2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题21 函数=Asin(wx+φ)的图象及应用 含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题21函数=Asin（wx+φ）的图象及应用

最新考纲

1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象．

2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

基础知识融会贯通

1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径

【知识拓展】

1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φ

ω

个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π

2

，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．

重点难点突破

【题型一】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换

【典型例题】

已知向量（cos x ，），（sin x ，cos2x ），x ∈R ，设函数f （x ）•．

（1）求f （x ）的表达式并完成下面的表格和画出f （x ）在[0，π]范围内的大致图象；

（2）若方程f （x ）﹣m ＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m 的取值范围及α+β的值．

【解答】解：（1）f （x ）sin2x

cos2x ＝sin （2x ），

如图示：

（2）由图可知m ∈（﹣1，）∪（，1），

或，

∴或．

【再练一题】

将函数y ＝sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝f （x ）的图象，则（ ）

A．y＝f（x）的图象关于直线对称

B．f（x）的最小正周期为

C．y＝f（x）的图象关于点对称

D．f（x）在单调递增

【解答】解：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sin x，

即f（x）＝sin x．

根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x，∴A不对．

周期T＝2π，∴B不对．

对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．

单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．

故选：D．

思维升华(1)y＝A sin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

【题型二】由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式

【典型例题】

函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则f（π）＝（）

A．1 B．C．D．2

【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，

可得：T•，

解得：ω＝2，

由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，

解得：φ＝2kπ，k∈Z，

由于：0＜φ＜π，

可得：φ，即y＝2sin（2x），

可得：f（π）＝2sin（2π）＝1．

故选：A．

【再练一题】

函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则函数f（x）的单调递增区间为（）

A．B．

C．D．

【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，

可得：T•，

解得：ω＝2，

由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，

解得：φ＝2kπ，k∈Z，

由于：0＜φ＜π，

可得：φ，即y＝2sin（2x），

令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，

可得：则函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．

故选：C．

思维升华y＝A sin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

【题型三】三角函数图象性质的应用

命题点1三角函数模型

【典型例题】

如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ 的面积大于时，∠POQ的大小范围为．

【解答】解：设∠POQ＝θ，则PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，（0＜θ）．

∴，

由，得sin2θ，

又2θ∈（0，π），∴2θ，

则θ．

∴∠POQ的大小范围为．

故答案为：．

【再练一题】

海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝nmile

【解答】解：∵△ABC中，由题意可得：

∠CAB＝120°，∠BAC＝30°，AB＝6020，

∴由正弦定理，

∴BC20，

∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，

由正弦定理可得：，

可得：BD10，

∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝（10）2+（20）2﹣2×1020cos45°，

∴解得：CD＝10．

即目标C、D之间的距离为10．