利用分类讨论研究集合间关系
集合运算中的分类讨论
m 1 2m 1 m 2
2 m 1 即m 3解得：2 m 3
2m 1 5
m 3Biblioteka 综合(1)(2)知：m 3
强调遇到下列条件时记得考虑 B 的情况 AB A AB B B A
AB
希望你学会了。
谢谢！
集合运算中的一道分类讨论问题
寿光中学 高一数学组王晓云
例：已知集合 A x | x2 3x 10 0, B x | m 1 x 2m 1,
若A B A，求实数m的取值范围.
分析问题：
条件 A x | x2 3x 10 0}
2
x2 3x 10 (x 5)( x 2) 0
5
x
结合二次函数图象
2 x 5 A {x | 2 x 5}
条件 A B A 可转化为：B A
无限数集运算往往借助数轴来进行，接下来你在数轴上画出
两个集合的过程中，会发现集合A 是确定的，集合B 中含参
数，两个端点的大小不确定，需要分类讨论.
下面动画演示一下
m 1 2m1
x
x
-2
m 1 2m 1
5
所以我们要对m 1与2m -1的大小进行讨论:
当m 1 2m -1时，B ，符合条件 当m 1 2m -1时，B ，还需要满足B A
m 1 2m -1 - 2 m 1
2m -1 5
完整解答过程：
解： A B A B A.
又 A {x | x2 3x 10 0} {x | 2 x 5},
1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A⊆B时,A B或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.【当堂训练】1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.14.集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？5.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=_______.6.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a的取值范围.7.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？8.已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个9.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )10.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.11.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M12.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.13.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足Q P,求a所取的一切值.14.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使A P⊆B,求满足条件的集合P.15.设A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B应具有何种关系？16.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.17.已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？【家庭作业】 一、选择题1，下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数 （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、72、集合{1，2，3}的真子集共有 （ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个3、设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（ ）A 、RB 、φC 、{abx x 2-≠} D 、{a b 2-}4.下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 {1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}；（4）集合{54<<x x }是有限集，正确的是 （ ）A 、只有（1）和（4）B 、只有（2）和（3）C 、只有（2）D 、以上语句都不对 5．下列四个命题： （１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集； （３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确的有 （Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个二、填空题6、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是8、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是 9、方程x 2-5x+6=0的解集可表示为方程组的解集可表示为⎩⎨⎧=-=+0231332y x y x10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.三、解答题11、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。
小问题大用处：高中数学小问题集中营之一：集合：专题四 集合中的分类讨论 含解析
专题四集合中的分类讨论一、问题的提出数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形"两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是中学数学中重要的思想方法，那么集合中有哪些问题可以用到数形结合思想呢？二、问题的探源在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．1。
对于某些抽象集合问题,文字描述较为抽象，可借助韦恩图直观求解，求两个集合的并集与交集时,先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．2. 连续型数集的运算常借助数轴求解，利用几何的直观性，以“形”助“数”,形象、直观、方便快捷;与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．此时需注意端点值是否取到.其步骤是：①化简集合；②将集合在数轴上表示出来；③进行集合运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区域代表集合的并集.3.点集之间的运算通常借助于坐标系,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.三、问题的佐证（一)利用数轴解决不等式解集的表示问题或判断一元不等式所含参数取值范围问题．例1已知集合A={x｜—3≤x≤4｝,B={x｜1<x<m}(m>1)，且B⊆A,则实数m的取值范围是。
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4，又m〉1，所以1〈m≤4。
故答案为:1〈m≤4例2已知集合A ＝｛x ∈R |｜x ＋2|〈3｝，集合B ＝{x ∈R |（x －m )(x －2)<0},且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________,n ＝________．【解析】A ＝{x ∈R ｜|x ＋2｜〈3｝＝{x ∈R |－5〈x <1}， 由A ∩B ＝(－1,n ),可知m <1，由B ＝｛x ｜m 〈x <2｝，画出数轴,可得m ＝－1，n ＝1.(二)利用平面直角坐标系作出方程的曲线解决公共点问题或二元不等式所含参数取值范围问题．例3．已知(),1y A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(){}2,B x y y x ==则A B = ________．（三)利用韦恩（ｖｅｎｎ）图判断抽象集合间包含或相等的关系或求有穷集合所含元素或其个数问题． 例4.已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2,3，4}的子集，。
集合间的基本关系教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教版A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》1.2集合间的基本关系（习题课）教学设计年级：_高一数学组_ 主备人：___ 授课班级：授课时间：_______共案内容个案内容一、课标分析1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解子集、真子集的概念；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
提高学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学的能力，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。
二、教材分析和设计思路个案内容本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教课书》必修1，第一章1.2集合间的基本关系。
集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。
本节内容主要是集合间基本关系的学习，重在让学生类比实数间的关系，来进行探究，同时培养学生用数学符号语言，图形语言进行交流的能力，让学生在直观的基础上，理解抽象的概念，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。
三、学情分析个案内容在学习了集合间的基本关系，学生已经初步掌握了子集、集合相等、真子集、空集相关概念，并进行了相关练习，随着练习难度的提高，题型的多样，学生在做练习的过程当中越来越吃力，而高一的学生求知欲强，精力旺盛，思维活跃，已经具备了一定的观察、分析、归纳能力，能够很好的配合教师开展教学活动，所以需要对各类题型进行专题分析，以提高学生的数学分析以及数学应用能力。
