(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

;第一章 一、填空题
1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为
0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为
（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，
0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为
（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为
（ AB
AC BC I I ）
； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求
敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）
15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为
（ ABC ABC ABC ++ ）
16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）
18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（
1
10000
）。

二、选择填空题
1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ） Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D 、随机事件
2. 某工厂每天分3个班生产，i A 表示第i 班超额完成任务(1,2,3)i =，那么至少有两个班超
额完成任务可表示为（ B ）
A 、123123123A A A A A A A A A ++
B 、123123123123A A A A A A A A A A A A +++
C 、123
A A A U U D 、123A A A
3.设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 (C ). (A) B A Y 是C 的子事件; (B);ABC 或;C B A Y Y (C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件
4. 如果A 、B 互不相容，则（ C ）
A 、Ａ与Ｂ是对立事件
B 、A B U 是必然事件
C 、A B U 是必然事件
D 、A 与B 互不相容
5．若AB =Φ，则称A 与B （ B ）
A 、相互独立
B 、互不相容
C 、对立
D 、构成完备事件组 6．若AB =Φ，则（ C ）
A 、A 与
B 是对立事件 B 、A B U 是必然事件
C 、A B U 是必然事件
D 、A 与B 互不相容 7．Ａ、Ｂ为两事件满足B A B -=，则一定有（ B ） A 、A =Φ B 、AB =Φ C 、AB =Φ D 、B A =
8．甲、乙两人射击，Ａ、Ｂ分别表示甲、乙射中目标，则A B +表示（ D ） Ａ、两人都没射中 Ｂ、两人都射中 Ｃ、至少一人没射中 D 、至少一人射中
三、计算题
1.用3台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零件的合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率. 解:设B 表示产品合格，i A 表示生产自第i 个机床（1,2,3i =）
3
1
()()(|)0.40.920.40.930.20.95i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑
2．设工厂A 、B 和C 的产品的次品率分别为1%、2%和3%， A 、B 和C 厂的产品分别占50%、40%和10%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 厂生产的概率是多少？
解:设D 表示产品是次品，123,,A A A 表示生产自工厂A 、B 和C
1113
1
()(|)
0.010.5
(|)0.010.50.020.40.030.1
()(|)
i
i
i P A P D A P A D P A P D A =⨯=
=
=⨯+⨯+⨯∑
3.设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分
别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率. 解:设D 表示产品是次品，123,,A A A 表示生产自工厂甲, 乙, 丙
3
1
()()(|)0.450.040.350.020.20.05i i i P D P A P D A ===⨯+⨯+⨯=∑0.026
111()(|)0.450.04(|)()P A P D A P A D P D ⨯=
==9
13
4．某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的60%，第二车间生产全部
产品的30%，第三车间生产全部产品的10%。

各车间的不合格品率分别为0.01，0.05，0.04，任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？
解:设D 表示产品是不合格品，123,,A A A 表示生产自第一、二、三车间
3
1
()()(|)0.60.010.30.050.10.04i i i P D P A P D A ===⨯+⨯+⨯=∑0.025
5．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 厂生产的概率是多少？ 解:设D 表示产品是次品，12,A A 表示生产自工厂A 和工厂B
1112
1
()(|)
0.010.6(|)0.010.60.020.4()(|)
i
i
i P A P D A P A D P A P D A =⨯=
=
=⨯+⨯∑3
7
6.在人群中，患关节炎的概率为10%, 由于检测水平原因，真的有关节炎能够检测出有关节炎的概率为85%. 真的没有而检测出有的概率为4%，假设检验出其有关节炎，问他真有关节炎的概率是多少?
解:设A 表示检验出其有关节炎，B 表示真有关节炎
()(|)0.10.85
(|)()(|)()(|)0.10.850.90.04
P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯=
==+⨯+⨯0.7025
第二章
一、填空题
1．已知随机变量X 的分布律为：
5
.04.01.0101P X - ，则2
{0}P X ==（ 0.4 ）。

2．设球的直径的测量值X 服从[1,4]上的均匀分布，则X 的概率密度函数为
（ 1
14()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，
其他
）。

3．设随机变量~(5,0.3)X B ，则E （X ）为（ 1.5 ）. 4
．
设
随
机
变
量
)
2.0,6(~B X ，则X 的分布律为
（ 6-6P{X=k}=C 0.20.8,=0,1,6k k k
k L ）。

