2021年浙江中考数学真题精编精练——专题7圆

2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆
一．选择题〔共7小题〕
1．〔2021•衢州〕扇形的半径为6，圆心角为150°，那么它的面积是〔 〕 A ．3
2π
B ．3π
C ．5π
D ．15π
2．〔2021•金华〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆面积为S 1，△ABC 面积为S 2，那么S 1
S 2的值是〔 〕
A ．
5π2
B ．3π
C ．5π
D ．
11π2
3．〔2021•绍兴〕如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，那么∠BPC 的度数为〔 〕
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．〔2021•嘉兴〕平面内有⊙O 和点A ，B ，假设⊙O 半径为2cm ，线段OA ＝3cm ，OB ＝2cm ，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为〔 〕 A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．相交或相切
5．〔2021•丽水〕如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥OA 于点E ，连结OC ，OD ．假设⊙O 的半径为m ，∠AOD ＝∠α，那么以下结论一定成立的是〔 〕
A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinα
C．AE＝m•cosαD．S△COD=1
2m
2•sinα
6．〔2021•湖州〕如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．假设点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域的面积是〔〕
A．πB．π+3√3
4C．
3√3
2
D．2π
7．〔2021•湖州〕如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，那么∠BOC的度数是〔〕
A．60°B．70°C．80°D．90°
二．填空题〔共5小题〕
8．〔2021•杭州〕如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．假设PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，那么PT＝．
9．〔2021•宁波〕抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．假设∠P＝120°，⊙O的
̂的长为cm．〔结果保存π〕
半径为6cm，那么图中CD
10．〔2021•台州〕如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．假设AB＝12，
̂长度为．〔结果保存π〕
那么点B经过的路径BC
11．〔2021•温州〕假设扇形的圆心角为30°，半径为17，那么扇形的弧长为．
12．〔2021•温州〕如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．假设∠A′＝25°，那么∠OCB＝度．
三．解答题〔共8小题〕
13．〔2021•衢州〕如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
〔1〕求证：BF是⊙A的切线．
〔2〕假设BE＝5，AC＝20，求EF的长．
14．〔2021•衢州〕如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点〔不包括端点〕，AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x……
y1……
y2……
〔1〕当x＝3时，y1＝．
〔2〕在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
〔3〕由〔2〕知“AC取某值时，有EC＝EB〞．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
̂上存在点E，满足AÊ=CD̂，15．〔2021•宁波〕如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD
连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
〔1〕假设∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．〔2〕如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连结CG，AD＝2．
①假设tan∠ADB=√3
2，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
16．〔2021•台州〕如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4√2，点A是⊙O上的一个动点〔不与点B，D重合〕，以A，B，D为顶点作▱ABCD．
〔1〕如图2，假设点A是劣弧BD
̂的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
〔2〕假设点A运动到优弧BD
̂上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