四、教学目标及学科素养个案内容（一）教学目标1. 会推导与子集、真子集个数有关的四个结论；会利用两集合间的基本关系求参数的取值范围；2.通过类比实数间的关系，研究集合间的关系，培养学生类比、观察、分析、归纳的能力；培养学生用数学符号语言、图形语言进行交流的能力。
3.激发学生学习的兴趣，图形、符号所带来的魅力；感悟数学知识间的联系，养成良好的思维习惯及数学品质。
集合中含变量的分类讨论
集合中含变量的分类讨论在数学和逻辑中，集合是由一组元素组成的。
有时候，这些元素可以是特定的对象，也可以是变量，即未特定的对象。
在集合中含有变量的情况下，我们可以对这些变量进行分类讨论。
1. 单一变量的集合分类当集合中只含有一个变量时，我们可以将该变量的取值范围划分为不同的类别，并将每个类别作为集合中的一个元素。
例如，假设我们有一个变量x，其取值范围为整数。
我们可以将整数分为正数、负数和零这三个类别。
然后我们可以表示集合为：偶数集合={偶数}，奇数集合={奇数}，负数集合={负数}，正数集合={正数}，零集合={零}。
2. 多变量的集合分类当集合中含有多个变量时，我们可以同时对这些变量进行分类，并将每个类别的组合作为集合中的一个元素。
考虑以下案例，假设我们有两个变量x和y，它们的取值范围都是整数。
我们可以将x和y的取值范围分别划分为正数、负数和零这三个类别。
然后我们可以表示集合为：坐标集合={（+，+），（+，-），（+，0），（-，+），（-，-），（-，0），（0，+），（0，-），（0，0）}。
3. 变量之间的关系分类在集合中含有变量的情况下，这些变量可能存在某种关系。
我们可以将这些关系进行分类，并将每个类别的关系作为集合中的一个元素。
例如，假设我们有两个变量x和y，它们的取值范围都是整数。
我们可以将变量之间的关系分为等于、大于和小于这三个类别。
然后我们可以表示集合为：关系集合={等于，大于，小于}。
通过对集合中含有变量的分类讨论，我们可以更好地理解和分析变量的特点和关系。
这种分类方法可以帮助我们更好地处理和解决相关的问题。
集合间的基本关系教学设计
我的教学设计和研探。
（二）研探新知投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；（2）设A为光明中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；（3）设A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。
组织学生充分讨论和交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
符号表示：() A B B A ⊆⊇或读作：A含于B，或B包含A②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。
教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图。
图1 图2投影问题3：与实数中的结论“若a b≥且b a≥则a=b”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若A⊆B,且B⊆A,则A=B。
投影问题4：请同学们举出几个具有包含关系。
相等关系的集合实例，并用Venn图表示。
组织学生充分讨论和交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系。
培养互相的协作精神，让学生体会集体的力量。
（三）学生自主学习，阅读理解：教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下列问题：（1）集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集?（2）集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?（3）0，{0}与∅三者之间有什么关系?（4）包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A正义有什么区别?试结合实例作出解释。
优秀教案2-集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系教材分析集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容,是学习后续知识的基础.本节课是集合章节的第二课，了解集合之间包含与相等的含义,理解子集与真子集的概念,是本章中的主要内容之一.课时分配 1课时教学目标重点: 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点: 属于关系与包含关系的区别.知识点: 了解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念.能力点:分类讨论思想的运用.教育点: 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.自主探究点:例题及变式中解题思路的获取.考试点:包含关系中含参问题的求解.易错易混点:忽视空集.拓展点:实数间可以运算,集合间是否也能运算.教具准备 教学案、三角板课堂模式一、引入新课:探究1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为枣庄三中高一年级男生的全体组成的集合，B 为枣庄三中高一年级学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形【设计意图】通过几组实例，体会集合间的包含关系，引出子集、真子集、相等概念.二、探究新知1． 子集：对于两个集合A ，B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集, 记作：()A B B A ⊆⊇或.读作：A 包含于B(或B 包含A). 探究2：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?2． 集合相等：如果集合A 是集合B 的子集,且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等.(即若A B B A ⊆⊆且，则A=B)如（3）中的两集合C=D .图 1 图2BC （D ）3． 真子集：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集，记作： A B. 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）. 如：（1）和（2）中 A B.4． 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作：∅.用适当的符号填空：∅{}0； 0 ∉ ∅；5． 几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（2） 任何一个集合是它本身的子集；（3） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.三、理解新知含参数问题时，空集是学生容易忽略的问题，养成优先考虑空集的好习惯，至关重要.四、运用新知例1．写出集合{a ,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：集合{a ,b}的所有子集为{}{}{},,,,a b a b ∅，真子集为{}{},,a b ∅.【设计意图】概念运用,培养学生按照一定的规律列举问题的良好习惯.练习1完成课本第7页练习1，2,3.【设计意图】进一步巩固所学例2 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x ||x |<1}，满足A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 21|.∵A ⊆B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥1211a a∴a ≥2(3)当a <0时，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 12|.∵A ⊆B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤1211a a∴a ≤－2.综合(1)(2)(3)知，a 的取值范围{a |a ≤－2或a ＝0或a ≥2}．【设计意图】利用分类讨论解决问题；通过实例提示学生考虑包含关系时勿忘对空集的讨论.练习2 已知A ＝{x |0652=+-x x }，B ＝{x |1=mx }，若 B A ，求实数m 所构成的集合M . 答案:⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,21,0M【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.例3 已知集合A ＝{2，,x y }，B ＝{2x ,2，2y }且A ＝B ，求,x y 的值． 答案： ,x y 的取值为⎩⎨⎧==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141y x【设计意图】通过实例,提示学生解决集合问题,勿忘集合元素互异性要求.练习3 含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{2a ，a ＋b ，0}，求a ，b . 答案：a ＝－1，b ＝0【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学方法？学生：知识上: 1、子集、真子集、集合相等的含义. 2、空集的含义与表示.思想上: 归纳、分类讨论的数学思想教师： 我们这节课学习了集合之间的关系，这要与上节课学习的集合与元素的关系区别开来.集合与元素是“属于”“不属于”的关系，而集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；另外在含参问题求解中大家不要忘记对空集的讨论.六、布置作业1.阅读教材67P P -2.书面作业（1）必做题:课本12P 习题1.1 A 组 5（2）选做题:1).下列命题中正确的个数是( A )①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；A ．0B ．1C ．2D ．32).下列结论正确的是（ C ）.A.