高中平面向量经典练习题1（含答案）

高中平面向量经典练习题
【编著】黄勇权
一、填空题
1、已知向量a=a=（（-2-2，，1），向量），向量|b|= 2|a||b|= 2|a|，若，若b ·（·（a-b a-b a-b））= -30，则向量，则向量b 的坐标坐标= =。

2、已知a=a=（（2，1），），3a-2b=3a-2b=3a-2b=（（4,-14,-1），则），则a ·b=。

3、向量a=（m ，-2-2）），向量b=（-6-6，，3），若a ∥b ，则（3a+4b 3a+4b））·（6a-5b 6a-5b））
= 。

4、已知向量a 、b 满足满足|a|=2|a|=2|a|=2，，b=b=（（-1-1，， 2），且（），且（），且（4a-b 4a-b 4a-b）·）·（a+b a+b））=22=22，则，则a 、b 的夹角的夹角。

5、在矩形ABCD 中，)3,1(-=AB ,)2,(-=k AC ，则实数=k 。

6、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若→a ∥→b ，则t ＝ _______。

7、已知、已知||
|=1|=1，，||=， =0，点，点C 在∠在∠AOB AOB 内，且∠内，且∠AOC=30AOC=30AOC=30°，设°，设=m +n （m 、n ∈R ），则等于等于。

8、若、若||+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为的夹角为 。

9、已知向量=（2，1），=10=10，，|+|=，则，则|||=|=（（ ）
1010、已知平面向量、已知平面向量
，，x ∈R ，若，则，则||
|=______|=______。

二、选择题
1、已知向量a=a=（（2，1），向量b=b=（（1，-1-1），那么），那么2a+b=。

A 、 （5,5,，，1） B 、（、（44，1） C 、（、（55，2） D 、（、（44，2）
2、已知向量a=a=（（2，4），向量b=b=（（-3-3，，0），则b a 2
1+= 。

A 、 3 B 、 3 3 C 、 2 D 、22
3、已知向量a=a=（（2cos 2cosθ，θ，θ，11），向量b=b=（（2sin 2sinθ，θ，θ，-1-1-1），若），若0＜θ＜4π，且a
⊥b ，则tan tanθ的值θ的值θ的值。

A 、 -2- 3 B 、 2-3 C 、3+ 3 D 、-3-3
4、已知非零向量a 、b ，且a =b =b -a ，则a 与a+b 的夹角的夹角。

A 、 90° B 、 60° C 、 30° D 、 0
5、已知向量a=a=（（m ，-1-1），向量），向量b=b=（（4m 4m²²-1-1，，2），若a ∥b ，则（，则（2a+b 2a+b 2a+b）•（）•（）•（a-2b a-2b a-2b））= 。

A 、 0
B 、 1
C 、 1- 54
D 、1+ 54 6、已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r ，若λ为实数，()
a b c λ+⊥r r r ，则λ的值为值为
． A 、 -311 B 、 311 C 、
511 D 、 -511
7、在正五边形ABCDE 中，已知•=9=9，则该正五边形的对角线的长为，则该正五边形的对角线的长为，则该正五边形的对角线的长为
A 、 2 3
B 、 2 5
C 、 3 2
D 、3 5
8、直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆
上任意一点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r 的最大值为的最大值为________________________．．
A 、 12
B 、 10
C 、 8
D 、6
9、已知向量=（x ，2），=（2，1），=（3，x ），若∥，则向量在向量方向上的投影为方向上的投影为。

A 、 1 B 、 2 C 、 4 D 、6
1010、已知非零向量、已知非零向量,a b r r 满足a b a b ==+r r r r ，则（→a +→b ）与（→a +12
→b ）夹角的为 ．
A 、 303030°°
B 、 60°
C 、 90°
D 、120120°°
三、解答题
1、已知向量a 、b 是互相垂直的单位向量，向量c 满足c ·a= c ·b=1 ，|c |= 2
（1）求）求|a+b+c ||a+b+c |的值的值的值
（2）t 为正实数，求为正实数，求|ta+ |ta+ 1t
b+c |的最小值的最小值的最小值
2、点P 为△为△ABC ABC 所在平面上的一点，且→PA+ →PB+ →PC= →AB AB，， 求△求△PAB PAB 的面积与△
ABC 的比值。