5．已知随机变量X 的分布律为：
5
.04.01.0101P X
- ，则==}1{2
X P （ 0.6 ）。

6．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,
0,1)(3x x e x F x 当当则X 的概率密度函数
（ =)(x f 33,0,
0,
0.x e x x -⎧>⎨≤⎩当当 ）;
7．设随机变量),(~2
σμN X ,则随机变量σ
μ
-=X Y 服从的分布为
（ ~(0,1)X N ）;
8.已知离散型随机变量X 的分布律为
30
/1136/133
1012a a a P X
-- ，则常数
=a ( 1/15 );
9．设随机变量X 的分布律为：.10,,2,1,10
}{Λ===k A
k X P 则常数=A ( 1 )。

10．设离散型随机变量X 的分布律为3
.05.02.04
23P X - ，)(x F 为X 的分布函数，则)2(F =
（ 0.7 ）;
11．已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00
,5)(5x x e x f x ，则X 的分布函数为
（ 51-,0
()0,
0x e x F x x -⎧>=⎨≤⎩ ）
12.已知随机变量X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为
c
c c c 167
,85,43,21，则常数=c ( 16/37 ).
13．已知 X 是连续型随机变量，密度函数为()x p ，且()x p 在x 处连续，()x F 为其分布函
数，则()x F '=( ()p x )。

14．X 是随机变量，其分布函数为()x F ，则X 为落在(]b a ,内的概率
{}P a X b <≤=( F(b)-F （a ） )。

15．已知 X 是连续型随机变量，a 为任意实数，则{}P X a ==（ 0 ）。

16．已知X 是连续型随机变量,且X ～()1,0N ，则密度函()x ϕ=(
2
2
x e )。

17．已知 X 是连续型随机变量，密度函数为()x p ，{}P a X b <≤=（
()b
a
p x dx ⎰
）。

18．已知X 是连续型随机变量,且X ～()1,0N ，()的分布函数是X x Φ，若(),3.0=Φa 则
()=-Φa （ 0.7 ）。

19．设随机变量)4,6(~N X ，且已知8413.0)1(=Φ，则=≤≤}84{X P （ 0.6826 ）。

20．已知X 是连续型随机变量,且X ～()b a U ,,则密度函数为
( 1
()-0,a x b f x b a ⎧≤≤⎪
=⎨⎪⎩，其他 )。

二、选择填空题
1. 三重贝努力试验中,至少有一次成功的概率为
64
37
,则每次试验成功的概率为(A) 。

A. 41 B. 31 C. 43 D. 3
2
2. 设随机变量X 的密度函数()()⎪⎩
⎪⎨⎧∈+=其他,01,0,12
x x C
x f ,则常数C 为( C )。

A. 2π
B. π2
C. π4
D. 4
π
3. X ～(
)2
,σ
μN ，则概率}{σμk X P <-（ D ）
A. 与μ和σ有关
B. 与μ有关，与σ
无关
C. 与σ有关，与μ无关
D. 仅与k 有关
4
)(x F 为其分布函数,则)2
(F =（ C ）。

A. 0.1 B. 0.3 C. 0.6 D. 1.0 5．已知X ～()1,0N ,Y =21X - , 则 Y ～（ B ）。

A. ()1,0N
B. ()4,1-N
C. ()3,1-N
D. ()1,1-N 6．已知随机变量
X 的分布率为
则=>)2(X P （ D ）。

A ． 0.1
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.6 7．在相同情况下,独立地进行5次射击,每次射击时,命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X 的概率分布率为（ A ）。

A. 二项分布B )6.0,5( B. 泊松分布P(5) C. 均匀分布()5,6.0U D. 正态分布
8．()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-=其他
,0,1
b x a a b x p ,是（ C ）分布的概率密度函数.
A. 指数
B. 二项
C. 均匀
D. 泊松
三、计算题
1．设随机变量~(1,4)X N ，求：F （5）和{0 1.6}P X <≤。

(0.2)0.5793,(0.3)0.6179,(0.4)(0.6554),(0.5)0.6915(0)0.5,(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987
Φ=Φ=Φ=Φ=Φ=Φ=Φ=Φ=
解：10.951
(5){5}{
77}(2)222
X F P X P --=≤=≤=Φ= 011 1.61
{0 1.6}{}(0.3)(0.5)(0.3)(0.5)10.3094
222
X P X P ---<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ+Φ-=
2．设2
(3,4)X N :，求{48},{05}P X P X <≤≤≤（可以用标准正态分布的分布函数表示）。