∅A B. {0}∅∈ C. {1,2}Z ⊆ D. {0}{0,1}∈3).设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ B ）.A. 1a <B. 1a ≤C. 1a >D. 1a ≥4).若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ A ）.A. 3,2b c =-=B. 3,2b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,3b c ==-5).已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( B )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅6).在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅={0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( C )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8).若B ＝{0,1,2,3,4,7,8}，C ＝{0,3,4,7,9}，则满足A ⊆B ，A ⊆C 的集合A 有___16__个．9).设M ＝{x |210x -=}，N ＝{x |01=-ax }，若N ⊆M ，则a 的值为 ±1或0． 10).已知集合{}{}25,821A x x B x m x m =-<≤=-≤<-且A B ⊆，求实数m 的取值范围. 答案：实数m 的取值范围{}36m m <≤11)．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，2a ，ab }，且A ＝B ，求实数b a , 的值． 答案: a ＝－1，b ＝0 12)．设集合A ＝{x |2560x x -+=}，B ＝{x |22(21)0x a x a a -+++= }，若B ⊆A ，求a 的值．答案:a ＝23.预习任务:根据下列预习提纲预习1.1.3集合间的运算.(1)．一般地，由所有属于 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝ ．(2)．由属于 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作A 交B ，即A ∩B ＝(3)．A ∩A ＝____，A ∪A ＝____，A ∩∅＝ ，A ∪∅＝(4)．若A ⊆B ，则A ∩B ＝__ __，A ∪B ＝__ __.(5)．A ∩B A ，A ∩B B ，A A ∪B ，A ∩B A ∪B .【设计意图】作业1是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的必做题,是为了让学生掌握基本的知识，达成本节课的教学目标.选做题难度递进,供学有余力的同学,加深理解,提高解题的能力.预习作业的安排是为了培养学生预习的习惯,为下一节课的学习打下必备的基础. 七、教后反思1.本教案的亮点是例题覆盖全面，变式与例题衔接好，有讲有练，课后题针对例题，有助于学生掌握知识.预习提纲任务明确.2.本节课的弱项是课容量大,例2难度高，在新授课中还要降低难度，照顾绝大多数学生的发展.八、板书设计 1.1.2集合间的基本关系1.子集：2.真子集： 例1： 例3：记作： 记作:图示： 图示：2.集合的相等： 4.空集： 例2：图示： 记作：注：。
高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论一、参数取值引起的分类讨论1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，此时A ⊆∁R B 成立．2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32二、空集引起的分类讨论1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 针对性练习：1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域 为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，2a ≥2.解得a ≥2.(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，3－a ≥2.解得a ≤12. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12； ②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32≤m ＜－1； ②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.。
1.1.2 集合间的基本关系 学案(人教A版必修1) (2)
1．1.2 集合间的基本关系——题型探究类型一 子集、真子集的概念问题【例1】 已知集合M ＝{x|x ＜2且x ∈N }，N ＝{x|－2＜x ＜2且x ∈Z }．(1)试判断集合M 、N 间的关系．(2)写出集合M 的子集、集合N 的真子集．[思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系和写子集与真子集．解 M ＝{x|x ＜2且x ∈N }＝{0,1}，N ＝{x|－2＜x ＜2，且x ∈Z }＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M 的子集为： ，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．[规律方法] 1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集： 和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.【活学活用1】 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }．B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 易知A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，又A C B.∴集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案 D类型二 集合的相等问题【例2】 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2 013＋b 2 014的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1[思路探索] 集合相等 集合的元素相同 a ≠0 b ＝0，a 2＝1 a 2013＋b 2014＝－1.解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}， 又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 013＋b 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.答案 C[规律方法] 1.本题以“0”为着眼点，b a中a 不为0为突破口． 2．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形．例如本题中a ＝1不满足互异性，否则会错选D.【活学活用2】 设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ＝B ，求实数a 的值．解 由A ＝B 及两集合元素特征，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±1，a ＝1或a ＝2. 因此a ＝1，代入检验满足互异性．∴a ＝1.类型三 由集合间的关系求参数范围问题【例3】 已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1＜x ＜m ＋1}，且B A.求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B A ，(1)当B ＝ 时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠ 时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.[规律方法] 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．2．此类问题要注意对空集的讨论．【活学活用3】 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围．解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B A ，由图可知1≤a ≤2.方法技巧 分类讨论思想在集合关系中的应用所谓分类讨论，就是当问题所涉及的对象不能统一解决时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时，常借助分类讨论思想转化求解．【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x|mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的集合．[思路分析]解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝ 时，此时m ＝0，满足B A.(2)当B ≠ 时，则m ≠0，B ＝{x|mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“ ”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记．2．在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况 下要注意分类讨论.作业1．集合{0}与∅的关系是( )．A ．{0}B ．{0}∈C ．{0}＝D ．{0}解析 空集是任何非空集合的真子集，故A 正确．集合与集合之间无属于关系，故B 错；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故C 、D 均错．