的比值。

3、m 是单位向量，向量a=a=（（1，1），向量b=b=（（1，2- 3），若m 与a 、b 所成的夹角相等，求向量m 的坐标。

的坐标。

高中平面向量经典练习题
【答案】
一、填空题
1题：题：
因为a=a=（（-2-2，，1），所以），所以|a|=|a|=5，
又 |b|= 2|a|=25
设b （m ，n ）
则有：m ²+n ²= 20--------------------------------------------------①①
已知b （a-b a-b））= -30
即：即：ab-b ab-b ab-b²²=-30 （因为（因为b ²=（25）²）²=20=20=20））
所以：所以：ab= -10 ab= -10
即（m ，n ）·（）·（-2-2-2，，1）= -2m+n = -10
式子变化：式子变化：n= 2m-10-----n= 2m-10-----
② 将②代入①得，将②代入①得，5m 5m 5m²²-40m+80=0 m ²-8m+16=0
（m-4m-4）²）²）²=0 =0
m=4
【特别提示】【特别提示】
只能将m=4代入②，解得n=-2 （如果将m=4代入①，n 会有两个值）会有两个值）
故：向量b 的坐标为（的坐标为（44，-2-2））
2题：题：
已知：已知：a=a=a=（（2，1）则3a=3a=（（6，3）------------------①①
又3a-2b=3a-2b=（（4,-14,-1））--------------②②
①式-②式，得：2b=（2，4）
b=（1，2）
所以a ·b=b=（（2，1）·（）·（11，2）=4
3题：题：
解：解：a=a=a=（（m ，-2-2），），），b=b=b=（（-6-6，，3） 因为a ∥b
所以：所以：-3m=-3m=-3m=（（-2-2）·（）·（）·（-6-6-6））
，解得m= 4 故a=a=（（4,-24,-2））
因为a=a=（（4,-24,-2），），），b=b=b=（（-6-6，，3）
所以：所以：a= - a= - 23
b （3a+4b 3a+4b）·（）·（）·（6a-5b 6a-5b 6a-5b））=[3=[3·（·（·（- - 23b ）+4b]+4b]··[6[6·（·（·（- - 23
b ）-5b] =2b ·（·（-9b -9b -9b））=-18b =-18b²² b ²=（|b||b|）²）²）²=45 =45
所以：（所以：（2a+5b 2a+5b 2a+5b）·（）·（）·（4a-4b 4a-4b 4a-4b））= -18
·45= -9·2·45= -9·90= -810
4题：题：
解：已知b=b=（（-1-1，， 2），则），则
），则|b|=|b|= 3 已知已知|a|=2|a|=2|a|=2
则：则：a a ²=（|a||a|）²）²）²=4-----------=4-----------=4-----------①①
b ²=（|b||b|）²）²）²=3-----------=3-----------=3-----------②②
|a||a|··|b|=2 3-----------
③ 又（又（4a-b 4a-b 4a-b）·（）·（）·（a+b a+b a+b））=4a =4a²²+3a +3a··b-b b-b²² =22 【将①②代入】【将①②代入】
4·4+3a 4+3a··b-3=22
3a ·b=9
则：则：a a ·b= 3-----------
④ Cos θ=a*b │a │*│b │
【将③ ④代入】代入】 = 32
θ=30° 故，a 与b 的夹角为30°
5题：题：
已知，)3,1(-=AB ,)2,(-=k AC
在三角形ABC 中，→BC BC==
→AC - →AB →BC=BC=（（k-1,1k-1,1））
又∠又∠ABC=90ABC=90ABC=90°，所以，°，所以，→AB AB⊥⊥→
BC →AB ·
→BC=0 即：即：k-1-3=0 k-1-3=0
k=4
6题：±3
7题：题：
因为→OA OA··→
OB OB=0 =0
所以，→OA 与→OB 的夹角为90°，
过C 点作DC ∥OB,连接AC 并延长交OB 于E 点。

在三角形OCD 中，有 →OC= →OD +→DC -------①
已知， →OC=m →OA+n →OB------- ②
由①、②知， →OD =m →OA →DC=n →OB
又 因为||=1|=1，，||=，
所以：所以：||→OD| = m
，|→DC| = n -------------③
在RT △OCD 中，∠DOC=30°
故，tan30°= │DC │
│OD │ -------------
④ 把③代入④， 33 = 3n
m
13 = n m
故：m n =3
8题：题：
解：解： 任意作两个向量a,b, 则→AD AD就是就是a+b a+b，，→BC BC就是就是a-b
已知|+|=|﹣|，也就是平行四边形ABCD 的对角线相等，的对角线相等， 所以，所以，ABCD ABCD 是矩形。