4338351{48}{
}()()44444X P X P ---<≤=<≤=Φ-Φ 03353
{05}{}(0.5)(0.75)(0.5)(0.75)1444
X P X P ---<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ+Φ-
3．设随机变量),2(~2
σN X ，且3.0}42{=<<X P ，求{0}P X <。

22
2
42
2
{24}{}()(0)0.3
2
()0.8X P X P σ
σ
σ
σ
σ
---<≤=<
≤
=Φ-Φ=Φ=
2
02
2
2
{0}{
}(
)1()0.2X P X P σ
σ
σ
σ
---<=<
=Φ=-Φ=
4.设随机变量X 的分布律为
求2
Y X =-1的分布律。

5.某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径（以毫米计）2
(10,0.2)X N :，垫圈直径（以毫米计）
2(10.5,0.2)Y N :，X ，Y 相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的
概率。

解：2
(0.5,20.2)X Y N --⨯:
{
}{0}(1.768)P X Y P X Y P <=-<=<=Φ
求 X 的分布函数和5{}42
P X <<。

解：551{}{2}423
P X P X <<===
7．设随机变量Y 的概率密度函数为()0.2,(10)0.2,(01)0,()y p y cy y -<≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪⎩
其他,求 (1)常数c;
(2){00.5}P Y ≤≤。

解：（1）
01
1
()0.2(0.2)0.20.2121.2
c
p y dy dy cy dy c +∞
-∞
-=++=++
==⎰
⎰⎰
（2）0.5
{00.5}(0.2 1.2)0.20.50.60.250.25P Y y dy ≤≤=+=⨯+⨯=⎰
第三章
一、填空题
1.设连续型随机变量Y X ,的概率密度分别为)(),(y f x f Y X ，且X 与Y 相互独立，则),(Y X 的概率密度=),(y x f （ ()()X Y f x f y ）。

2.已知)4,1(~),3,1(~2
2
N Y N X - ，且X 与Y 相互独立，则~Y X +（ ~(0,25)X N ）
二、计算题
1．设X 与Y 相互独立，其概率分布如表所示，求：（1）（X ，Y ）的联合分布，（2）E （X ），D （Y ）。

11119
()12432312E X =-⨯-⨯+⨯=-
11113
()1322444E Y =-⨯+⨯+⨯=
2111121
()1942448
E Y =⨯+⨯+⨯=
2221933
()()(())81616
D Y
E Y E Y =-=-=
2.设),(Y X 的分布律如下
1
{1}{2}{1,2}39279
P X P Y P X Y ===⨯=≠===
X 与Y 不独立。

3．设随机变量（X,Y ）的概率分布如下表所示：
求X 与Y 的边缘分布，X 和Y 是否独立
{1}{1}0.750.30.225{1,2}0.2P X P Y P X Y =-=-=⨯=≠===
X 与Y 不独立
第四章
一、填空题
1.若随机变量X 服从泊松分布X~p(λ)，则D(X)=（ λ ）。

2．若随机变量X 和Y 不相关，则)(Y X D -=（ D(X)+D(Y) ）。

3．若随机变量X 和Y 互相独立，则E(XY)=（ E(X)E(Y) ）。

4．若随机变量X 服从正态分布X~N(2,σμ)，则D(X)=（ 2
σ ）。

5．若随机变量X 在区间[1,4]上服从均匀分布X~U(1,4)，则E(X)=（ 2.5 ）。

6．已知随机变量X 与Y 的期望分别为E(X)=3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y ，则期望E(Z)=（ -1 ）。

9．若随机变量X 服从二项分布X~B(4,0.5)，则D(X)=（ 1 ）;; 11若已知E(X)，D(X)，则+=)()(2
X D X E （ 2
(())E X ）。

12．已知随机变量X 与Y 的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变量Z=5X-2Y ，则期望E(Z)= （ 0 ）.
13．若随机变量X 服从二项分布X~B(n,p)，则D(X)=（ np （1-p ） ）。

14．设X~U(1,3)，则E(X)=（ 2 ）。

15．随机变量X 和Y 相互独立,且D(X)=5,D(Y)=6 求随机变量Z=2X-3Y 的方差D(Z)=（ 74 ）
16．X 是随机变量，且X ～()5p ，则E(X)=( 5 )。