17．〔2021•温州〕如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A 〔2，0〕，B〔0，8〕，连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E〔点D在左侧〕，交x轴于点C〔17，0〕，连结AE．
〔1〕求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
〔2〕求点D，E的坐标；
〔3〕点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足
条件的OP的长．
18．〔2021•金华〕在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB
折叠得到△O′BP．
̂所在的圆相切于点B．
〔1〕如图1，假设∠O＝75°，且BO′与AB
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
̂相交于点D，假设点D为AB̂的中点，且PD∥OB，求AB̂的长．〔2〕如图2，BO′与AB
19．〔2021•丽水〕如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过
点D作半圆O的切线，交AC于点E．
〔1〕求证：∠ACB＝2∠ADE；
̂的长．
〔2〕假设DE＝3，AE=√3，求CD
̂所对的圆周角，∠ACD＝30°．20．〔2021•湖州〕如图，AB是⊙O的直径，∠ACD是AD
〔1〕求∠DAB的度数；
〔2〕过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．假设AB＝4，求DF的长．
2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆
参考答案与试题解析
一．选择题〔共7小题〕
1．【解答】解：扇形面积=150π×6
2
360=15π，
应选：D ． 2．【解答】解：如图，
设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ， 那么a 2+b 2＝c 2，① 取AB 的中点为O ， ∵△ABC 是直角三角形， ∴OA ＝OB ＝OC ，
∵圆心在MN 和HG 的垂直平分线上， ∴O 为圆心，
连接OG ，OE ，那么OG ，OE 为半径， 由勾股定理得：
r 2=(a +b 2
)2+(a 2
)2=c 2+(c 2
)2，② 由①②得a ＝b ， ∴a 2=
c 2
2， ∴S 1=54πc 2，
∴S 2=12ab =c 2
4，
∴
S 1S 2
=
54
πc 2
÷
c 24
=5π，
应选：C ．
3．【解答】解：连接OB 、OC ，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，∴BC弧所对的圆心角为90°，∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC=1
2∠BOC＝45°．
应选：B．
4．【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
应选：D．
5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，
∴CD＝2DE＝2m•sinα，
应选：B．
6．【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC=√3，CD＝1，
∴tan∠DBC=
√3
=√33，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″=120×π×(√3)2
360
=π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF=1
2
BC=√32，
∴C''F＝tan60°×√3
2
=32，
∴S△BCC''=1
2
×√3×32=3√34，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+3√3 4．
应选：B．
7．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A=1
2∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
应选：C．
二．填空题〔共5小题〕
8．【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，OP═2，
∴PT═√OP2−OT2═√22−12═√3，
故：PT═√3．
9．【解答】解：如下图，连接OC，OD，OP，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
故∠OCP ＝∠ODP ＝90°，
又OC ＝OD ，OP ＝OP ，
那么Rt △OCP ≌Rt △ODP 〔HL 〕．
∵∠CPD ＝120°，
∴∠OPC ＝∠OPD ＝60°，
∴∠COP ＝∠DOP ＝30°，
∴∠COD ＝60°．
∴CD ̂的长为l CD ̂=nπr 180
=60°×π×6180
=2π． 故答案为：2π．
10．【解答】解：BC ̂长度=30π⋅12180
=2π， 故答案为：2π．
11．【解答】解：根据弧长公式可得：
l =nπr 180=30⋅π⋅17180
=176π． 故答案为：176π．
12．【解答】解：∵⊙O 与△OAB 的边AB 相切，
∴OB ⊥AB ，
∴∠OBA ＝90°，
连接OO ′，如图，
∵△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O ′A ′B ，
