(浙江专版)2018年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理学案 新人教A版必修5

1.1 错误!

1．1.1 正弦定理

预习课本P2～3，思考并完成以下问题

（1）直角三角形中的边角之间有什么关系?

(2）正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？

(3）解三角形的含义是什么？

[新知初探]

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即错误!＝错误!＝错误!.

［点睛] 正弦定理的特点

(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．

2．解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

错误!

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”）

（1)正弦定理适用于任意三角形（）

(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立( ）

(3）在△ABC中,已知a,b,A，则此三角形有唯一解( )

解析：（1)正确．正弦定理适用于任意三角形．

（2）正确．由正弦定理知错误!＝错误!,即b sin A＝a sin B。

（3)错误．在△ABC中,已知a，b，A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．

答案：(1）√(2）√(3）×

2．在△ABC中，下列式子与错误!的值相等的是（)

A。错误!B。错误!

C.错误!

D.错误!

解析：选C 由正弦定理得，错误!＝错误!，

所以错误!＝错误!。

3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于（)

A．5错误!B．10错误!

C.错误!D．5错误!

解析:选B 由正弦定理得，b＝错误!＝错误!＝10错误!。

4．在△ABC中,A＝π

6

，b＝2，以下错误的是( ）

A．若a＝1，则c有一解B．若a＝错误!，则c有两解

C．若a＝错误!,则c无解D．若a＝3，则c有两解

解析：选D a＝2 sin错误!＝1时，c有一解；当a<1时,c无解;当1〈a<2时，c有两个解;a〉2时，c有一解．故选D.

已知两角及一边解三

角形

[典例］在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.

[解］A＝180°－（B＋C）＝180°－(60°＋75°)＝45°，

由正弦定理错误!＝错误!，得b＝错误!＝错误!＝4错误!,

由错误!＝错误!，得c＝错误!＝错误!＝错误!＝4(错误!＋1)．

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

(1）由三角形的内角和定理求出第三个角．

(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．

[注意］若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°），再根据上述思路求解．

［活学活用]

在△ABC中，若A＝60°，B＝45°,BC＝3错误!，则AC＝( ）

A．4 3 B．2错误!

C.错误! D。错误!

解析:选 B 由正弦定理得，错误!＝错误!，即错误!＝错误!,所以AC＝错误!×错误!＝2错误!，故选B。

已知两边及其中一边的对角解三

角形

[典例］在△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，B＝45°，求A，C，c。

［解] 由正弦定理及已知条件,有错误!＝错误!，得sin A＝错误!。

∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝b sin C

sin B

＝错误!＝错误!；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°,c＝错误!＝错误!＝错误!.综上可知：A＝60°，C＝75°,c＝错误!或A＝120°,C＝15°,c＝错误!.

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．

（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．

（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

[活学活用］

在△ABC中,c＝错误!,C＝60°，a＝2，求A,B，b.

解:∵错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!.

∴A＝45°或A＝135°。

又∵c〉a，∴C〉A。∴A＝45°.

∴B＝75°，b＝错误!＝错误!＝错误!＋1。

三角形形状的判

断

［典例］在△ABC中，a cos错误!＝b cos错误!,判断△ABC的形状．

解:[法一化角为边]

∵a cos错误!＝b cos错误!,

∴a sin A＝b sin B．由正弦定理可得：a·错误!＝b·错误!，

∴a2＝b2,∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

[法二化边为角］

∵a cos错误!＝b cos错误!，

∴a sin A＝b sin B。

由正弦定理可得：2R sin2A＝2R sin2B,即sin A＝sin B，

∴A＝B。（A＋B＝π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形．

利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径

（1）化角为边．

．．．．．将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2