2020届高考数学大二轮复习刷题首秧第一部分刷考点考点十二数列综合问题理

考点十二 数列综合问题
一、选择题
1．若数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n
·n ，则数列{a n }的前20项的和为( ) A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．110
答案 A
解析 由a n ＋1＋a n ＝(－1)n
·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20
＝－19，∴{a n }的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋19
2
×10＝－100.
2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *
)个圆环所需的最少
移动次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2a n －1－n 为偶数，2a n －1＋
n 为奇数，
则解下4个环所需的最少移动
次数为( )
A ．7
B ．10
C ．12
D ．22
答案 A
解析 依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7，故选A.
3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )
A ．3×44
B ．3×44
＋1 C ．44
D ．44
＋1
答案 A
解析 由a n ＋1＝3S n 得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1
＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝a 2q n －2
＝3×4
n －2
(n ≥2)，即a 6＝3×44
，故选
A.
4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝
12
5
，a 2＋a 5＝4，设b n ＝[a n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{b n }的前8项和S 8＝( )
A ．24
B ．20
C ．16
D ．12
答案 C
解析 由已知可得⎩⎪⎨
⎪⎧
2a 1＋d ＝125，2a 1＋5d ＝4
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝1，d ＝2
5
⇒a n ＝1＋(n －1)×25＝25n ＋3
5
⇒b 1
＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝2，b 6＝b 7＝b 8＝3⇒S 8＝16.
5．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4
a n ＋1＋a n ，若数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1a n ＋1＋a n 的前n 项和为5，则n ＝( )
A ．35
B ．36
C ．120
D ．121
答案 C
解析 用裂项相消法求数列的前n 项和．因为a n ＋1－a n ＝
4a n ＋1＋a n
，所以a 2n ＋1－a 2
n ＝4，所
以数列{a 2
n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2
n ＝4n ，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ，所以
1a n ＋1＋a n ＝12×1n ＋1＋n ＝12
×(n ＋1－n )，所以S n ＝1
2×[(2－1)
＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )]＝1
2×(n ＋1－1)＝5，解得n ＝120，故选
C.
6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，
a n ，使得a m a n ＝2a 21，则1m ＋4
n
的最小值为( )
A ．2 2
B ．83
C ．3
D ．3 2
答案 C
解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 9＝a 8＋2a 7，∴a 7q 2
＝a 7q ＋2a 7，∴q 2
－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 2
1，∴a 21q
m －1＋n －1＝2a 21，2
m ＋n －2
＝2，m
＋n －2＝1，m ＋n ＝3，∴1m ＋4n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ＋5≥1
3
×9＝3，当且仅当m ＝1，
n ＝2时等号成立．故选C.
7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{a n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝－a 2
n ＋ta n (n ∈N *
)，若存在实数t ，使{a n }单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
答案 A
解析 由{a n }单调递增，得a n ＋1＝－a 2
n ＋ta n >a n ，又a 1＝a >0，则a n >0，所以t >a n ＋1(n ∈N *
)．
n ＝1时，t >a ＋1.①
n ＝2时，t >－a 2＋ta ＋1，即(a －1)t <(a ＋1)(a －1)．②
若a ＝1，②式不成立，不符合题意；
若a >1，②式等价于t ＜a ＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B ，C ，D ，故选A. 8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<t ，则
t 的取值范围为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞
B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ 答案 D
解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *
)，∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n
－1
＝2(n －1)2，可得a n ＝2
2n －1
，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a 1＋
1
a 2＋…＋1a n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－14n 1－14
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，∵对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<t ，∴t 的取值范围为
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞. 二、填空题
9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *
)，则a 5·a 2019＝________.
答案 27
解析 由a n ·a n ＋2＝3a n ＋1知n ≥2，a n －1·a n ＋1＝3a n ，两式相乘得a n －1·a n ＋2＝9，又a n ＋2·a n
＋5
＝9，得a n －1＝a n ＋5，则数列周期为6，又a 1a 4＝9，则a 4＝9，故a 5·a 2019＝a 5·a 6×336＋3＝a 5·a 3
＝3a 4＝27.
10．已知a n ＝n －7
n －52
(n ∈N *
)，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.
答案 8
解析 因为函数y ＝
x －7
x －52
在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象
可得a 8>a 9>…>1>a 1>a 2>…>a 7，即a 8为数列{a n }的最大项，故m ＝8.
11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4,4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋
1
(n ≥1)，则a n ＝________.