二、选择填空题
1. 已知X ～()()Λ,3,2,1,0!
33
===-k e k k X P k ,则E ()[]
132-X = D 。

A. 3
B. 12
C. 30
D. 33 2. 随机变量X ～()1,0N ，2
X Y =,则相关系数XY ρ=( B )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
3. 随机变量X 的分布率为{}()Λ3,2,1,0!
22===k k e k X P k
,则D(2X)= D 。

A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4．已知随机变量X 服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数p n ,的值分别为（ B ）。

A.6.0,4==p n
B. 4.0,6==p n
C. 3.0,8==p n
D. 1.0,24==p n
5．已知X 的密度函数为()[]⎩
⎨⎧∈=,2,0,5.0其他x x p 则X 的数学期望E(X)= （ B ）。

A.
2
1
B. 1
C.2
D. 4
6．Y X ,是互相独立的随机变量, ()6,E X = ()3E Y =,则()2E X Y -=（ A ）。

A. 9 B. 15 C. 21 D. 27
7．设X 的概率密度函数为()⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=-0,00
,10110
x x e x p x
,则E(2X+1)= （ C ）。

A. 1.4
B. 41
C. 21
D. 20
8．Y X ,是互相独立的随机变量, (),6=X D ()3=Y D ,则()Y X D -2=（ D ）。

A. 9 B. 15 C. 21 D. 27
三、计算题
1．设二维随机变量的联合概率分布为
求：（1）X 与Y 的边缘分布，（2）E （
X ），D （Y ）。

()10.510.2520.250.25E X =-⨯+⨯+⨯= ()20.5510.150.95E Y =-⨯+⨯=- 2()40.5510.15 2.35E Y =⨯+⨯=
222()()(()) 2.350.95 1.4475D Y E Y E Y =-=-=
2．已知2
2
1(1,3),(0,4),,232
XY X Y
X N Y N Z ρ=-=+::设，求Z 的期望与方差，求X 与Z 的相关系数。

111
()()()323
E Z E X E Y =+=
1111
()()()2cov(,)94321111
()()2943211111
916234394322XY D Z D X D Y X Y D X D Y ρ=
++⨯⨯=++⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==
cov(,
)11
cov(,)
0()XZ X Y X D X X Y ρ+=
=
==+3
，试求cov （X,Y ）及XY ρ。

33()111414311
()1272821533
()1228284E XY E X E Y =⨯⨯
==⨯+⨯==⨯+⨯=
3139
cov(,)()()()142456
X Y E XY E X E Y =-=-⨯=- 22314
()1
47287
15327
()14282828
E X E Y =⨯+⨯=
=⨯+⨯=
22419()()(())7428D X E X E X =-=
-= 22279
()()(())2816
D Y
E Y E Y =-=-=0.4018
XY ρ=
=-0.447
4．设随机变量（X,Y ）具有密度函数3,(,)(,)0,x y G
f x y ∈⎧=⎨
⎩其它
，其中区域G 由曲线
22y x x y ==与围成，求cov （X,Y ）及XY ρ。

解:
2
221
125
003
1132001140033111()()()22364219
()3()3()542033119
()()()222520x x x E XY xydxdy x x dx E X xdxdy x x dx E Y ydxdy x x dx ==
-=-=
==-=-===-=-=
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
19919
cov(,)()()()42020800
X Y E XY E X E Y =-=
-⨯=
2
25
1
1
2
2
4
2
003
11226200219()3()3()7535
219
()()()5735x x E X x dxdy x x dx E Y y dxdy x x dx ==-=-===-=-=
⎰
⎰⎰⎰
22981153
()()(())354002800D X E X E X =-=
-=
22981153
()()(())354002800D Y E Y E Y =-=-=
XY ρ=
=0.434
5．设（X ，Y ）服从分布
试求E(X),E(XY),D(Y)。

解:
311
()127282
33
()111414
E X E XY =⨯+⨯=
=⨯⨯=
1533()1228284E Y =⨯
+⨯= 215327
()14282828
E Y =⨯+⨯=
22279
()()(())2816
D Y
E Y E Y =-=
-=0.4018 6. 设随机变量(,)X Y 具有概率密度，24,01,01,1
(,)0,xy x y x y f x y ≤≤≤≤+≤⎧=⎨⎩
求E(X),E(Y),E(XY)。

