三力平衡问题的解决方法

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第12讲三力平衡问题的解决方法
一、三力平衡条件
1. 任意两个力的合力跟第三个力_________（合成法）；
2. 将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的两个分力必定跟另外两个力_________ (分解法)；
3. 若三个力共面不平行，则三个力必_______ (“三力汇交”原理)；
二、平衡情景静态平衡、动态平衡、准静态平衡
三、三力平衡问题的解决方法1. 平行四边形定则2. 正交分解
3. 三角形定则：将两分力F1、F2首尾相连(有箭头的叫尾、无箭头的叫首)，则合力F就是由F1的首端指向F2的尾端的有向线段所表示的力。

4. 封闭矢量三角形
=三个力合力为零，则其必组成一个封闭的矢量三角形．（首尾相连）5. 勾股定理、余弦定理、正弦定理、拉密定理⑴勾股定理：F
=⑵余弦定理：F
αF1sinαF1sin
2F1F2cos(180-F2+F1
2
2
F2+F1
22
)α-
=⑶正弦定理：
βF2sinβF2sin
=
γF3sinγF3sin
==⑷拉密定理：
6. 矢量三角形和几何结构三角形相似
思考与练习：
1．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，这三个力的大小和方向刚好构成三角形，则这个物体所受的合力是( 答案：D ) A．2F1 B．F2 C．F3 D．2F3
解析：由力的三角形法则可知：力F1和F2的合力为F3，与另一个力F3大小相等，方向相同，所以力F1、F2、F3的合力为2F3，故选项D正确．此题如果将力F3改为反向，则F1、F2、F3的合力为零，表示三力的有向线段顺次首尾相接．
2．如图，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆(即：杆在O端所受的力沿杆OC方向)．转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，∠AOB＝90°，∠COD＝60°.若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力为( 答案：D )
A．mg
B.
1
mg C.mg 36
mg 6
解析：如图甲，对O点，绳AO、BO对O点的拉力的合力为T2，则T2＝
36
；如图乙，则绳AO所受的拉力为. 36
=2tg β．α．试证明：tg ααα、βα3．如图，重为G的一根均匀硬棒AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向的夹角分别为=β证明硬棒受到三个力作用平衡，则三个力的作用线必交于一点，如图1- 72所示。

AB为一根质量均匀的硬棒，所以O为AB的中点，则由几何关系可得C为BD的中点，而tan
BDAD
=α，tan
CDAD。

α2tan=β，所以tan
4．在灭火抢险的过程中，有时要借助消防车上的梯子进行救人或灭火作业，如图所示．已知消防车梯子的下端用摩擦很小的铰链固定在车上，上端靠在摩擦很小的竖直玻璃墙上．消防车静止不动，被救者沿梯子匀速向下运动的过程中，下列说法正确的是( 答案：AD ) A．铰链对梯子的作用力逐渐减小B．墙对梯子的弹力不变C．地面对车的摩擦力逐渐增大D．地面对车的弹力不变
解析：人在梯子上爬行时，将人和梯子看作一个整体，墙壁对梯子的作用力FN水平向左，人受重力G竖直向下，根据三力汇交原理，铰链对梯子的作用力F斜向上，如右图所示，当人匀速向下运动时，F与
G的夹角减小，因为人的重力G不变，所以F、FN减小，选项A正确、B错误．将人、梯子、车看作一个整体，则地面对车的摩擦力等于墙壁对梯子的作用力FN，地面对车的弹力等于车和人的重力，所以选项C 错误、D
正确
．
5．如图所示，固定的竖直大圆环半径为R，劲度系数为k的弹簧原长为L(L<2R)，其上端悬挂于大圆环最高点A，下端连接一重为G的光滑小滑环P，小滑环套在大圆环上，当小滑环P静止时，弹簧与竖直方向的夹角为多少？
解析：对小滑环受力分析如图11所示，力G与FN的合力F′与弹簧弹力F等值反向．作出力的合成矢量图后，由三角函数关系或三角形相似均可求出θ角．
F′
F′＝F＝k(2Rcosθ－L) 因FN＝G，所以有＝Gcosθ
2kLkL
解得θ＝arccos 答案：arccos
2(kR－G)2(kR－G)
6．如图，用绳AC和BC吊起一个物体，绳AC与竖直方向的夹角为60°，能承受的最大拉力为100N，绳BC与竖直方向的夹角为30°能承受的最大拉力为150N．欲使两绳都不断，物体的重力不应超过多少？
解答：C点受力分析如图所示，TA与TB关系为
=tg30⋅TB=TA
︒
3
B，
由于TA=100N，TB=150N，要使两绳子都不断，由上式可知，应以TB的最大拉
=力为限，此时物体的重力G
TBcos30
︒
10。

=
所以物体的重力不应超过173N。

7. 如图，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态．如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置．下列判断正确的是( 答案：AD )
A．B端移到B1位置时，绳子张力不变B．B端移到B2位置时，绳子张力变小
C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大D．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
解析：挂钩相当于滑轮，轻绳两端对衣服的拉力大小相等，由平行四边形定则可知：重力的反向延长线将
θd
绳子的夹角θ平分，如图5所示．设绳子长度为L，两杆之间的距离为d，由几何关系可得：sin＝B
2L
端上下移动，d和L不变，夹角不变，力不变；杆移到虚线位置，d 减小而L不变，夹角变小，力变小．8．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L的两根
固定支柱A、B(图中小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在AB的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于AB的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得绳对支柱C竖直向下的作用力为F. (1)试用L、d、F表示这时绳中的张力FT. (2)如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算绳中张力的大小．解析：(1)设C′点两边绳的张力为FT1和FT2，AB与BC′的夹角为θ，依对称性有：FT1＝FT2＝FT，由力的合成有：F＝2FTsin θ，2dF根据几何关系有：tan θ＝联立解得：FTL2d
FL
d＋因d≪L，故FT＝
44d
2
FL
(2)将d＝10 mm、F＝400 N、L＝250 mm代入FT＝解得：FT＝
2.5×103 N.
4d
9. 如图甲所示,物体m在3根细绳悬吊下处于平衡状态,现用手持绳OB的B端,使OB缓慢向上转动,且始终保持结点O的位置不动,分析OA,OB两绳中的拉力如何变化? 解析：物体始终处于平衡状态,对O点而言,受3个力作用,即OC对O点的拉力F不变,OA对O点的拉力F1
的方向不变,由平衡条件的推论可知F1与OB对O点的拉力F2的合力F′的大小和方向不变.现假设OB绳转到图乙中F′2位置,用平行四边形定则可以画出这种情况下的平行四边形,可以看到
F′,F′2末端的连线恰为F1的方向.由此可以看出，在OB绕O点转动的过程中，OA中的拉力F1变小，而OB中的拉力F2先变小后变大. 答案：OA
绳中拉力变小，
OB
绳中拉力先变小后变大。