山东省青岛市2021届高三下学期3月统一质量检测数学试题

1
青岛市2020-2021学年度高三第一次模拟考试
数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}4,log 2>==x x y y A ，⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21
x y R x B ，则B A C R )（=（ ）
A.(]2,∞-
B.[)+∞,2
C.[]2,0
D.()2,0
2.若βα，表示两个两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则（ ） A.“m ‖β”是“α‖β”的充分不必要条件 B.“m ‖β”是“α‖β”的必要不充分条件 C.“β⊥m ”是“βα⊥”的必要不充分条件 D.“β⊥m ”是“βα⊥”的充要条件
3.已知双曲线122
22=-b x a y 的一条渐近线的倾斜角为3
π，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
21 B.2
3
C.332
D.2
4.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算
具有了几何意义，例如，OZ Z =,也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数i
i
a Z ++=
120（i 是虚数单位，R a ∈）是纯虚数，其对应的点为0Z ,Z 为曲线1=Z 上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ） A.
21 B.1 C.2
3
D.2 5.若⎩⎨
⎧<≥+=0
,20
),1(log )(3x x x x f x
，则不等式2
1
)(>
x f 的解集为（ ） A.()()+∞--,130,1 B.()
()∞+∞，，
13-1- C.()()1-300,1-， D.()()∞+∞，，
1-31-- 6.已知角θ终边上有一点P （)6
17
sin(2,34tan
ππ-），则θcos 的值为（ ） A.
21 B.2
1
- C.23- D.23
2
7.已知)(x f y =为奇函数，)1(+=x f y 为偶函数，若当[]1,0∈x ，)(log )(2a x x f +=，则
=)2021(f
A.-1
B.0
C.1
D.2
8.在抛物线y x 2
1
2
=
第一象限内一点
),n n y a （处的切线与x 轴加点上的横坐标记为1-n a ，其中*
∈N n ,已知n S a ,322=为{}n a 的前n 项和，若n S m ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）
A.16
B.32
C.64
D.128
二、多项选择题:本题共4小题，每小题分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.关于圆C ：014
122
2
2=+-++-+k k y kx y x ，下列说法正确的是（ ） A. k 的取值范围是0>k
B.若4=k ，过M （3,4）的直线与圆C 相交所得弦长为32，其方程为016512=--y x
C.若4=k ，圆C 圆12
2=+y x 相交
D.若4=k ，0,0>>n m ，直线01=--ny mx 恒过圆C 的圆心，则
82
1≥+n
m 恒成立。

10.已知向量))(4cos ,4sin
2(44
x f x x a -=→
，)2
1,1(-=→b ，若→→b a 与共线，则下列说法正确的是（ ）
A.将)(x f 的图像向左平移
3π个单位得到函数4
3
)32cos(41++=πx y 的图像 B.函数)(x f 的最小正周期为π C.直线2
3π
=
x 是)(x f 图像的一条对称轴 D.函数
)(x f 在），（4
-2
-π
π上单调递减
11.若实数b a <，则下列不等式关系正确的是（ ） A.a
a
b
)5
3()5
2()5
2(<< B.若2log ,1>>ab a a 则
C.b
a a
b a +>+>11,02
2则若
3
D.若 )3,1(,,35m ∈>
b a ，则0)()3
1
2233>-+---b a b a m b a （ 12.在南方不少地区，经常看到人们头收一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来
遮阳城避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的现号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡.现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽203厘米，关于此斗笠，下而说法正确的是（ ）
A.斗笠轴截而(过顶点和底而中心的截面图形)的顶角为120°
B,过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1003平方厘米 C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为1600π平方厘米 D.此斗笠放在平面上，可以益住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为203-30厘米 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.6
2
)2
x
x -（的展开式中的常数项是
14.已知非零向量→
→b a ,满足→→
=a 2b ，且→→→⊥+a b a )（，则→
→b 与a 的夹角为 15.某驾驶贝培训学校为对比了解“科日二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结界为:接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试道过的有30个.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与足否集中培训有关”犯错误的概率不超过
附：)
)()()(()(n k 2
2
d b c a d c b a bc ad ++++-=
k k
≥2
0.05 0.025 0.010 0.001 抛物线y x Z 4:2=的焦点为F ，圆F:4)1(2
2=-+y x 与抛物线Z 在第一象限的交点为
)4
,m 2
m P （，直线)0(:m t t x l <<=与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的
交点为B,则m= ;三角形FAB 周长的取值范围为 （第一空2分，第二空3分） 三、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）从“①);2
(1
a n n S n +
=①21432,a a a a S ==①8241,,2a a a a 是=的等比数列”，三个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答。