111
22230001112
220001112
30001
()248(1)601()2412(1)=301()248(1)=
20x
x x E XY x y dxdy x x dx E X x ydxdy x x dx E Y xy dxdy x x dx ---==-=
==-==-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
7. 已知，X~)3,1(2
N ，Y~21),16,0(=XY N ρ，设3
2Y
X Z +=求Z 的期望与方差，求X 与Z 的相关系数。

解:111
()()()232
E Z E X E Y =
+=
1111
()()()2cov(,)49321111
()()24932111112179162344932236XY D Z D X D Y X Y D X D Y ρ=
++⨯=⨯=++⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯
cov(,
)()11
cov(,)
.088XZ D X X Y X X Y ρ+=
=
=+=
第五章
一、填空题
1．如果从总体
X
中抽取样本为123,,,...,n X X X X ，则样本均值为
（ 1
1n
i i X X n ==∑ ）。

2．如果从总体
X
中抽取样本为123,,,...,n X X X X ，则样本方差为
（ 2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑ ）。

3．设X~N （2，16），2S 为样本方差，则E （2
S ）=（ 16 ）。

4．样本（X 1，…，Xn ）取自标准正态总体N （0，1），X ，S 分别为样本均值及样本标准差，则n X ～( N(0,1) )。

5．样本（X 1，…，Xn ）取自标准正态总体N （0，1），X ，S 分别为样本均值及样 本标准差，则
∑=n
i X
1
i 2
～(
2
(1)n χ- )。

6．样本（X 1，…，Xn ）取自正态总体N （μ，2σ），X ，S 分别为平均数及标准差，则
X ～( 2
(,
)N n
σμ ).
7．若随机变量n X X X X ,,,,321Λ相互独立,服从同一分布,且()()0,2
>==σμi i X D X E ,
令∑==n
i i X n X 11,则()
=X D （ 2n
σ ）。

二、选择填空题
1. 设总体),(~2
σμN X ，其中μ已知，2
σ未知，21,X X 是取自总体X 的样本，则下列
各量为统计量的是（ A ）
A 21X X +
B 2σμ+1X
C 2
1σμ++X D
σ
μ
-1X
2. 样本n X X X ,...,,21是来自正态总体的简单随机样本；下列各统计量服从标准正态分布的是（ D ） A.
)(121n X X X n
+++Λ B. 2
22
21n X X X +++Λ C. 2
1)(11∑=--n i i
X X n D. n
X /σμ- 3．从总体中抽取容量为5的一个样本1.1 0.9 1.2 1.2 1.1，则x =（ B ） A.1 B.1.1 C.1.2 D.5.5 4．若2
(5)X χ:，则D(X)=（ B ）
A.1
B.10
C.5
D.0
5．从总体中抽取容量为5的一个样本10.1 9.9 10.2 10.2 10.1，则x =（ B ） A.10 B.10.1 C.10.2 D.50.5 6．若2
(5)X χ:，则E(X)=（ C ）
A.1
B.10
C.5
D.0
三、计算题
1．从正态总体中抽取5个样本如下：8.1,8.2,8.3,7.8,7.6,；求样本均值与样本方差。

解:8.18.28.37.87.6
85
x ++++=
=
2222221
[(8.18)(8.28)(8.38)(7.88)(7.68)]0.0854
s =-+-+-+-+-=
2．从总体抽取5个样本如下：5.1,5.2,5.4,4.6,4.7，求样本均值和样本方差。

5.1 5.2 5.4 4.6 4.7
55
x ++++=
=
2222221
[(5.15)(5.25)(5.45)(4.65)(4.75)]0.1154
s =-+-+-+-+-=
3. 从正态总体中抽去了容量为5的一个，样本，数据如下：7.3、7.2、7.1、6.8、6.6；求样本均值与样本方差。

7.37.27.1 6.8 6.6
75
x ++++=
=
2222221
[(7.17)(7.27)(7.37)(6.87)(6.67)]0.0854s =-+-+-+-+-=
第七章
一、填空题 1．设θ
ˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为参数θ的一个( 无偏 )估计量。

2．设总体),(~2
σμN X ， 2
σ为未知，μ为未知，设128,,,X X X L 为来自总体X 的一个样
本，则2
σ的置信度为0.95的置信区间为（ 22
220.0250.975577(,)(7)(7)
S S χχ ）。