答案 A2．已知集合A ＝{x|－1＜x ＜4}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 满足( )．A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4解析 由A B ，结合数轴，得a ≥4.答案 D3．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.答案 －14．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ＝{3，m 2}，A ＝{－1,3,2m －1}，且B A ，∴m 2∈{－1,3,2m －1}，又m 2≠3，∴m 2＝2m －1，解得m ＝1，经检验合题意．答案 15．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解 ∵A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．课堂小结1．子集和真子集(1)A B 包含两种情况：A ＝B 和A B.当A 是B 的子集时，不要漏掉A ＝B 的情况．(2)在真子集的定义中，A B 首先要满足A B ，其次至少有一个x ∈B ，但x A.(3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向．2．空集(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若利用“A B”或“A B”解题，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．3．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。
集合间的基本关系例题讲解
集合间的基本关系例题讲解说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m 解:∵,A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m例2. 已知集合,,若,求实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.解:解不等式组得: ⎩⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:,解之得:2≤.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3<m 综上,实数的取值范围是. m {}3<m m 例3. 设集合,,若,则实数{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B A B ⊆的值取值范围为__________.a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a （2）当时,则有或或∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;{}0=B②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:.1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由可知集合B 为非空集合.B A ⊆解:（1）∵,A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:或∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.解:∵,∴分为两种情况:A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.a {}2≤a a 例6. 已知集合.{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B,解之得:2≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m m 综上所述,实数的取值范围是; m {}3≤m m （2）∵,,∴B A ⊆{}52≤≤-=x x A ∅≠B 则有:,解之得:3≤≤4⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m m ∴实数的取值范围是; m {}43≤≤m m （3）∵B A =∴,无解,即不存在实数,使得. ⎩⎨⎧=--=-51226m m m B A =题型二 集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,: (){}x p x A =(){}x q x B =①若由可推出,则；()x p ()x q B A ⊆②若由可推出,则;()x q ()x p A B ⊆③若与可互相推出,则。
高一数学知识讲学专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(word档含答案解析)
专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．例1.考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④知识点二元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集，记作A∩B。
37588_《集合之间的关系》教案5(人教B版必修1)
课题：1.2-集合之间的关系(2课时)教学目标：1.理解子集、真子集、集合相等概念；能用符号与文氏图表示两个集合的关系；能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系。
2.能够通过实例归纳子集的概念。
3.感受集合具有的数学抽象美，进一步体会部分和整体的关系。
教学重点：子集、真子集、集合相等概念教学难点：判断集合之间的关系教学过程：第1课时：提问：上节课的主要内容是什么？1、子集元素与集合的关系：属于、不属于引申：集合与集合的关系有哪些呢？用集合语言表达：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”。
用集合符号表示：“∀a∈A⇒a∈B”等价于“A⊆B（或B⊇A）”显然：A⊆A规定：空集包含于任何一个集合，即空集Φ是任何集合的子集。
显然：Φ⊆A图示法：用平面区域来表示集合之间关系的方法。
所用图叫做文氏图。
2、相等的集合思考：集合A、B互为子集可能吗？显然只有一种可能：集合A与集合B的元素完全一样，即A、B是相同的集合。
结论：对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等。
记作A ＝B，读作“集合A等于集合B”。
[例1]确定整数x、y，使{2x，x＋y}＝{7，4}。
解答详见教材。
x＝2，y＝5强调解题依据：(1)集合相等概念；(2)元素的互异性。
[例2]确定下列每组集合的包含关系或相等关系：(1)A＝{n|n为12的正约数}与B＝{1，3，2，4，6，12}(2)C＝{m|m＝2k，k∈N*}与D＝{m|m为4的正整数倍数}解答详见教材。
(1)A＝B；(2)D⊆C强调解题依据：(1)集合相等概念；(2)真子集概念。
3、 真子集：对于两个集合A 和B ，如果A ⊆B ，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ≠⊂B(或B ≠⊃A)，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
高中数学教案《集合间的基本关系》
《集合间的基本关系》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解集合间的基本关系（子集、真子集、相等）的概念，掌握判断集合间关系的方法，并能准确描述集合间的这些关系。
2.过程与方法：通过具体实例分析，引导学生从直观感受出发，逐步抽象出集合间关系的数学定义，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
同时，通过小组讨论和合作探究，提升学生的团队协作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和实事求是的科学精神。
通过解决实际问题，让学生感受到数学的实用价值，增强学好数学的信心。
二、教学重点和难点●重点：子集、真子集、相等三种集合间关系的定义及判断方法。
●难点：理解并准确区分子集与真子集的概念，以及在复杂情境下判断集合间的关系。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例：以班级中的男生集合、女生集合及全班学生集合为例，引导学生思考这些集合之间的关系，初步感受集合间的包含与被包含关系。
●提出问题：如何用数学语言描述这些集合之间的关系？引出子集、真子集、相等等概念。
●明确目标：告知学生本节课将要学习集合间的基本关系，并简要介绍学习目标。
2. 概念讲解（10分钟）●子集定义：详细讲解子集的定义，强调“所有元素都属于另一个集合”的含义，并通过实例说明。
●真子集与相等：在子集的基础上，进一步讲解真子集的概念（即子集且不等于原集合），以及两个集合相等的条件（即互相为子集）。
●比较区分：通过图表或对比表格的形式，帮助学生直观区分子集、真子集和相等三种关系。
3. 例题解析（15分钟）●典型例题：选取几个具有代表性的例题，分别涉及子集、真子集和相等的判断。
教师边讲边练，逐步展示解题过程。
●思路引导：在解题过程中，注重引导学生分析题目中的关键信息，明确判断集合间关系的依据。
●学生尝试：让学生尝试解答几个类似的题目，教师巡回指导，及时纠正学生的错误思路。
4. 小组讨论与合作探究（15分钟）●分组任务：将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题或情境，要求将其转化为集合间关系的判断问题。
集合与集合的关系
