高中物理竞赛专题之电学专题(共15张PPT)
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RC
uc
exp(
t) RC
i exp( t )
R
RC
i exp( t )
R
RC
一、有关电路的计算
1、电阻的计算
例1：一电缆的芯线是半径为 r1的铜线，在铜线外包一层同轴的
绝缘层，绝缘层的外径为r2，电阻率为ρ，在绝缘层外又用铅层
保护起来。当电缆在工作时，芯线与铅层之间存在着径向漏电 电流。试求长为l 的这种缆线的径向漏电电阻。 分析：由于漏电电流沿径向通过不同截面的圆柱，因此绝缘层 的电阻可视为无数圆柱薄层的电阻串联而成。
dl dR ρ πr 2
Ldr (r2 r1 )r 2
R
dR
r2
Ldr
r1 (r2 r1 )r 2
L r1r2
当r1 r2 r时
R
L
r 2
L S
r1
r
r2
O
l dl
几何关系：r r1 r2 r1
l
L
Ldr dl
r2 r1
电压U，求两球壳间的电流。
解：在两金属球壳间取半径为r的球面，则穿过此面的电流为
I j4r 2 j E KE 2
E I / 4K
r
而两金属球壳间的电势差
b
2d I / 4K
Ib
U a Edr d
dr
ln
r
4K a
I [ U ]2 4K
ln(b / a)
一、有关电路的计算
流由接触点流入地内，高地面水平，土地的电阻率为ρ，当人走
近输电线接地端，左右两脚（间距为l）间的电压称为跨步电压.
试求距触地点为L处的跨步电压。
分析：高压线触地后，电流以触地点为球心，呈半球状沿径向
流入地面，离地r 处的电流密度为
I
j 2r 2
E
j
I 2r 2
lL
ba
r
距触地点为L处的跨步电压
放电过程中电流随时间的变化关系为：
b
R
i
e
t RC
R
C
由此可计算出电阻R中的焦耳热：
WR
i2Rdt 2
0
R
2t
e RC dt
0
2
R
RC 2
1 C 2
2
WC
即电容器所储存的能量在放电过程中完全转化为电阻器中的焦耳热
愿同学们有所收获！
一、有关电路的计算
大学物理竞赛培训第四讲
例3：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚
为t、内半径为r1，外半径为r2 的一层碳构成。A、B 为引出端，环形碳膜总张角为, 电流沿圆周曲线 流动。求：A、B之间的电导？
A、B 间电阻可视为由若干
不同长度而截面相同的电阻 并联而成。电导为：
dG dS tdr l r
时，内外电极上电量分别为±Q0，求电极上电量随时间减少的
规律以及两极间与球心相距为r 的任一点处的传导电流密度。
解：取包围内电极，位于内外电极之间
dQ
的任j一闭E合1 面，E由1 电 流 0D连 r续性方程 0 r
dQ dt
j dS dt S D dS Q
S
dQ Q
0 rdt
t
Q Q0e 0r
高斯定理
因电流密度与电场均呈球对称，有
j
Q0
4 0 r r 2
t
e 0 r
j
I
4r 2
I dQ dt
一、有关电路的计算
变1：已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b(b>a)，中间充满
电导率为 ，且 KE ，其中K为常数，现将两球壳维持恒定
器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功 率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面
上的自由电荷与束缚电荷面密度。
(3) 在两介质交界面应用D的高斯定理，得
0 D2n D1n 2 E2 1E1
0
1 2 2d1
21 1d2
一、有关电路的计算
例4、如图所示，电键S原来置于a端，电容器C已经被充满了 电。现将S由a端掷向b端，直至电容器完全放完电。试证明：
在此过程中，电容器原来所储存的能量完全转化为电阻器中的
焦耳热。
a
证:把电容器C接在电动势为ε的电源上， S
充满电以后，电容器中储存的能量为：
WC
1 C 2
2
当电键S掷向b时，电容器经电阻R放电。
上的自由电荷与束缚电荷面密度。
解：(1) 两板间电阻
R d1 d2
1S 2S
故损耗功率为
U2 P
1 2SU 2
R 2d1 1d2
(2) 由电流连续 I jS 1E1S 2E2S U E1d1 E2d2
+
U
A
W 1A,
1 ,
E121
b Ll I
I l
Uab
E dr
a
L
2r 2
dr
2
L(L l)
离触地点越近， 跨步电压越高。
一、有关电路的计算
变1：在一块很大的电阻材料的水平表面上，竖直并排地插四根
金属针，针间距都是d，针与表面接触良好。外边两针间接以电
源，中间两针接电压表。设流过电源的电流为I ,电压表读数为
1
E1d2 S1 d1
-
B
W 2B,2 ,
E12
2
2
Ed22
S2 d2