是矩形。

又|+|=2||，即，对角线的长度为一边的2倍，倍， 那么，∠那么，∠DAB=30DAB=30DAB=30°°
也就是向量+与的夹角为3030°°
9题：题：
解：∵解：∵||+|=，||=
∴（+）2=2+2+2
=50=50，， ²=25
得||=5
10题：题：
解：平面向量，，x ∈R ， 若，则4x +2x ﹣2=02=0，解得：，解得：，解得：22x =1=1，，
∴=（1，1），=（1，﹣，﹣11）
∴﹣=（0，﹣，﹣22），），
∴|
|=2
二、选择题
1题：选A
2题、选D 3题：选B
解：解：a=a=a=（（2cos 2cosθ，θ，θ，11），），b=b=b=（（2sin 2sinθ，θ，θ，-1-1-1））
且a ⊥b
所以：所以：4sin 4sin 4sinθθcos cosθθ -1=0
2sin2θ=1
sin2θ= 2
1 因为0＜θ＜4π 则 0＜2θ＜2
π， cos2θ为正。

θ为正。

所以所以 cos 2 cos 2
θ= 23
则：则：tan2tan2tan2θθ=3
3 而tan2tan2θθ=θ
θ2tan 1tan 2- =33 tan tanθθ=2-3
或tan tanθθ= -2-3（θ在一象限，其tan 为正，故舍去）为正，故舍去） 4题：题：C C
如图，因为a =b =b -a ，
所以，三角形为等边三角形，每一个角为6060°°
又a+b 平分a 与b 的夹角的夹角
故：故：a a 与a+b 的夹角为3030°°
b
5题：选A
a=a=（（m ，-1-1），），），b=b=b=（（4m 4m²²-1-1，，2）
因为a ∥b
所以所以 ：（：（-1-1-1）•（）•（）•（4m 4m 4m²²-1-1）） = 2m
化简：化简：-4m -4m -4m²²+1=2m
即：即：4m 4m 4m²²+2m-1=0------+2m-1=0------①①
又2a+b=2a+b=（（2m+4m 2m+4m²²-1-1，，-2+2-2+2））=（0,00,0））
由①知，此项为0
所以：所以：2a+b=2a+b=2a+b=（（0,00,0））
则：（则：（2a+b 2a+b 2a+b）•（）•（）•（a-2b a-2b a-2b））= 0
6题：A
a=（1，2）, b=（1，0），），
c=（3，4） 那么：λa+b=a+b=（（λ+1,2λ）
又因为，（λa+b a+b）⊥）⊥）⊥c c
（λ+1,2λ）•（3，4）=0
3λ+3+8λ=0
λ= - 311
故，选A
7题：C
解：正五边形内角解：正五边形内角==（5-25-2））180180°÷°÷°÷5=1085=1085=108°° 解：设该正五边形的边长为x ，
在RT RT△△BDC 中，线段DC=BC DC=BC••cos36cos36°°=x =x••cos36cos36°°
所以，线段AC=2DC=2x AC=2DC=2x••cos36cos36°°--------------------①①
∵•=9=9，，
COS COS∠∠DAB=向量向量AB AB AB·向量·向量·向量AC AC AB AB··AC
（其中：（其中：（其中：AB=x AB=x AB=x）） cos36cos36°°=9
x *AC
所以，所以，x= x= 9
cos36° * AC
---------------② 将 ②代入①中，得：②代入①中，得： AC = 2 * 9
cos36° * AC
* cos36° 化简：化简： AC = 18
AC
即：即： AC AC
² =18 AC =
∴该正五边形的对角线的长为：3
．
8题：题：A A
如图，建立坐标系，如图，建立坐标系，A A （0，0），），B B （3，0），），C C （0，4）
圆心0（32,2,2）半径）半径r=
5
2 则圆的方程：（则圆的方程：（x- x- 32）²）²+
+（y-2y-2）²）²）²= = （5
2）²）² 等式两边同时乘以（2
5）²）²
[25（x- 32）]²+[2
5（y-2y-2））]²=1
令25（x- 32）=cos =cosθθ 化简得，化简得，x= x= 52cos cosθθ+ 32
25（y-2y-2））=sin =sinθ，化简得，θ，化简得，θ，化简得， y= y= 5
2sin sinθ