1.1.2 集合间的基本关系1．Venn图在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示．【例1】试用Venn图表示集合A＝{x|x2－16＝0}．解：集合A是方程x2－16＝0的解集，解方程x2－16＝0，得x1＝4，x2＝－4，所以A＝{－4,4}，用Venn图表示如图所示．谈重点对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制．2．子集释疑点(1)“A⊆B”的含义：若x∈A就能推出x∈B．(2)集合A是集合B的子集不能．．理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作A B或B A．(4)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N ，而不能写成{0}∈N ；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N ，而不能写成0⊆N ．【例2－1】已知集合M ＝{0,1}，集合N ＝{0,2,1－m }，若M ⊆N ，则实数m ＝__________．解析：由题意知M ⊆N ，又集合M ＝{0,1}，因此1∈N ，即1－m ＝1．故m ＝0． 答案：0【例2－2】已知集合M ＝{x ∈Z |－1≤x ＜3}，N ＝{x |x ＝|y |，y ∈M }，试判断集合M ，N 的关系．解：∵x ∈Z ，且－1≤x ＜3，∴x 的可能取值为－1,0,1,2．∴M ＝{－1,0,1,2}．又∵y ∈M ，∴|y |分别是0,1,2．∴N ＝{0,1,2}．∴N ⊆M ．3．集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B ．用Venn 图表示如图所示．谈重点 对集合相等的理解(1)A ＝B ⇔A ⊆B ，且B ⊆A ，这是证明两个集合相等的重要依据；(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；(4)A A 【例3A ．P ＝{1,4,7}，Q ＝{1,4,6} B ．P ＝{x |2x ＋2＝0}，Q ＝{－1}C ．3∈P,3∈QD ．P ⊆Q解析：对于A 项，7∈P ，而7∉Q ，故P ≠Q ；对于B 项，P ＝{x |2x ＋2＝0}＝{－1}＝Q ；对于C 项，由3∈P,3∈Q ，不能确定P ⊆Q ，Q ⊆P 是否同时成立；对于D 项，仅由P ⊆Q 无法确定P 与Q 是否相等． 答案：B【例3－2】设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：由集合相等的定义，得20,x y x =⎧⎨=⎩或2,0,x x y ⎧=⎨=⎩(1)由20,x y x=⎧⎨=⎩得x ＝0，y ＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去； (2)由2,0,x x y ⎧=⎨=⎩得x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0，由(1)知x ＝0，y ＝0应舍去，x ＝1，y ＝0符合集合中元素的互异性．综上，可得x ＝1，y ＝0．4．真子集BB ⊆A ≠A 谈重点 (1)若集合A 是集合B 的子集，则集合A 中所有元素都属于集合B ，并且集合B 中至少有一个．．．．．元素不属于集合A ； (2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的．若集合A 不是集合B 的子集，则集合A 一定不是集合B 的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集．【例4】已知集合P ＝{2 012,2 013}，Q ＝{2 011,2 012，2 013，2 014}，则有( )A ．P ＝QB ．Q ⊆PC ．P QD ．Q P解析：很明显，集合P 中的元素都属于集合Q ，则P ⊆Q ，但是2 014∈Q,2 014∉P ，所以P Q ． 答案：C5．空集释疑点【例5－1】下列集合为空集的是( )A ．{0}B ．{1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |1＋x 2＝0}解析：很明显{0}和{1}都不是空集；因为{x |x ＜0}是全体负数组成的集合，所以{x |x ＜0}也不是空集；集合{x |1＋x 2＝0}是一元二次方程1＋x 2＝0的解集，但是方程1＋x 2＝0无实数解，所以{x |1＋x 2＝0}＝∅． 答案：D【例5－2】有下列命题：①空集没有子集；②任一集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于①，空集是任何集合的子集，故∅⊆∅，①错；对于②，∅只有一个子集，是其自身，②错；对于③，空集不是空集的真子集，③错；空集是任何非空集合的真子集，④正确． 答案：B6．集合间的关系判断(1)集合A ，B 间的关系⎩⎪⎨⎪⎧ 包含：A ⊆B (或B ⊆A )⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝B ，A B (或B A ).互不包含：A B ，且B A .(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn 图)来表示集合．(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：①一一列举观察；②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p (x )推出q (x )，则A ⊆B ；若q (x )推出p (x )，则B ⊆A ；若p (x )，q (x )互相推出，则A ＝B ；若p (x )推不出q (x )，q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．③数形结合法：利用数轴或Venn 图．(4)当M ⊆N 和M N 均成立时，M N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．当M ⊆N 和M ＝N 均成立时，M ＝N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．例如，集合M ＝{1}，集合N ＝{1,2}，这时M ⊆N 和M N 均成立，M N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M ＝{1}和集合N ＝{1,2}的关系．又例如，集合M ＝{3}，集合N ＝{3}，这时M ⊆N ，N ⊆M ，M ＝N 均成立，M ＝N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M ＝{3}和集合N ＝{3}的关系．【例6－1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A ＝{－1,1}，B ＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；(3)A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}；(4)M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．解：(1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B ．(3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B ．(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故N M ．点技巧 怎样用数轴表示集合 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．【例6－2】已知集合1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，则集合M ，N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M解析：设n ＝2m 或2m ＋1，m ∈Z ， 则有21211|,,2323m m N x x x m +⎧⎫==-=-∈⎨⎬⎩⎭Z 或11|,,36x x m x m m ⎧⎫==-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或． 又∵1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，∴M N ．答案：B 7．求已知集合的子集(或真子集)(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏．一定要考虑∅这一特殊的集合，因为∅是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集．例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集．我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3．可以得到集合{1,2,3}的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；所有真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．(2)当集合A 中含有n 个元素时，其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2．【例7－1】已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，请写出集合M ．分析：根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M 中必须含有元素1,2，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ．解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2}；(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5}；(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．点技巧有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到．【例7－2】设集合A＝{a，b，c}，B＝{T|T⊆A}，求集合B．解：∵A＝{a，b，c}，又T⊆A，∴T可能为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．∴B＝{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}．