3．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若（ θθ=)ˆ(E ），则称θ
ˆ为参数θ的一个无偏估计量。

4．设总体),(~2
σμN X ， 2
σ为已知，μ为未知，设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的一个
样本，则μ的置信度为α-1的置信区间为（
2
2
(,)x z x z αα ）。

二、选择填空题
1. 下列统计量( A )既是总体均值μ的无偏估计量又是矩估计量.
A X
B 2
S C 20S D
X n
1 2．在单正态总体期望μ区间估计中（2
σ已知），已知置信度为0.95，下面说法正确的是（ A ）。

A ．使用分位数0.025 1.96u =
B ．使用分位数0.05(15) 1.7531t =
C ．加大样本容量会使置信区间变大
D ．降低置信度会使置信区间变大
三、计算题
1．设总体X 服从正态分布(5,1)N ，123,,X X X 为一个样本，试验证 都是m 的无偏估计量，那一个估计量更好。

µ¶1123
2123111()()()()5424
111()()()()5333
E m E X E X E X E m E X E X E X =++==++=
µ¶µ¶11232123
1
2
1113()()()()1641681111()()()()9993()()D m D X D X D X D m D X D X D X D m
D m =++==++=> 2．设总体X 的概率密度为
2
2
(),0()0,
x x f x ααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它
其中a 是未知数，n X X X ,,,21Λ是取自X 的样本, 求参数α的矩估计。

解：
10
1
122
(21
()33
33)ˆx x E X dx A X X α
μααααααμα
===-==-==⎰
3．以X 表示某种小包装糖果的重量（单位以克计），(,4)X N μ:，今取得样本容量为10的样本均值为56.61，求μ的置信度95%的置信区间。

(0.025 1.96u =,0.05 1.645u =)
解:
μ的置信度95%的置信区间为
2
2
1.9(,)(56.6156, 1.966.61)(54.13,59.09)x z x z αα=+= 4．设总体X 服从正态分布(,1)N m ，12,X X 为一个样本，试验证
µ¶112212
1412,5533
m X X m X X =+=+都是m 的无偏估计量，那一个估计量更好。

解:
µ¶µ¶µ¶112
212
112
212
1
2
14()()()55
12()()()33
11617()()()252525145()()()999()()E m E X E X m E m E X E X m D m D X D X D m D X D X D m
D m =+==+==+==+=>
5．以X 表示某种小包装糖果的重量（单位以克计），(,4)X N μ:，今取得样本容量为10的样本均值为56.61，求μ的置信度95%的置信区间。

(0.025 1.96u =,0.05 1.645u =) 解:μ的置信度95%的置信区间为
2
2
1.9(,)(56.6156, 1.966.61)(54.13,59.09)x z x z αα=+= 6. 设总体X 服从正态分布(,1)N m ，12,X X 为一个样本，试验证
2122114
3
41ˆ,3231ˆX X m
X X m
+=+=都是m 的无偏估计量，哪一个估计量的估计效果 更好。

解:
µ¶µ¶µ¶112
212
112
212
1
2
12()()()33
13()()()44
145()()()9991910()()()161616()()E m E X E X m E m E X E X m D m D X D X D m D X D X D m
D m =+==+==+==+=<
其中参数（0<θ<1）未
7.设总体X 具有分布。

1231,2,1x x x ===，
知，已经取得样本求θ的最大似然估计值。

解:3
3
3
1
1
1
(3)(1)313
(3)(1)
31
(3)(1)
31
1
33
3
1
1
1
311{}2(1)()2
(1)
2
(1)ln ()(3)(1)ln 2(3)ln (1)ln(1)3(1ln ()i i i
i i i i
i i i i x x x x x x x x x x x x i i i i i i i i i i i i P X x L L x x x x x x d L d θθθθ
θθ
θθθθθθθ===------------========-∑
∑
∑=-=-=--+-+----=-∏∑∑∑∑3
)
0156
θθ=-=
∑
8.有一大批葡萄。

从中随机抽取样30份袋，算经检测糖含量的均值与方差如下：
2214.72,(1.381) 1.9072x s ===，并知道糖的含量服从正态分布，求总体均值μ的置信水平
为0.95的置信区间。