θ+2 因为M 在圆上，故设M 坐标（坐标（ 52cos cosθθ+ 32，5
2sin sinθ
θ+2+2）） 所以，→AM= （ 52cos cosθθ+ 32，52sin sinθ
θ+2+2）） →AB=(3AB=(3，，0）
那么，→AM AM··→AB=AB=（（ 52cos cosθθ+ 32，52sin sinθ
θ+2+2）） ·(3(3，，0） = 152cos cosθθ+ 9
2
因为θ可以取负数，因为θ可以取负数，00，正数，正数
当M 点与B 点重合时，θ点重合时，θ=0 =0
Cos Cosθ取最大值θ取最大值1，
则→AM AM··→AB AB最大值最大值最大值==152 + 92 =12
故选A
9题：题：C C
解：∵=（x ，2），=（2，1），∥，
∴x=2×2=4，
∴=（3，4），
∴||=5，
=（4，2）•（3，4）=12+8=20， ∴向量在向量方向上的投影为
==4， 故答案为：4．
1010、选、选A 因为a b a b ==+r r r r ，所以三角形ABC 为等边三角形，每个角为6060°，°，°，
D 为BC 中点，那么，中点，那么，AD AD AD⊥⊥BC BC，，
在三角形ABD 中，→AD AD==→AB+→DB(其中→AB=→a ，→BD=12
→b ) 所以，→AD AD==→a +12
→b --------------------------------①① 又→AC=→a +→b --------------- ②
由① ②知，（→a +→b ）与（→a +12
→b ）的夹角就是→AD AD与与→AC AC的夹角的夹角的夹角 而→AD AD与与→AC AC的夹角的夹角的夹角==∠DAC=30DAC=30°°
故选A
三、解答题
1、解、解
【第一问】【第一问】 因为a 、b 是单位向量，所以，是单位向量，所以，a a ²=（|a||a|）²）²）²=1-----------=1-----------①
b ²=（|b||b|）²）²）²=1----------=1----------②
又a ⊥b ，所以a ·b=0 -------------③
|c |= 2 则c ²=（|c||c|）²）²）²=2--------=2--------④
c ·a= c ·b=1 ----------⑤
令m= a+b+c
，等式两边同时平方，等式两边同时平方 m ²=a =a²²+b +b²²+c +c²²+2ab+2bc+2ac 【将①【将①
【将① ② ③ ④ ⑤ 】 m ²=1 +1 +2 +0 +2*1+2*1
m ²=8
故|a+b+c |= 8= 2 2
【第二问】【第二问】
令n =ta+ 1t
b+c 等式两边同时平方等式两边同时平方
n ²=t =t²²a ²+ 1t ²b ²+c +c²²+2ab+21t
bc+2tac 【将①【将①【将① ② ③ ④ ⑤ 】 n ²=t =t²² + 1t ² +2 +0 + 2
t +2t-------------------⑥
又t 为正实数，为正实数，t t ² + 1t ²
≥ 2t ² . 1t ² =2-------⑦ 2t
+2t ≥ 22t . 2t
= 4--------⑧ 将 ⑦ ⑧代入⑥
n ²≥2+2+4=8
故：故：|ta+ |ta+ 1t
b+c |≥ 2 2 所以，所以，|ta+ |ta+ 1
t b+c |的最小值为的最小值为
的最小值为22 2
2、
解：解：
因为在三角形ABP 中，中， →PB= →PA+ →AB AB，，
将→PA PA移到等号的左边，得移到等号的左边，得→PB - →PA =→AB---------AB---------①①
已知已知 →PA+ →PB+ →PC= →AB----------AB----------②②
两式相减，即①两式相减，即①- - ② 得，得，-2 -2 →PA -→PC= 0 即：即：→PC = -2
→PA 【特别提示】【特别提示】
1、如果三个点构成的任意两个向量，他们的比值为一个常量，那么，这三个点共线。

共线。

2、比值常量可以为正，也可以为负，常量可以是有理数，也可以是无理数：例
如比值为2，-2-2，，13 ，- 13， 2 ， 22，- 2 -
2
2 3、根据比值的正负，最终排定三个点的先后顺序。

