高二精选题库 数学7-4北师大版

第7模块第4节
[知能演练]
一、选择题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
() A．异面B．相交
C．平行D．不确定
解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．
答案：C
2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是
()
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②m⊥n，m⊥β，则n∥β；
③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
A．①③B．②③
C．③④D．④
解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D
3．下列命题正确的是
() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行
B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行
C．垂直于同一直线的两个平面平行
D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直
解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．
答案：C
4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；
④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是
( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.
答案：C 二、填空题
5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.
解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393
.
答案：239
3
6．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，
Q 在CD 上，则PQ ＝________.
解析：如图所示，连接AC ，
易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .
又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a
3，
∴
PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223
a . 答案：223a
三、解答题
7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1
的中点．
(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .
解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .
(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .
8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝
6
3
a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .
解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2
－BE 2
＝
a 2
－2a 23＝3
3
a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，
∴EP ＝BE 2
EC ＝23a 2
3
3
a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AF
FB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .
证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB
綊2
3CD ，
∴EG 綊AF ，
∴四边形AFEG 为平行四边形．
∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .
[高考·模拟·预测]
1．下列命题中正确的个数是
( )
①若直线a 不在α内，则a ∥α；
②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；
③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．
答案：B
2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是
() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.
答案：B
3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是
() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．
答案：C
4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz
上，则在下列命题中，错误
．．的为
()
A．O－ABC是正三棱锥
B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角为45°
D．二面角D－OB－A为45°
解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.
答案：B
5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ ∥平面ACD ；
(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .
因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .
因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .
由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝1
2EB ＝DC ，
所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，
因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝
55
. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为
55
. [备选精题]
6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC
＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．
(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；
(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．
解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，
连接CH ，
∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴
AN NH ＝AM
MC
，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .
(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .
又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，
即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。