ).

[5 ,+ a )； (—m

，— 5];

f(x)在[—1,

根据图象可知，其对称轴x =