答案 ⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝，3×4
n －1
n
解析 当n ≥2时，由4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，得4S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴4S n －4S n －1＝
a n ＋1，即4a n ＝a n ＋1，∴a n ＋1
a n ＝4(n ≥2)，又4S 1＝4a 1＝a 1＋a 2，a 1＝4，∴a 2＝12，∴当n ≥2时，
a n ＝12×4n －2
＝3×4
n －1
.又a 1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝，
3×4
n －1
n
12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2
填入n ×n 个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为
N n ，如图三阶幻方的N 3＝15，那么N 9的值为________．
答案 369
解析 根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N 3＝1
3×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋
8＋9)＝15，N 4＝1
4×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N 5
＝1
5×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴N n ＝1
n ×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n 2
)＝1
n
×
n 2
＋n 2
2
＝
n n 2＋
2
，故N 9＝
2
＋
2
＝9×41＝369.
三、解答题
13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
4a n －1，求数列{b n }的前n 项和．
解 (1)因为a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，所以当n ≥2时，
a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.
由于a 1＝1满足a n ＝n 2
，
所以所求{a n }的通项公式为a n ＝n 2
. (2)因为b n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和为
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n
2n ＋1. 14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －2(n ∈N *
)，{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2
n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2，当n ＝1时，得a 1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，
所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n
.
设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1,16＝5d ＋b 1， 所以d ＝3，b 1＝1，所以b n ＝3n －2.
(2)T 2n ＝(－b 2
1＋b 2
2)＋(－b 2
3＋b 2
4)＋…＋(－b 2
2n －1＋b 2
2n ) ＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n )， 又因为b n ＝3n －2， 则T 2n ＝3×2n b 1＋b 2n
2
＝3n [1＋3×(2n )－2]
＝18n 2
－3n .
一、选择题
1．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋sin 2
n π2b n ＋cos 2n π
2
，则该数列的前23
项的和为( )
A ．4194
B ．4195
C ．2046
D ．2047
答案 A
解析 由题意，得当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，数列为以2为公比的等比数列，当n 为偶
数时，b n ＋2＝b n ＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S 23＝(b 1＋b 3＋…＋b 23)＋(b 2＋b 4＋…＋b 22)＝1－212
1－2
＋11×4＋
－2
×1＝212
－1＋44＋55＝4194.
2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{a n }，等比数列{b n }，满足a 1＝b 1＝1，a 5＝b 3，则a 9能取到的最小整数是( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．3
答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝1，a 5＝b 3，可得1＋4d ＝q 2
，则a 9＝1＋8d ＝1＋2(q 2
－1)＝2q 2
－1>－1，可得a 9能取到的最小整数是0，故选B.
3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸14
6分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏
至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )
A ．72.4寸
B ．81.4寸
C ．82.0寸
D ．91.6寸
答案 C
解析 设晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝130.0，a 13＝14.8，则130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6，∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．
4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋
n
，
a n －7n ，
若对于任意的n ∈N *
都有a n >a n ＋1，
则实数a 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 答案 D
解析 ∵对于任意的n ∈N *
都有a n >a n ＋1，∴数列{a n }单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧
13
－a <0，0<a <1，即1
3
<a <1.又由题意知a 9<a 8，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－a ×9＋2<a 8－7
，解得a >12，故12<a <1.
5．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *
)，则满足
10011000<
S 2n S n <11
10
的n 的最大值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
答案 A
解析 由2a n ＋1＋S n ＝2得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝1
2
(S n －2)，且
S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n
1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫10011000，1110，即11000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，4≤n ≤9，所以n 的最大值为9，故选A.
6．(2019·陕西西安4月联考)已知函数f (x )＝2
1＋x
2，若等比数列{a n }满足a 1a 2019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝( )
A ．2019
B ．2019
2
C ．2
D ．12
答案 A 解析 ∵f (x )＝
21＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋
21＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x 2＝2.∵a 1a 2019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2019)＝2，∵{a n }为等比数列，则a 1a 2019＝a 2a 2018＝…＝a 1009a 1011＝a 2
1010＝1.∴f (a 2)＋f (a 2018)＝…＝
f (a 1009)＋f (a 1011)＝2，f (a 1010)＝1，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝2×1009＋1＝2019.