【例7－3】已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．解：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36．析规律集合所有子集的元素之和的计算公式若集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，则A的所有子集的元素之和为(a1＋a2＋…＋a n)·2n－1．8．集合间的基本关系与方程的综合问题集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围．解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数．集合{x|f(x)＝0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数．例如集合{x|mx2－x＋23＝0}表示关于x的方程mx2－x＋23＝0的解集，其中x是未知数，m是常数．此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数m的取值．当m＝0时，该方程为－x＋23＝0，是一元一次方程；当m≠0时，该方程为mx2－x＋23＝0，此时才是关于x的一元二次方程．(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是A⊆B的含义．当B≠∅时，对于A⊆B，通常要分A＝∅和A≠∅两种情况进行讨论，此时，容易忽视A＝∅的情况．(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论．【例8－1】若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}且B⊆A，求m的值．分析：由于B⊆A，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx＋1＝0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目没有明示，因此要进行分类讨论．本题应弄清楚两个问题：一是集合B有没有元素；二是集合B有元素时，元素是什么．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．因为B ⊆A ，所以方程mx ＋1＝0的解可以是－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由－3m ＋1＝0得13m =；当mx ＋1＝0的解为2时，由2m ＋1＝0得12m =-；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0．综上可知，m 的值为13或12-或0．【例8－2】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的值或取值范围．解：由题意得A ＝{0，－4}，B ⊆A ．(1)当A ＝B 时，即B ＝{0，－4}．由此知，0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，由韦达定理知22(1)4,10,a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1． (2)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1． (3)当B 为单元素集时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1．当a ＝－1时，B ＝{x |x 2＝0}＝{0}⊆A ，满足条件．综上所述，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1．9．集合间的基本关系与不等式的综合问题用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用．数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观．在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示．集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数．集合{x |f (x )＞0}，{x |f (x )＜0}，{x |f (x )≥0}，{x |f (x )≤0}均表示关于x 的不等式的解集，x 是未知数，其他字母是常数．例如，集合{x |－nx ＋3＜0}表示关于x 的不等式－nx ＋3＜0的解集，x 是未知数，n 是常数．这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数n 的取值．当n ＝0时，该不等式为3＜0，不是一元一次不等式；当n ≠0时，该不等式才是关于x 的一元一次不等式．(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2＜3和3＜2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m ＋1＜x ＜2m －1中m ＋1＜2m －1一定成立．【例9－1】已知集合A ＝{x |－2＜x ＜5}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一个用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为－2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m＋1与2m－1的大小关系有两种情形：当m＋1≥2m－1时x∈∅，所以B⊆A一定成立；当m＋1＜2m－1时，可借助于数轴来分析解决．解：∵B⊆A，A≠∅，∴B＝∅或B≠∅．当B＝∅时，m＋1≥2m－1，解得m≤2．当B≠∅时，如数轴所示．则有121,12,21 5.m mmm+<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得2,3,3.mmm>⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩因此2＜m≤3．综上所述，m的取值范围为m≤2或2＜m≤3，即m≤3．【例9－2】已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解．解：当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得32,31a aa+≥⎧⎨+<-⎩或32,24,a aa+≥⎧⎨>⎩解得a＜－4或2＜a≤3．综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2．辨误区利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值．例如本题中在B≠∅时，解得a＜－4或2＜a≤3，若a＝－4，则集合B＝{x|－8≤x≤－1}，但集合A中不含－1，不满足B⊆A，故不能取到端点－4；若a＝2，则集合B＝{x|4≤x≤5}，但集合A中不含4，不满足B⊆A，故不能取到端点2；若a＝3，则集合B＝{6}，满足B⊆A，故能取到端点3．。
03【基础】集合的基本关系及运算知识讲解
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A∪B 读作：“A 并B”，即：A∪B={x|x ∈A，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A，或x ∈B”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A∩B，读作：“A 交B”，即A∩B={x|x ∈A，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅ ．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧若A∩B=A，则A B ⊆，反之也成立若A∪B=B，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A∪B)，则x ∈A，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1.请判断①0{0}；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1){x||x|≤1}{x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2}{y|y=3x 2-1}；(3){x||x|>1}{x|x>1}；(4){(x，y)|-2≤x≤2}{(x，y)|-1<x≤2}．【答案】(1)=(2)(3)(4)【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.例2.（2015秋确山县期中）已知A ={x ｜x 2―4=0}，B ={x ｜ax ―6=0}，且B 是A 的子集．（1）求a 的取值集合M ；（2）写出集合M 的所有非空真子集．【思路点拨】对（1）根据A 集合中的元素，B A ⊆，分类讨论B 的可能情况，再注解a ，写出集合M ．根据含有n 个元素的集合的真子集个数是2n －1，求解（2）．【答案】（1）M ={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【解析】（1）A ={2，－2}．∵B 是A 的子集，∴B =∅，{2}，{－2}，①B =∅时，方程ax －6=0无解，得a =0；②B ={2}时，方程ax －6=0的解为x =2，得2a －6=0，所以a =3；③B ={－2}时，方程ax －6=0的解为x =－2，得－2a －6=0，所以a =－3．所以a 的取值集合M ={0，3，－3}．（2）M ={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【总结升华】本题考查集合的子集问题，含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n －1；非空真子集个数是2n －2．