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于0， ，*
∈N n 。

4
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n S S bn 221-=+，数列{}n b 的前n 项和为n n W W 求,。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分。

18. （12分）如图，在ABC ∆中，2,==⊥AC AB AC AB ,点E,F 是线段BC （含端点）上的动点，且点E 在点F 的右下方，在运动的过程中，始终保持
4
π
=
∠EAF 不变，设θ=∠EAB 弧度，
（1）写出θ的取值范围，并分别求出线段AE,AF 关于θ的函数关系式；
（2）求EAF ∆面积S 的最小值。

19.（12分）
在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,AD‖BC,2,==⊥AD PA CD BC ,CD=1,
BC=3,点M,N 在线段BC 上,BM=2MN=1,E MD AN = ,Q 为线段PB 上的一点。

（1）求证：PAN MD 平面⊥;
（2）若平面MQA 与平面PAN 所成锐角的余弦值为5
4
，求直线MQ 与平面ABCD 所成角的正弦值。

20.（12分）
某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动，今年活动的主题为“购物三选一，正清暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包A （十斤肉类），礼包B （十斤蔬菜）和礼包C （十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获取价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包A 和礼包B 的概率均为
5
2。

（1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；
（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参加答谢活动，各人购买礼包互相独立，已知购买礼包A 或购买礼包B 均可以获得50元商场代金券，购买礼包C 可以获得25元商场代金券，设Y 是三人获得代金券金额之和，求Y 的分布列和数学期望。

5
21.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （0>>b a ）的离心率为23，
右焦点为2F ,上定点为2A ,点P （a,b ）到直线22A F 的距离等于1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线)0(:>+=m m kx y l 与椭圆C 相交于A,B 两点，D 为AB 的中点，直线DE,DF
分别与圆2
22)3(:m m y x W =-+相切于点E,F 。

求EWF ∠的最小值。

22.（12分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若)()(x f x f 是'的导函数，)(x f ''是)(x f '的导函数，
则曲线)(x f y =在点
))(,x f x （处的曲率[]2
3
2)
)(1()(x f x f K '+''=。

已知函数)1cos(ln )(---=x b x ae x f x
（0,0>≥b a ），若a=0则曲线)(x f y =在点
))1(1f ，（处的曲率为
2
2。

（1）求b ；
（2）若函数)(x f y =存在零点，求a 的取值范围；
（3）已知050.1,099.13ln 098.1048
.0<<<e
，956.0045
.0<-e ，
证明：15.1ln 14.1<<π
6
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ACD 13．240 14．120° 15．0.025 16．2；(4，6) 17．解：选①，
（1），令 ∴，当
时，
当时，
，而
； （2）
∴．
18．解：（1），由题意知，
；
（2）
当且仅当8
π
θ=
时，取“＝”． 19．解：（1）证明：∵BC ＝3，BM ＝1，∴CM ＝2，AD ＝CM ，
又∵AD ∥CM ，∴四边形AMCD 为平行四边形， 又∵BC ⊥CD ，∴四边形AMCD 为矩形，
∵，∴，
∴∠AED ＝∠MAN ＋∠AME ＝∠ADM ＋∠AME ＝90°， ∴MD ⊥AN ，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥MD ，AN
PA ＝A ，
7
∴MD ⊥平面PAN ；
（2）如图建立空间坐标系，则M(1，0，0)，A(0，0，0)，P(0，0，2)，
N(1，
1
2
，0)，B(1，﹣1，0)，Q(x ，y ，z )， 设
∴
设平面MQA 与平面PAN 的一个法向量分别为
∴
设平面MQA 与平面PAN 所成锐二面角为 ，
∴
此时
，平面ABCD 的一个法向量
，
∴．
20．解：（1）会员购买礼包C的概率为，
∴准备鸡蛋：（斤），
（2）Y的所有可能取值为：150，125，100，75，
∴Y的分布列如下：
21．解：（1）直线F2A2的方程为
P(a，b)到直线F2A2的距离为，
而椭圆C的标准方程为；
（2）设
，
，∴
∴
8
令，∴
∴∠EDW≤30°，∴∠EWF≥120°．
22．（1）时，
，∴在处的曲率为，
（2）
令，∴，
当且仅当x＝1时取“＝”，显然，当时，无零点，
当时，
∴存在使，符合题意，
综上：实数a的取值范围为，
（3）由（2）知（当且仅当x＝1时取“＝”）
又
综上：．
9。