（0.0250.0250.050.05(29) 2.0452,(30) 2.0432,(29) 1.6991,(30) 1.6973t t t t ====）
解：μ的置信水平为0.95的置信区间
22((1),(1))(14.7214.72)(14.20,15.24)2.0452, 2.0452x n x n αα-+-=+=
9．设总体X 的概率密度为
(1),01
(,)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨
⎩
其他，其中θ（1θ>-）为待估参数，设12,...n X X X 是来自X 的样本求θ的矩估计量
解：
1
110
1111()(1)2
121
121
E X x dx A X X X θθμθθμθμθ++==+=
+-=
-=-=
-⎰)
10．从总体(,25)X N μ:中抽取容量为4的样本，其中μ未知，则以下估计量哪一个更好。

11234212343123411
()()
63
(234)/5()/4
T X X X X T X X X X T X X X X =+++=+++=+++ 112342123431234112343123411
()(()())(()())63
()(()2()3()4())/52()(()()()())/4115
()(()())(()())2536918
25
()(()()()())/1616
(E T E X E X E X E X E T E X E X E X E X E T E X E X E X E X D T D X D X D X D X D T D X D X D X D X D T μ
μμ
=+++==+++==+++==
+++=⨯=+++=
13)()
D T > 11．设总体),(~2
σμN X ,
μ与2σ均未知,从总体中抽取容量为12的样本,算得
x
=66.3,s=9.4,求置信度为
0.95
的
μ
的置信区间,(其中
0.0250.025(11) 2.2010,(12) 2.1788,t t ==0.050.05(11) 1.7959,(12) 1.7823t t ==)
解：μ的0.95置信区间
22((1),(1))(66.366.3)(60.32,72.28)2.2010, 2.2010x n x n αα--=+=
12.以X 表示某工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设(,1296)X N μ:，今取得一容量为27的样本，测得样本均值为1478，求μ的置信水平为0.95的置信区间。

解：μ的置信水平为0.95的置信区间
2
2
1.96,(,)(14781478)(1437,1519)1.96x z x z αα=+= 第八章
一、填空题
1．假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生的，该原
理称为( 实际推断原理 )。

2．在正态总体中，抽取样本100321,...,,X X X X 进行检验，其中总体的均值和方差都未知，要对总体的方差进行假设检验，则使用（ 2
χ ）检验进行检验。

3．设显著水平为α，当原假设不正确时，由于样本的随机性，作出了“接受假设”的决策，因而犯了错误，称为犯了( 取伪 )错误。

4．在检验问题中，当水平α确定后，为了减少决策时犯错误的概率，我们通常采用的方法是（ 增大样本量 ）。

5．设总体),(~2σμN X ，μ、2σ已知，n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的样本，则检验统计量为U=（
X ）。

6．设显著水平为α，当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒绝接受假设”的决策，因而犯了错误，犯该错误的概率为( α )。

7．设总体),(~2
σμN X ，μ、2σ未知，n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的样本， 则检验统计量T=（
X ）
二、选择填空题
1.如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检验方法是（ D ）检验。

A.2
χ B.F C.U D.t
2.在检验总体的未知参数的过程中，我们一般采用的水平=α（ C ）。

A.100
B.90
C.0.05
D.95
3.一般情况下，如果总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用大样本的方法，这里的大样本是指样本的容量（D ）。

A.10
B.20
C.40
D.100
4．在双正态总体方差相等的检验中，从两个总体中抽取样本容量分别为9和10的简单随机样本。

则2122
S F S =:( D ) 。

A ．F(9,10) B ．F(8,10) C ．F(9,9) D ．F(8,9)
三、计算题
1.两种型号的绞线其拉断强度的抽样数据的样本均值和样本均方差如下：
A 种：9个，93.78, 4.2065A A x s ==，
B 种：5个87.40,7.9561B B x s ==，两样本都来自正态总体，它们的总体均值和方差都未知，两样本独立，问在显著性水平0.05下检验方差是否相等。

（22220.0250.9750.050.95(9)19.022,(9) 2.700,(9)16.919,(9) 3.325χχχχ====0.0250.0255(8,4)8.98(4,8) 5.05F F ==,）
解：222201:,:A B A B H H σσσσ=≠ 拒绝域：0.0250.9751(8,4)8.98(8,4)0.1985.05
F F F F ≥=≤==或者 2
24.20657.92561
0.78F == 接受原假设，认为方差相等。