举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（）A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1，3，a}，B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【答案】a=-1，a=3±或a=0【解析】∵，∴a 2∈A，则有：（1）a 2=1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；（2）a 2=3⇒a=3±（3）a 2=a ⇒a=0，a=1，舍去a=1，则a=0综上：a=-1，a=3±或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.例3.设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足()A.M=NB.M NC.N MD.M∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N，故选B.例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N 所含元素相同.由0∈{0，|x|，y}可知0∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x≠0.若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy≠00，则x=y，M，N 可写为M={x，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故x≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+ ，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二：集合的运算例5.（1）（2014湖北武汉期中）已知{}22A y y x ==-；{}22B y y x ==-+，则A ∩B ＝（）A ．()){}00,,,B ．⎡⎣C ．[－2，2]D ．{（2）设集合M ={3，a }，N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}，M ∩N ={1}，则M ∪N 为（）．A ．{1，2，a }B ．{1，2，3，a }C ．{1，2，3}D ．{1，3}【思路点拨】（1）先把集合A 、B 进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】（1）C （2）D 【解析】（1）集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A ={y |y ≥－2}，B ={y |y ≤2}，所以A ∩B ={y |－2≤y ≤2}，选C ．（2）由N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}可得：N ={x |0＜x ＜2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N ={1}，可知1∈M ，即a =1，故选D ．举一反三：【变式1】设A、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={21}，求A ∪B.【答案】{21，31，-4}【解析】∵A∩B={21}，∴21是方程2x 2+px+q=0的解，则有：0q p 2121(22=++(1)，同理有：6(21)2+(2-p)·21+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：⎩⎨⎧-==.4q ,7p ∴方程(1)为2x 2+7x-4=0，∴方程的解为：x 1=21，x 2=-4，∴}4,21{A -=，由方程(2)6x 2-5x+1=0，解得：x 3=21，x 4=31，∴B={21，31}，则A∪B={21，31，-4}.【变式2】设集合A={2，a 2-2a，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上A∪B=｛2，3，6，18｝．例6.设全集U={x ∈N +|x≤8}，若A∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A，B.【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.类型三：集合运算综合应用例7．（2014北京西城学探诊）已知集合A ={x |－4≤x ＜2}，B ={x |－1≤x ＜3}，C ={x |x ≥a ，a ∈R}．（1）若（A ∪B ）∩C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若（A ∪B ）ÜC ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．【答案】（1）a ≥3（2）a ≤－4【解析】（1）∵A ={x |－4≤x ＜2}，B ={x |－1≤x ＜3}，又（A ∪B ）∩C =∅，如图，a ≥3；（2）画数轴同理可得：a ≤－4．【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）A ．(-∞,-1]B ．[1,+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P = ，∴M P ⊆，∴11a -≤≤故选C ．例8.设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B = ，求a 的值；（2）若A B B = ，求a 的值.【思路点拨】明确A B 、A B 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（2）1a =．【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由A B B = ，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-.②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意；当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意.③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =.当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意.由①②③，得1a =或1a ≤-.（2）,A B B A B =∴⊆ .又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =.【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆ 非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】（2015源汇区一模）设A ={x ｜x 2+4x =0}，B ={x ｜x 2+2(a +1)x +a 2－1=0}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．【答案】a =1或a ≤－1【解析】A ={x ｜x 2+4x =0}={0，－4}，∵A ∩B =B 知，B A ⊆，∴B ={0}或B ={－4}或B ={0，－4}或B =∅，若B ={0}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根0，则2002(1)001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩，∴a =－1，若B ={－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根－4，则24(4)2(1)4(4)1a a -+-=-+⎧⎨-⨯-=-⎩，∴a 无解，若B ={0，－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个不相等的根0和－4，则2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩，∴a =1，当B =∅时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0无实数根，Δ=[2(a +1)]2－4(a 2－1)=8a +8＜0，得a ＜－1，综上，a =1或a ≤－1．。
(新教材)【人教A版】必修一1.2集合间的基本关系(数学)
角度2 由集合之间的包含关系求参数 【典例】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤ 2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.
世纪金榜导学号
【思维·引】 分B=∅和B≠∅两种情况讨论,B≠∅时根据B⊆A列不等式 组求m的取值范围.
【解析】
(1)当B=∅时,有m-6>2m-1, 则m<-5,此时B⊆A成立. (2)当B≠∅时,B⊆A,此时满足
【类题·通】 求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合. (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 另外,一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个, 真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
【习练·破】
满足条件{x|x2-1=0}⊆A
数为 ( )
A.7
B.6
{-1,0,1,2,5}的集合A的个
C.8
D.5
【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1,1}, 所以{-1,1}⊆A {-1,0,1,2,5}, 所以集合A可以是{-1,1},{-1,1,0},{-1,1,2}, {-1,1,5},{-1,1,0,2},{-1,1,0,5},{-1,1,2,5},共7个 .
(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示, 从而C A B D.
(4)方法一:对于集合M,其组成元素是 n ,分子部分表
示所有的整数;对于集合N,其组成元素是2 +n=
,
分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念1知,N 2n＋M1.