、根据比值的正负，最终排定三个点的先后顺序。

因为，→PC = -2→PA 所以所以 A A
、C 、P 三点共线，比值为负，故P 在边AC 上，且位于A 、C 之间。

之间。

由上图，→PC = -2→PA 则2|AP |=|PC| 三角形三角形ABC 被分成两部分，其面积之比1:2 故：△PAB 的面积与△的面积与△ABC ABC 的比值1:3
3、解：、解：
设m 坐标（坐标（x x ，y ）
m 是单位向量，则是单位向量，则|m |=1------------------|m |=1------------------①
a=a=（（1，1） 则|a|= 2-------------------②
b= （1，2- 3）则）则|b|= |b|= 6-
2---------③ 【过程】【过程】|b||b||b|²²= 1² +（2- 3）²）² = 1 + = 1 +
（4 -43 +3） =8 - 43 =（6+26+2））-212
=（6）²）²-2-262+2+（（2）²）²==（6- 2）²）² 那么，
cos<a cos<a··m> = a ·m │a │·││·│m m │
【将① ②】
得，得，cos<a cos<a cos<a··m> = a ·m √2·1 = a ·m √2
-----------④ cos<b cos<b··m> = b ·m
│b │·││·│m m │【将① ③】
得，得，cos<b cos<b cos<b··m> = b ·m （√（√6-6-6-√√2）·）·11 = b ·m √2（√（√3-13-13-1））
-----------⑤ 因为m 与a 、b 所成的夹角相等，所成的夹角相等，
所以所以④④= ⑤ 即 a ·m √2 = b ·m √2（√（√3-13-13-1））
等式两边同时乘以 2（ 3 -1） （ 3 -1）·）·a a ·m=b m=b··m-----------------m-----------------⑥⑥
因为m=m=（（x ，y ），），a=a=a=（（1，1），向量b=b=（（1，2- 3）
则 a ·m= x +y----------------------⑦
b ·m=x +（2- 3）y---------------y---------------⑧⑧
将⑦ ⑧代入⑥
（ 3 -1）（）（ x +y x +y
）= x +（2- 3）y 化简：化简：[[（ 3 -1）-1]x=[-1]x=[（（2- 3）-（ 3 -1
）]y （ 3 -2）x=x=（（3- 23）y 等式两边同时乘以（等式两边同时乘以（ 3 +2
） 得，（得，（3-43-43-4））x=x=（（3 3+6-6-4 3
）y -x= - 3y
x= 3y------------⑨
因为因为|m |=1 x |m |=1 x ²+y +y²²=1 【将【将【将 x= x= 3y 代入】代入】
解得：解得：y=y=y=±±12
将 y=±12代入代入⑨，⑨，x= ± 32
故：故：m m 坐标（12, 32）或（）或（- - 12，- 32
） 【第二种情况】【第二种情况】
向量a 、b 所形成的夹角有两个，所形成的夹角有两个，且这两个夹角互补，且这两个夹角互补，且这两个夹角互补，他们的他们的cos 值互为相反数。

也就是说，也就是说，
cos<a cos<a··m> = - cos<b
·m> 即 a ·m √2 = - b ·m √2（√（√3-13-13-1））
等式两边同时乘以 2（ 3 -1） -（ 3 -1）·）·a a ·m=b m=b··m-----------------m-----------------⑩⑩
因为m=m=（（x ，y ），），a=a=a=（（1，1），向量b=b=（（1，2- 3）
则 a ·m= x +y--------------------------
⑪ b ·m=x +（2- 3）y------------------⑫
将⑩⑪代入⑫
-（ 3 -1）（）（x+y x+y x+y））= x +
（2- 3）y [-[-（（ 3 -1）-1]x=[-1]x=[（（2- 3）+（ 3 -1
）]y - 3 x=y------------
⑬ 因为因为|m |=1 x |m |=1 x ²+y +y²²=1 【将【将【将 y= - y= - 3x 代入】代入】
解得：解得：x=x=x=±±12
将 y=12代入⑬，x= - 32
y= - 12代入⑬，x= 32
故：故：m m 坐标（ 32，- 12）或（）或（- - 32， 12
，），） 综上：m 坐标（12, 32）或（）或（- - 12，- 32）或（ 32，- 12）或（）或（- - 32， 12
，）。