7．(2019·江西新八校联考二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2017－1)2019
＋
2019a 2017＋(a 2017－1)
2021
＝2000，(a 2020－1)
2019
＋2019a 2020＋(a 2020－1)
2021
＝2038，则S 4036＝( )
A ．2020
B ．2038
C ．4034
D ．4036
答案 D
解析 由(a 2017－1)2019
＋2019a 2017＋(a 2017－1)
2021
＝2000得
(a 2017－1)
2019
＋2019(a 2017－1)＋(a 2017－1)2021
＝－19，①
由(a 2020－1)2019
＋2019a 2020＋(a 2020－1)
2021
＝2038得
(a 2020－1)
2019
＋2019(a 2020－1)＋(a 2020－1)2021
＝19，②
令f (x )＝x
2019
＋2019x ＋x
2021
，
则①式即为f (a 2017－1)＝－19， ②式即为f (a 2020－1)＝19，
又f (－x )＋f (x )＝0，即f (x )是奇函数， 则(a 2017－1)＋(a 2020－1)＝0，即a 2017＋a 2020＝2，
∴S 4036＝2018(a 1＋a 4036)＝2018(a 2017＋a 2020)＝4036.故选D.
8．(2019·广东韶关模拟)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *
)，设数
列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *
)恒成立，则实数λ的
取值范围为( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫38，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫38，＋∞ 答案 D
解析 因为a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2
＋n ，所以当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1
＝(n －1)2＋(n －1)，则1n
a n ＝2n ，故a n ＝2n 2
(a 1＝2满足此式)，所以b n ＝
2n ＋14n 2
n ＋
2
＝
14
⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1n 2－
1n ＋2
，则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋1n 2－1n ＋2＝14⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－
1n ＋2
，由于
T n <n n ＋1λ(n ∈N *
)恒成立，故14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－
1n ＋2
<n n ＋1
λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝1
4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1在n ∈N *上单调递减，故当n ＝1时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋14n ＋4max ＝38
，所以λ>38，故选D.
二、填空题
9．(2019·辽宁沈阳质量监测三)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n
－1，则数列b n ＝a 2
n
－7a n ＋6的最小值为________．
答案 －6
解析 由S n ＝2n
－1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n
－1－2n －1
＋1＝2
n －1
，a 1
＝1适合上式，
∴a n ＝2
n －1
.则b n ＝a 2
n －7a n ＋6＝⎝
⎛⎭⎪⎫a n －722－254，
∴当a n ＝4时，(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－25
4
＝－6.
10．(2019·辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r ，t ∈N *
，都有S r S t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫r t
2，则a n ＝________.
答案 2n －1
解析 若r ＝n ，t ＝n ＋1，n ∈N *
，则S n S n ＋1＝
n 2
n ＋
2
，令S n ＝n 2k ，S n ＋1＝(n ＋1)2
k ，则a 1
＝S 1＝k ＝1，∴S n ＝n 2
，S n ＋1＝(n ＋1)2
，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2
－n 2
＝2n ＋1＝2(n ＋1)－1，∴a n ＝2n －1，经验证，n ＝1时，满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1
n ，
2
n
，…，
n －1
n
，…，若S k ＝14，则a k ＝________. 答案 78
解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n
n ＋1＝
1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差
为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2
＋n 4.令T n ＝n 2
＋n 4
＝14，解得n ＝7，所以a k ＝7
8
.
12．(2019·河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝
F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的
应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，
c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019的值为________．
答案 3
解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…}，可得数列{b n }构成一周期为6的数列，由题意得数列{c n }为{1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，…}，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所
以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2018)＋c 2019＝1＋1＋1＝3.
三、解答题
13．(2019·河北廊坊期中联合调研)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋2
2
n
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝
1
a n
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋1a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋2
2
n
，
∴当n ＝1时，a 1＝2－32＝1
2
；
当n ≥2，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝2－n ＋1
2
n －1
，
∴na n ＝2－
n ＋22
n －⎝
⎛⎭⎪⎫2－n ＋12
n －1＝n 2
n ，可得a n ＝12
n ，
又∵当n ＝1时也成立，∴a n ＝1
2
n .
(2)∵b n ＝
1
a n
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1a n ＋1，
∴b n ＝
2n
＋2
n
＋2
n ＋1
＝12n ＋1－1
2n ＋1＋1
， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－1
2n ＋1＋1
.
14．(2019·河北石家庄二中二模)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1，a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3
＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n log 12 a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，
试求m 的取值范围．
解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .
依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.
因此a 2＋a 4＝20，即有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q ＋a 1q 3
＝20，
a 1q 2
＝8，
- 11 - 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12，a 1＝32， 又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n log 12
2n ＝－n ·2n ，
∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝
－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.
∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，
∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0， 对任意正整数n 恒成立，
m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立，∵12n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．。