2. 电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根，测得62.4,32.1x s ==假设熔断时间服从正态分布，在水平0.05α=下，能否认为该批保险丝的熔断时间为64？
（0.0250.050.0250.05(9) 2.2622,(9) 1.8331,(10) 2.2281,(10) 1.8125t t t t ====）
解：01:64,:64H H μμ=≠
拒绝域：0.025||(9) 2.2622t t ≥=
||0.16 2.2622x t ==< 接受原假设，认为熔断时间为64.
3.某种标准类型电池的容量（以A.h 计）的标准差 1.66σ=，随机地取10只新型的电池，测得它们的样本均值为140，样本的均方差为3.4641，问在显著性水平0.05下标准差是否有变动。

（2222
0.0250.9750.050.95(9)19.022,(9) 2.700,(9)16.919,(9) 3.325χχχχ====）
解：01: 1.66,: 1.66H H σσ=≠
拒绝域：22220.0250.97519.022(9) 2.7=)090(=χχχχ≥≤或者 2
2
2n-1= 1.66χ（）s =11.31 接受原假设。

4. 测得某地区16位成年男子体重的样本均值为74.5公斤，样本的标准差为80公斤.假设成年男子的体重服从正态分布，并且2
μσ和未知，在显著性水平0.05α=下，检验假设
01:72.6,:72.6H H μμ=≠
（0.0250.050.0250.05(15) 2.1315,(15) 1.7531,(16) 2.1199,(16) 1.7459t t t t ====） 解：01:72.6,:72.6H H μμ=≠
拒绝域：0.025||(15) 2.1315t t ≥=
||0.09 2.1315x t ==< 接受原假设。

5. 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg 2)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 由样本数据算得:.74.75,2.5752==s x 为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了（0.05α=）？
（.325.3)9(,7.2)9(.919.16)9(,023.19)9(2
95.02975.0205.02025.0====χχχχ） 2201:64,:64H H σσ≤>
拒绝域：220.05(19)=6.919χχ≥
2
2
n-1=64χ（）s =10.65 接受原假设。

6. 自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观测值，算得样本均值为8.3，标准差为0.025，样本来自正态总体22(,),,X N μσμσ:未知就显著性水平0.01α=检验假设01:8.42,:8.42H H μμ≥<
（0.0050.0050.010.01(8) 3.3554,(9) 3.2498,(8) 2.8965,(9) 2.8214t t t t ====）
解：01:8.42,:8.42H H μμ≥<
拒绝域：0.01(8) 2.8965t t ≤-=-
14.4 2.8965x t ==-<- 拒绝原假设。

7. 甲、乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品，测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为40.121=s ，38.42
2=s .假设电阻值服从正态分布，在显著性水平10.0=α下，我们是否可以认为两厂生产的电阻值的方差相等？（27.2)11,9(,90.2)11,9(,59.3)11,9(10.005.0025.0===F F F 0.05(11,9) 3.1F =）
解：2222012112:,:H H σσσσ=≠ 拒绝域：0.050.951(11,9) 3.1(11,9)0.3452.9
F F F F ≥=≤==或者 1.40.3194.38
F == 拒绝原假设
8．从某地区的男子中分两组,A 组：19人测得血压的样本方差为526.5，B 组：21人，测得血压的样本方差为200.8，其中A ，B 两组的数据均来自于正态总体，两组样本互相独立，并且总体的期望和方差均未知，能否认为A 组的方差比B 组的大？（0.1α=）（0.10.050.1(19,21) 1.80,(19,21) 2.12,(18,20) 1.81F F F ===）
解：222201:,:A B A B H H σσσσ≥>
拒绝域：0.1(18,20) 1.81F F ≥=
526.5200.8
2.62F == 拒绝原假设。

9．一项研究工作是比较70%（A ）和20%（B ）相对湿度下一种蛹的生长重量，A 种抽取了容量为17的一个样本，其样本均值为25.51，样本均方差为2.34；B 种抽取了容量为16的一个样本，其样本均值为18.73，样本均方差为1.64，两个样本依次来自两个互相独立的正态总体，并且总体的均值和方差均未知，在显著性水平0.05下，检验假设
222201:,:A B A B H H σσσσ≤>
(0.0250.0250.050.05(17,16) 2.75,(16,15) 2.81,(17,16) 2.32,(16,15) 2.37F F F F ====)
解：222201:,:A B A B H H σσσσ≤>
拒绝域：0.05(16,15) 2.37F F ≥=
2.341..364
14F == 接受原假设。