高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试题（模拟）
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )
A ．1292
-+-x x B ．1292
-+x x
C ．1292+--x x
D ． 1292
+-x x
2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ x
x
y cos sin = 其中在)2
,0(π
上为单调增函数的是 ( )
A ．①
B ．②
C ．①和③
D ．②和④
3.方程x x
x x x x ππ)1(121
22
-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所
有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．4
4.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18
6.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80
B ．40
C ．24
D ．-48
7.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )
A ．)2,12(--
B ．)12,2(--
C ．)12,0[-
D ．)12,0(-
8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则min
max
S S 的值为 ( ) A ．
2
3 B ．
2
6 C ．
3
3
2 D ．
3
6
2 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )
A ．x<y<z
B ．y<z<x
C ．z<x<y
D ． z<y<x
10.如果一元二次方程09)3(22
2
=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )
A ．
18
1 B ．
9
1 C ．
6
1 D ．
18
13 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
11.设P 是椭圆
19
162
2=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.
12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.
13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为
35
34
，则n=__________.
14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.
三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}
})]([|{x x f f x B ==.
(1). 求证：A ⊆B
(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.
16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？
17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 n
n
n n a a 1
11+
≥+
18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为25
7. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.
(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.
19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：
3
3arcsin
32
≤++<γβαπ
参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：
11. 25 12.
13. 4 14. 1 三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；
若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12
的实根.
由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨
⎧≥+=∆≠0
410a a 即 41
-≥a
B 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122
2
4
3
=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12
--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax
因此，要A=B ，即要方程 012
2
=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(42
22<--=∆a a a ，由此解得 4
3<
a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=2
2
，代入①有 2ax+1=0.
由此解得 a x 21-
=,再代入②得
,012141=-+a a 由此解得 4
3
=a . 故 a 的取值范围是 ]4
3
,41[-
16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：7
6
,117,129,108，且
11
712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.
由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 7
69x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -
)=123+x 7
2 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.
因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.
17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(11
11 =+=
+-+k a a
a a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=n
k k k n
k k k a a
a a n 11
111
由算术-几何平均值不等式，可得
n
n n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a a
a a a a 1
13120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知
n
n n n
n a a a 1
1
1
1
1+++
≥
，即 n
n
n n a a 1
11+
≥+
18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
因为 1|
|||18
2||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C
又 22)22(
||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,2571812
2==-a a
. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).
所以C 点的轨迹方程为
)0(116
252
2≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900
时，设其方程为
y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)116
9(83)16251(
2
222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 2
22122212516400
225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+
而由椭圆第二定义可得
25
16531144255312525161445312525161448125164502525
9
)(325)535)(535(||||222
222222
12121+
-
⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k k
k k k k k x x x x x x BN BM
只要考虑
251653114422+-
k k 的最小值，即考虑25
16531144
251612+
+
-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.
当直线MN 的倾斜角为900
时，x 1=x 2=-3,得 16)5
34(
||||2
>=⋅BN BM 但
)0(116
252
2≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.
19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2
,0(π
γ∈
所以 )cos()cos()2cos 2(cos 2
1
sin sin 1sin 2
2
2
γβγβγβγβα-+=+=
--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2
[sin )(cos sin 2
2
2
γβπ
γβα+-=+>
当2
π
γβ≥+时，2
π
γβα>++.
当2
π
γβ<
+时，)(2
γβπ
α+->
，同样有 2
π
γβα>
++
故 2
π
γβα>
++
另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 3
3
sin ,33sin ≤
≥
γα 令 βγα2211sin )3
3
(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin
12212
=++γβα
)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=
因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+
如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin
时，α+β+γ取最大值 33
3arcsin . 综上可知，
3
3
arcsin
32
≤++<γβαπ。