∴∠A ＝∠A ′＝25°，∠ABA ′＝∠OBO ′，BO ＝BO ′，
∵OB ＝OO ′，
∴△OO ′B 为等边三角形，
∴∠OBO ′＝60°，
∴∠ABA ′＝60°，
∴∠OCB ＝∠A +∠ABC ＝25°+60°＝85°．
故答案为85．
三．解答题〔共8小题〕
13．【解答】解：〔1〕证明：连接AD ，如图，
∵CA ＝CB ，
∴∠CAB ＝∠ABC ．
∵AE ⊥AC ，
∴∠CAB +∠EAB ＝90°．
∵BC 与⊙A 相切于点D ，
∴∠ADB ＝90°．
∴∠ABD +∠BAD ＝90°．
∴∠BAE ＝∠BAD ．
在△ABF 和△ABD 中，
{AB =AB ∠BAE =∠BAD AF =AD
，
∴△ABF ≌△ABD 〔SAS 〕．
∴∠AFB ＝∠ADB ＝90°．
∴BF 是⊙A 的切线．
〔2〕由〔1〕得：BF ⊥AE ，
∵AC ⊥AE ，
∴BF ∥AC ．
∴△EFB ∽△EAC ．
∴BE CE =BF CA ，
∵BE ＝5，CB ＝AC ＝20，
∴CE ＝EB +CB ＝20+5＝25，
∴525=BF 20．
∴BF ＝4．
在Rt △BEF 中，
EF =√BE 2−BF 2=√52−42=3．
14．【解答】解：〔1〕当x ＝3时，点C 和圆心O 重合，此时CE 为半圆O 的半径，
∵AB ＝6，
∴EC ＝y 1cm ＝3cm ，
∴y 1＝3，
故答案为：3；
〔2〕函数y 的图象如图：
由图象得：
当0＜x ＜2时，y 1＜y 2，
当x ＝2时，y 1＝y 2，
当2＜x ＜6时，y 1＞y 2；
〔3〕〕连接OD ，作EH ⊥AB 于H ，
由〔2〕知时，有EC ＝EB ，
∵AC ＝2，AB ＝6cm ，
∴OA ＝OD ＝OE ＝OB ＝3cm ，OC ＝1cm ，
∵CD ⊥AB ，
∴CD =√OD 2−OC 2=2√2，
设OH ＝m ，那么CH ＝1+m ，
∵EH ⊥AB ，
∴EH =√32−m 2=√9−m 2，
∵CE ∥AD ，
∴∠DAC ＝∠ECH ，
∵∠DCA ＝∠EHC ＝90°，
∴△DAC ∽△ECH ，
∴CD AC =EH CH ，即2√22=√9−m 21+m ， ∴m 1＝1，m 2=−73〔不合题意，舍去〕，
∴HB ＝3﹣1＝2，EH =√OE 2−OH 2=2√2，
∴EC =√EH 2+CH 2=√8+4=2√3，EB =√EH 2+HB 2=√8+4=2√3， ∴EC ＝EB ．
15．【解答】解：〔1〕∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BAD ＝90°，
∵AE
̂=CD ̂， ∴∠ABG ＝∠DBC ＝α，
∴∠AGB ＝90°﹣α；
〔2〕∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF＝DG；
〔3〕①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=√3
2，AD＝2，
∴AB=√3
2,AD=√3，
∵AE
̂=CD̂，
∴AE
̂+DÊ=CD̂+DÊ，即AD
̂=CÊ，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB=AB
BG
=√32,
∴∠AGB＝60°，AG=1
2BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt △DEG 中，∠EGD ＝60°，
∴EG =12DG =12，DE =√32DG =√32,
在Rt △FED 中，DF =√EF 2+DE 2=√72,
∴FG +DG +EF =5+√72
， ∴△FGD 的周长为5+√72
； ②如图，过点C 作CH ⊥BF 于H ，
∵△BDG ≌△CFE ，
∴BD ＝CF ，∠CFH ＝∠BDA ，
∵∠BAD ＝∠CHF ＝90°，
∴△BAD ≌△CHF (AAS )，
∴FH ＝AD ，
∵AD ＝BG ,
∴FH ＝BG ,
∵∠BCF ＝90°,
∴∠BCH +∠HCF ＝90°,
∵∠BCH +∠HBC ＝90°,
∴∠HCF ＝∠HBC ,
∵∠BHC ＝∠CHF ＝90°,
∴△BHC ∽△CHF ,
∴BH CH =CH FH ,
设GH ＝x ,
∴BH ＝2﹣x ，
∴CH2＝2(2﹣x)，
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2,
∴CG2＝x2+2(2﹣x)＝(x﹣1)2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为√3．
16．【解答】〔1〕①证明：∵AD
̂=AB̂,∴AD＝AB,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②解：连接OA交BD于J,连接OC．
∵AD
̂=AB̂,
∴OA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴A,O,C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2√2,OD＝3,
∴OJ=√OD2−DJ2=√32−(2√2)2=1,∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2,
∴S菱形ABCD=1
2•AC•BD=
1
2
×4×4√2=8√2．
〔2〕①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于
P ,过点A 作AJ ⊥BD 于J ．
∵CD 是⊙O 的切线，
∴OD ⊥CD ,
∵CD ∥AB ,
∴DP ⊥AB ,
∴P A ＝PB ,