2
2
方法二:用列举法表示集合如下:
M=
,
N=
，
3， 2
1.1.2集合间的基本关系教学设计
1．1．2集合间的基本关系教学目标：理解子集、真子集概念，了解集合之间的包含、相等关系；了解空集的含义重难点：集合间关系判断，分类讨论、数形结合思想应用教学过程：问题1：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系. 引入课题概念形成分析示例：示例”考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A = {1，2，3} B = {1，2，3，4，5}（2）A = {越崎中学高（一）16班的全体女生} B = {越崎中学高（一）16 班的全体学生}（3）C = {x | x 是两条边相等的三角形} D = {x | x 是等腰三角形}生：共同特点是A 的每一个元素都是B 的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A 是B 的子集，那么A 是B 的子集怎样定义呢？1．子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果A 中任意一个元素都是B 的元素，称集合A是集合B 的子集，记作B A ⊆，读作："A 含于B"（或B 包含A ）；图形表示问题2 观察下面几个例子，两个集合有包含关系吗? 有什么共同特点? (1)A={x|x2-1=0}，B ={1,-1}(2) A={x|x 是两条边相等的三角形}B={x|x 是等腰三角形}(3)A=}623|),{(⎩⎨⎧+-=+=x y x y y x B={(1,4)} 生：A 是B 的子集，同时B 是A 的子集. 师：类似（3）的两个集合称为相等集合.2．集合相等： 若B A ⊆，且A B ⊆，则A=B问题3 若B A ⊆,则集合A 与集合B 一定相等吗?我们如何解释这种情况?不难发现：A 的任意元素都在B 中，而B 中存在元素不在A 中，具有这种关系时，称A 是B 的真子集.3．真子集如果集合B A ⊆，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称A 是B 的真子集，记作A ⊆B (或B ⊇ A). 问题4 你能找出子集，真子集，集合相等三者之间的联系吗？ 生：B A ⊆包含两层含义：B A ⊆和A=B问题5 考察下列各组集合有什么共同的特征？ (1)A={x|x 2+1=0} (2)B={x|x 2+2x+3<0}4．空集 称不含任何元素的集合为空集，记作.φ规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 区别下面三个集合：}0{],{,φφ 问题6类比数的大小关系的结论，你能给出子集的两个性质吗？思考：包含关系{a}A 与属于关系a A 有什么区别？练习：试用适当的符号填空{b}____{a,b,c} , b_____{a,b,c,d} Q_____R, R_____Z,φ_____ {0} φ }{φ φ {}01|2=+x x},214|{Z k k x x ∈+= },412|{Z k k x x ∈+= 答案：⊆，∈，⊆，⊇，⊆，⊆或∈，=，⊇例题讲解例1写出集合{a 、b 、c}的所有子集；并指出哪些是它的真子集，数出子集和真子集的个数 练习：写出集合{a 、b 、c 、d}的所有子集；通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.归纳已知A = {a 1，a 2，a 3...a n }，求A 的子集共有多少个？一般地：集合A 含有n 个元素 则A 的子集共有2n 个. A 的真子集共有2n - 1个.例2 （1）已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q={x|ax-1=0}满足P Q ⊆，求a 的取值范围(2)已知集合A={x|-1<x<5}，B={x|21<x<a},若A B ⊆，求a 的范围(注意a 的讨论)课堂小结1． 理解4个概念2． 会写指定集合的子集，真子集3． 会利用子集关系求参数范围问题4． 重视数形结合思想，分类讨论思想。
集合间的基本关系
A B ， 但存在元素 A是集合B的 真子集 ，记作 A B ．
试填写：如果集合
x B且x A
，我们称集合
● 想一想：
子集与真子集定义有什么区别 ，记法有什么 区别 ，用Venn图表示有什么别 ； ● 试一试： 请举出生活中两个真子集的例子．
4、空集的概念
阅读第7页，试着填写：方程 x 1 0 有实根吗？ 无 ，那么 2 方程 x 1 0 解能构成集合吗？ 能 ；请阅读教材,你怎么理 解“规定”二字呢？ 填写：我们把 不含任何元素 的集合叫做 空集 ，
（2）归纳概括 相等 若集合 A B 且 B A ，则集合A与集合B ，记为 ●想一想：
A=B ．
（1）集合之间的相等关系是不是有点类似实数的相等呢？
（2）用Venn图表示很直观吧！
,
●试一试：请举出生活中两个集合相等的例子．
3、真子集的概念
（1）观察思考 请观察三个集合 A 1、2、3、4、5, B 1、2、3、4, C 1、2、4、3 有何联系与区别？继续阅读教材第6页，归纳真子集的概念；
2、集合相等的概念
（1）观察思考
1,， 2 D 1,2则从子集角度来讲，C 设集合 C D， D C，此时集合C、D的元素是一样的，称 C=D ． 我们再类比在实数中的结论：若a≥b，且b≥a，则a﹦b，类比思考在 C 集合中若 C D， D ，那么集合 C、D有什么关系呢？
１.集合A x 0 x 3且x Z } 且的真子集的个数是( )． C A．5 B．6 C．7 D．8 A 2.在下列各式中错误的个数是( )． ① 10,1, 2 ② 1 0,1, 2 ③ 0,1,2 0,1,2
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利用分类讨论研究集合间关系
巩明志
应用举例：
1、 已知集合}31{m A ，，=，},1{m B =，A B A =⋃,则_____=m
A 0或3，
B 0或3，
C 1或3，
D 1或3
解析：本题中的关键条件是A B A =⋃，由此可得A B ⊆.则A m ∈,所以3=m 或m m =，解得3=m 或1=m 或0=m .将这三个值分别代入集合A,B 中进行检验，根据集合中元素的互异性知1≠m ，故选B
在解含有参变量的有关集合问题时，往往需要对参数进行分类讨论。
同时在解题时，最容易忽略集合中元素的互异性，从而导致解题的失误。
因此求出参变量后，一定要代入检验。
2、 已知集合}065|{2=+-=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，且A B A =⋃.
求实数m 的值组成的集合。
解析：由A B A =⋃得A B ⊆.化简A 得}3,2{=A .
B 中元素是x ，也就是方程01=+mx 的解.此方程从形式上看是一元一次方程，但在系数化“1”的过程中，两边同除以m.根据等式性质，两边不能同除以为0的数，故对m 要分0=m 或0≠m 两种情况讨论.
当0=m 时，方程可化为0=-1不成立.所以方程无解，φ∈x .因此φ=B ,A B ⊆,所以0=m 成立.
当0≠m 时，方程的解m x 1-
=，由A B ⊆得，21=-m 或31=-m
解得21
-=m 或31-=m .
综上所述，m 的取值集合为}3
1-21
-0{，， 分类讨论是根据数学知识要求在需要讨论时再讨论，不能为了讨论而讨论，另外分类标准的寻求和层次的划分，要做到分类标准合理、自然，层次划分明确、清晰，做到不重不漏.。