中考数学复习指导 例说辅助圆的作用(2021学年)

江苏省苏州市20１7年中考数学复习指导例说辅助圆的作用
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例说辅助圆的作用
有些问题乍看与圆没有什么联系,解答时添加辅助圆却能使问题方便获解．
一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角
例1 (2０14年河南）已知在正方形ABCD
中，CD =，若点P 满足1PD =，且90BPD ∠=︒，求点A 到BP 的距离。

解 ＰD=１，90BPD ∠=︒,BP ∴是以点D 为圆心以1为半径的⊙D 的切线,点P 为切点， BP PD ∴⊥，2BD =,
Rt BPD 中,
BP ==
作AM BP ⊥于M ,则AM 即为点A 到BP 的距离。

第一种情况:如图1,当BP 与正方形的边AD 的交点为N 时。

设AN x =，BN y =,
则DN x =
，PN y =.
Rt ANB
Rt PND , AN BN AB PN DN PD
∴==。

1==,
解得2
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在Rt ABN 中, 2312
AB AN x AM BN y -===，
第二种情况：如图2,当BP 与正方形的边CD 的交点为N 时.
设BN x =,CN y =,
则PN x =
,DN y =,
Rt BCN
Rt DPN ， BN CN BC DN PN PD
∴==.
1==，
解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 容易得到Rt ABM
Rt BNC AM AB BC BN ∴=,
x =。

AM ∴=
二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角
例 2 (201４年广州)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -,(4,0)B ,抛物线 22y ax bx =+-(0)a ≠过点A ，B ,顶点为C ,点(,)P m n (0)n <为抛线上一点，当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围。

解 把(1,0)A -,(4,0)B 分别代入22y ax bx =+-,得
0201642a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得123
2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线的解析式为213222
y x x =-- 如图３,设AB 中点为M ，由A 、B 两点坐标得点M 坐标为3(,0)2
∵抛物线与y 轴交于点(0,2)D -，连结DM ,AD ,BD
则在Rt ODM 中
52
DM AM BM ==== ∴点D 在AB 为直径的⊙M 上,这时90ADB ∠=︒
根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点D 关于直线32
x =
的对称点(3,2)E -,也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=︒ ∵点(,)P m n 在抛物线上,
∴当APB ∠为钝角时,m 的取值范围是10m -<<,或34m <<.
三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆
例３ （2０1６年徐州）如图4,正方形ABCD 的边长为2,点E 、F 分别在边AD 、CD 上,若45EBF ∠=︒，则EDF 的周长等于
解 如图4,以点B 为圆心以正方形的边AB 为半径画圆B ,则边AD 和CD 与圆B 分别相切于点A 和C 。

作圆B 的切线'FE ,交边AD 于'E ，和圆B 相切于点'A ,连结'BE 、'BA ，
则'BA BA =，'''A E AE =
又''BE BE =
'''BA E BAE ∴≅
'''A BE ABE ∴∠=∠
同理可得'A BF CBF ∠=∠
1''''452
A BE A BF ABE CBF ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即'45E BF ∠=︒
而45EBF ∠=︒
'E BF EBF ∴∠=∠
∵射线'BE 和BE 在射线BF 的同侧，
∴'BE 和BE 重合
∴点'E 和E 重合
∴EF 与'E F 重合
∴圆B 是EDF 的旁切圆
∴EDF 的周长等于24CD =.
四、所求线段作为辅助回的弦或者直径
例４ （2０１4年南通)矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，E 为AB 上一点,1AE =,M 是AD
上一动点,直线EM 与直线CD 交于点F ，MC EM ⊥，求线段MC 的长.
解 如图5 在Rt BCE 中
EC ==取EC 中点O ，作OH AD ⊥，垂足为H , 则1312222
AE CD OH EC ++===< 作Rt BCE 的外接圆O ,且与AD 交于N ，M 两点（O 与AD 距离小于半径）。

而1
2
OM ON EC ===
1HM HN ∴====
∴在直角梯形OCDH 中,
1DH ==
211DM DH HM ∴=-=-=
213DN DH HN =+=+=
由于CM 和CN 都与EF 垂直,且点M ，N 都在线段AD 上,所以DM ，DN 都符合题意。

在Rt CDM 中,得
MC ==在Rt CDN 中,得
NC === 故MC 或
例5 （20１4年济南)如图6,抛物线233162
y x x =-+过x 轴上点A ,顶点为B ，对称轴与x
轴相交于点C ，直线AB 与y 轴相交于点P ,点M 为线段OA 上的动点,PMN ∠为直角,边MN 与AP 相交于点N 。

设OM t =，试探究:t 为何值时线段PN 的长度最小,最小长度是多少.
解 由抛物线的解析式得,顶点B 的坐标为(4,3)，(8,0)A . BC 是对称轴,C 是OA 的中点,
B ∴是PA 的中点,
26OP BC ∴==．
如图6，以PN 为直径作⊙K ,当⊙K 与x 轴相切时PN 的值最小(此时点M 是切点), 否则当⊙K 与x 相离时PMN ∠就成了锐角不合题意;当⊙K 与x 轴相交时,有PMN ∠为直角但PN 不是最小.
由8OA =,6OP =,得10AP =。

连结KM ，则KM OA ⊥,
AMK AOP ∴，KM AK PO AP
∴= 即KM AP KM PO AP
-= 亦即10610
KM KM -=。

154
KM ∴= 即⊙K 的半径为154 15251044
AK ∴=-=
5AM ==
3
OM
∴=,即3
t=时PN的长度最小,PN的最小值为15 2 .
由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用,如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用。

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