E1
1U 2 2d1 1d2
E2
2U 2 2d1 1d2
一、有关电路的计算
变1、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一 定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分
别为 1、 1、d1和 2、 2、d2 ；且 d1 d2 d 。现将此电容
3、焦耳-楞次定律的微分形式 w j E E2
一、有关电路的计算
5、RC 充、放电电路
(1)电路似稳
(2)Kirchhoff方程仍然适用
(3)时间常数 RC
充电：
q C[1 exp( t )]
RC
放电：
uc
[1 exp(
t )] RC
q C exp( t )
r2 r1
A
B
G r2 tdr t ln r2
r1 r
r1
一、有关电路的计算
2、欧姆定律的微分形式
应用欧姆定律微分形式常涉及到电场和 电势，它们之间仍有：
U AB U A UB
E dl
L
例1：一高压输电线被风吹断，一端触地，从而使强度为I的电
例3、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一
定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分
别为 1、 1、d1和 2、 2、d2 ；且 d1 d2 d 。现将此电容
器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功
率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面
高中物理竞赛专 题 之
电路专题
一、有关电路的计算
1、电阻
对非均匀截面电阻： dR dl
dS
R dR
2、欧姆定律
微分形式的欧姆定律：
j
E
E
一段含源电路的欧姆定律：UA UB IR
电流方向和电动势方向与A→B方向一致的取“ 0(E2 E1 )
[ 2(1 1) 1( 2 1) U 2d1 1d2
+ A 1 , 1 , E1
U
d1
- B 2, 2, E2 d 2
E1
1U 2 2d1 1d2
E2
2U 2 2d1 1d2
U .则材料的电阻率为
。
分析：电阻材料中的电流是流入电流与流出电流（均以接触点
为球心，呈半球状沿径向流入或流出）的叠加，当只有流入存 在时，媒质中的电流密度为
I
j1 2r 2
I E1 j 2r 2
电压表两端所在位置的电势差为
ddd b ar
故电压表读数应为
U同a入理b ，当ab E只 有dr流出d2电d 2流Ir时2 ，dr电压2I表2两1d端所U在材ab 位料 置U电a入的阻b 电率U势为a出b差为2Id
解：在此绝缘层沿径向取半径为r、厚为dr的薄 圆柱层，其电阻为：
dR dr 2rl
R r2 dr ln r2
r1 2rl 2rl r1
一、有关电路的计算
例2：一长为L的金属接头具有如图所示的圆台状，电流从半径
为 r1的端面 S1流向半径为 r2的端面 S2，且在任一截面上都是 均匀分布的，试求：S1 和 S2面之间的电阻。
U
出 ab
b 2d I
I 1
E dr
a
d
2r 2
dr
2
2d
2dUab
I
一、有关电路的计算
例2：球形电容器的两个极为两同心金属球壳，极间充满均匀各
向同性的线性介质，其相对介电常数为 r 。当电极带电后，其
极上电荷量因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为ρ，t=0
uc
exp(
t) RC
i exp( t )
R
RC
i exp( t )
R
RC
一、有关电路的计算
1、电阻的计算
例1：一电缆的芯线是半径为 r1的铜线，在铜线外包一层同轴的
绝缘层，绝缘层的外径为r2，电阻率为ρ，在绝缘层外又用铅层
保护起来。当电缆在工作时，芯线与铅层之间存在着径向漏电 电流。试求长为l 的这种缆线的径向漏电电阻。 分析：由于漏电电流沿径向通过不同截面的圆柱，因此绝缘层 的电阻可视为无数圆柱薄层的电阻串联而成。
dl dR ρ πr 2
Ldr (r2 r1 )r 2
R
dR
r2
Ldr
r1 (r2 r1 )r 2
L r1r2
当r1 r2 r时
R
L
r 2
L S
r1
r
r2
O
l dl
几何关系：r r1 r2 r1
l
L
Ldr dl
r2 r1
电压U，求两球壳间的电流。
解：在两金属球壳间取半径为r的球面，则穿过此面的电流为
I j4r 2 j E KE 2
E I / 4K
r
而两金属球壳间的电势差
b
2d I / 4K
Ib
U a Edr d
dr
ln
r
4K a
I [ U ]2 4K
ln(b / a)
一、有关电路的计算
流由接触点流入地内，高地面水平，土地的电阻率为ρ，当人走
近输电线接地端，左右两脚（间距为l）间的电压称为跨步电压.