∴DB ＝AD ＝4√2,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DH ＝BH ＝2√2,
∴OH ⊥BD ,
∴∠DHO ＝∠DPB ＝90°,
∵∠ODH ＝∠BDP ,
∴△DHO ∽△DPB ,
∴DH DP =DO DB =OH PB ,
∴2√2DP =4√2=1PB
, ∴DP =163,PB =4√23
, ∴AB ＝2PB =8√23,
当BC 与⊙O 相切时，同法可证AB ＝BD ＝4√2．
综上所述，AB 的长为4√2或8√23
． ②解：如图3﹣1中，过点A 作AJ ⊥BD 于J ．
∵12•AB •DP =12
•BD •AJ , ∴AJ =329,
∴BJ =√AB 2−AJ 2=(
8√23)2−(329)2=8√29, ∴JH ＝BH ＝BJ ＝2√2−
8√29=10√29, ∴tan ∠AHJ =AJ HJ =32
910√29=8√25
, 如图3﹣2中，同法可得▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√2
5，
综上所述，▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√25， 17．【解答】解：〔1〕∵点M 是AB 的中点，那么点M 〔1,4〕， 那么圆的半径为AM =√(2−1)2+42=√17，
设直线CM 的表达式为y ＝kx +b ，那么{17k +b =0k +b =4，解得{k =−14b =174
， 故直线CM 的表达式为y =−14x +174；
〔2〕设点D 的坐标为〔x ，−14x +174〕，
由AM =√17得：〔x ﹣1〕2+〔−14x +174−4〕2＝〔√17〕2，
解得x ＝5或﹣3，
故点D 、E 的坐标分别为〔﹣3,5〕、〔5,3〕；
〔3〕过点D 作DH ⊥OB 于点H ，那么DH ＝3，BH ＝8﹣5＝3＝DH ， 故∠DBO ＝45°，
由点A 、E 的坐标，同理可得∠EAP ＝45°；
由点A 、E 、B 、D 的坐标得，AE =√(5−2)2+(0−3)2=3√2， 同理可得：BD ＝3√2，OB ＝8，
①当∠AEP ＝∠DBO ＝45°时，
那么△AEP 为等腰直角三角形，EP ⊥AC ，
故点P 的坐标为〔5,0〕，
故OP ＝5；
②∠AEP ＝∠BDO 时，
∵∠EAP ＝∠DBO ，
∴△EAP ∽△DBO ，
∴AE BD =AP BO ，即√2
3√2=AP
BO =AP
8，解得AP ＝8，
故PO ＝10；
③∠AEP ＝∠BOD 时，
∵∠EAP ＝∠DBO ， ∴△EAP ∽△OBD ，
∴AE OB =AP
BD ，即
3√28=3√2，解得AP =94， 那么PO ＝2+94=174， 综上，OP 为5或10或17
4．
18．【解答】解：〔1〕①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,那么HF=√3m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(√3m+2m)2,
∴m=3√6−3√2
2或−
3√6−3√2
2〔舍弃〕，
∴OH=3√6−3√2
2,BH=
3√2+3√6
2,
在Rt△PBH中，PH=
BH
tan60°
=√6+3√2
2,
∴P A＝OA﹣OH﹣PH＝6−3√6−3√2
2
−√6+3√2
2
=6﹣2√6．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵AD
̂=BD̂,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB ＝∠PBD ,
∴DP ＝DB ＝AD ,
∴∠DAP ＝∠APD ＝∠AOB ,
∵AO ＝OD ＝OB ,AD ＝DB ,
∴△AOD ≌△BOD ,
∴∠OBD ＝∠OAD ＝∠AOB ＝2∠BOD ,
∵OB ＝OD ,
∴∠OBD ＝∠ODB ＝2∠DOB ,
∴∠DOB ＝36°,
∴∠AOB ＝72°，
∴AB ̂的长=72π⋅6180=12π5。

19．【解答】〔1〕证明：连接OD ，CD ，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴∠ODE ＝90°，
∴∠ODC +∠EDC ＝90°，
∵BC 为⊙O 直径，
∴∠BDC ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∴∠ADE +∠EDC ＝90°，
∴∠ADE ＝∠ODC ，
∵AC ＝BC ，
∴∠ACB ＝2∠DCE ＝2∠OCD ，
∵OD ＝OC ，
∴∠ODC ＝∠OCD ，
∴∠ACB ＝2∠ADE ；
〔2〕解：由〔1〕知，∠ADE +∠EDC ＝90°，∠ADE ＝∠DCE ， ∴∠AED ＝90°，
∵DE ＝3，AE =√3，
∴AD =√32+(√3)2=2√3，tan A =√3，
∴∠A ＝60°，
∵AC ＝BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，BC ＝AB ＝2AD ＝4√3，
∴∠COD =2∠B =120°，OC =2√3，
∴CD ̂ 的长为nπr 180=120⋅π×2√3180=4√3π3
．
20．【解答】解：〔1〕如图，连接BD ，
∵∠ACD ＝30°，
∴∠B ＝∠ACD ＝30°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
〔2〕∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=1
2AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，∴EF＝DE＝AD sin60°=√3，
∴DF＝2DE＝2√3．。