试求距触地点为L处的跨步电压。
分析：高压线触地后，电流以触地点为球心，呈半球状沿径向
流入地面，离地r 处的电流密度为
I
j 2r 2
E
j
I 2r 2
lL
ba
r
距触地点为L处的跨步电压
放电过程中电流随时间的变化关系为：
b
R
i
e
t RC
R
C
由此可计算出电阻R中的焦耳热：
WR
i2Rdt 2
0
R
2t
e RC dt
0
2
R
RC 2
1 C 2
2
WC
即电容器所储存的能量在放电过程中完全转化为电阻器中的焦耳热
愿同学们有所收获！
一、有关电路的计算
大学物理竞赛培训第四讲
例3：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚
为t、内半径为r1，外半径为r2 的一层碳构成。A、B 为引出端，环形碳膜总张角为, 电流沿圆周曲线 流动。求：A、B之间的电导？
A、B 间电阻可视为由若干
不同长度而截面相同的电阻 并联而成。电导为：
dG dS tdr l r
时，内外电极上电量分别为±Q0，求电极上电量随时间减少的
规律以及两极间与球心相距为r 的任一点处的传导电流密度。
解：取包围内电极，位于内外电极之间
dQ
的任j一闭E合1 面，E由1 电 流 0D连 r续性方程 0 r
dQ dt
j dS dt S D dS Q
S
dQ Q
0 rdt
t
Q Q0e 0r
高斯定理
因电流密度与电场均呈球对称，有
j
Q0
4 0 r r 2
t
e 0 r
j
I
4r 2
I dQ dt
一、有关电路的计算
变1：已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b(b>a)，中间充满
电导率为 ，且 KE ，其中K为常数，现将两球壳维持恒定
器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功 率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面
上的自由电荷与束缚电荷面密度。
(3) 在两介质交界面应用D的高斯定理，得
0 D2n D1n 2 E2 1E1
0
1 2 2d1
21 1d2
一、有关电路的计算
例4、如图所示，电键S原来置于a端，电容器C已经被充满了 电。现将S由a端掷向b端，直至电容器完全放完电。试证明：
在此过程中，电容器原来所储存的能量完全转化为电阻器中的
焦耳热。
a
证:把电容器C接在电动势为ε的电源上， S
充满电以后，电容器中储存的能量为：
WC
1 C 2
2
当电键S掷向b时，电容器经电阻R放电。
上的自由电荷与束缚电荷面密度。
解：(1) 两板间电阻
R d1 d2
1S 2S
故损耗功率为
U2 P
1 2SU 2
R 2d1 1d2
(2) 由电流连续 I jS 1E1S 2E2S U E1d1 E2d2
+
U
A
W 1A,
1 ,
E121
b Ll I
I l
Uab
E dr
a
L
2r 2
dr
2
L(L l)
离触地点越近， 跨步电压越高。
一、有关电路的计算
变1：在一块很大的电阻材料的水平表面上，竖直并排地插四根
金属针，针间距都是d，针与表面接触良好。外边两针间接以电
源，中间两针接电压表。设流过电源的电流为I ,电压表读数为
1
E1d2 S1 d1
-
B
W 2B,2 ,
E12
2
2
Ed22
S2 d2
E1
1U 2 2d1 1d2
E2
2U 2 2d1 1d2
一、有关电路的计算
变1、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一 定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分
别为 1、 1、d1和 2、 2、d2 ；且 d1 d2 d 。现将此电容
3、焦耳-楞次定律的微分形式 w j E E2
一、有关电路的计算
5、RC 充、放电电路
(1)电路似稳
(2)Kirchhoff方程仍然适用
(3)时间常数 RC
充电：
q C[1 exp( t )]
RC
放电：
uc
[1 exp(
t )] RC
q C exp( t )
r2 r1
A
B
G r2 tdr t ln r2
r1 r
r1
一、有关电路的计算
2、欧姆定律的微分形式
应用欧姆定律微分形式常涉及到电场和 电势，它们之间仍有：
U AB U A UB
E dl
L
例1：一高压输电线被风吹断，一端触地，从而使强度为I的电
例3、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一
定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分
别为 1、 1、d1和 2、 2、d2 ；且 d1 d2 d 。现将此电容
器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功
率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面
高中物理竞赛专 题 之
电路专题
一、有关电路的计算
1、电阻
对非均匀截面电阻： dR dl
dS
R dR
2、欧姆定律
微分形式的欧姆定律：
j
E
E
一段含源电路的欧姆定律：UA UB IR
电流方向和电动势方向与A→B方向一致的取“ 0(E2 E1 )
[ 2(1 1) 1( 2 1) U 2d1 1d2
+ A 1 , 1 , E1
U
d1
- B 2, 2, E2 d 2
E1
1U 2 2d1 1d2
E2
2U 2 2d1 1d2
U .则材料的电阻率为
。
分析：电阻材料中的电流是流入电流与流出电流（均以接触点
为球心，呈半球状沿径向流入或流出）的叠加，当只有流入存 在时，媒质中的电流密度为
I
j1 2r 2
I E1 j 2r 2
电压表两端所在位置的电势差为
ddd b ar
故电压表读数应为
U同a入理b ，当ab E只 有dr流出d2电d 2流Ir时2 ，dr电压2I表2两1d端所U在材ab 位料 置U电a入的阻b 电率U势为a出b差为2Id
解：在此绝缘层沿径向取半径为r、厚为dr的薄 圆柱层，其电阻为：
dR dr 2rl
R r2 dr ln r2
r1 2rl 2rl r1
一、有关电路的计算
例2：一长为L的金属接头具有如图所示的圆台状，电流从半径
为 r1的端面 S1流向半径为 r2的端面 S2，且在任一截面上都是 均匀分布的，试求：S1 和 S2面之间的电阻。
U
出 ab
b 2d I
I 1
E dr
a
d
2r 2
dr
2
2d
2dUab
I
一、有关电路的计算
例2：球形电容器的两个极为两同心金属球壳，极间充满均匀各
向同性的线性介质，其相对介电常数为 r 。当电极带电后，其
极上电荷量因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为ρ，t=0