2019年全国Ⅰ卷(乙卷)高考模拟数学试题(一)含答案及评分标准

2019年全国Ⅰ卷（乙卷）高考模拟数学试题（一）
共150分，时长120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}12|{},1|{>=<=x x N x x M ，则=
A.φ
B.}0|{<x x
C. }1|{<x x
D. }10|{<<x x
2．命题“x e R x x
>∈∀,”的否定是
A ．x e R x x
<∈∃, B ．x e R x x
<∈∀, C ．x e R x x
≤∈∀, D ．x e R x x
≤∈∃,
3. 已知等差数列b a ,,1，等比数列5,2,3++b a ，则该等差数列的公差为 A ．3或3-
B ．3或1-
C ．3
D ．3-
4.已知函数⎩⎨⎧≤>=0
,30,log )(4x x x x f x ，则=)]161
([f f
A. 9
B.
91 C.9- D.91
- 5. 已知圆的方程为086=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC
和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A.610
B. 620
C. 630
D. 640
6.已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A ．2 B. 22 C ．3 D. 32
8.已知函数)(2)()(2
b a ab x b a x x f <+++-=的两个 零点为)(,βαβα<，则实数βα,,,b a 的大小关系是
（7题图）
A.b a <<<βα
B.b a <<<βα
C.βα<<<b a
D.βα<<<b a
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知1||=a ρ，2||=b ρ，向量a ρ与b ρ的夹角为ο
60，则=+||b a ρρ .
10. 若复数i m m m z )1()2(2
+++-=（为虚数单位）为纯虚数， 其中m R ∈，则=m .
11. 执行如图的程序框图，如果输入6=p ，则输出的
.
12.在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <. 若6
,32,2π
===A c a ，则角=C .
13. 设
满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ，若2
24y x z +=，则z 的取值范围是
.
14. 已知定义在正整数集上的函数)(n f 满足以下条件：
（1）()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；（2）6)3(=f . 则=)2013(f .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知
.
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6
,
0[π
∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．
16.（本小题满分14分）
如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，ο60=∠ABC ，PA ⊥底面ABCD ，
2==AB PA ，E 为PA 的中点.
(Ⅰ)求证：//PC 平面EBD ；
（Ⅱ）求三棱锥PAD C -的体积PAD C V -；
（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点M ，满足⊥PC 平面MBD ， 若存在，求PM 的长；若不存在，说明理由. 17. （本小题满分13分）
某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示．
（Ⅰ）分别求出y x b a ,,,的值；
（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 18. （本小题满分13分） 已知函数ax x x a x f ++
-=2
22
1ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性. 19. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为
2
1.过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.过定点)3,0(M 的直线1l 与椭圆
C 交于H G ,两点（点G 在点H M ,之间）.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线1l 的斜率0>k ，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PG 、PH 为邻边
的平行四边形为菱形.如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
20. （本小题满分13分）
A 是由定义在
上且满足如下条件的函数组成的集合：
(1)对任意，都有
；
(2)存在常数
，使得对任意的
，都有-)2(|1x ϕ|)2(2x ϕ
||21x x L -≤.
(Ⅰ)设，证明：
；
(Ⅱ)设，如果存在
，使得
，那么这样的
是唯一的.
答案）
一、选择题：)0485('=⨯' D D C B B A D A 二、填空题：)0365('=⨯' 9. 7 10. 2 11. 32
31 12. ο120 13. ]253
,54[ 14. 2027091
三、解答题：
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）12cos 2sin 3)(-+=x x x f 1)6
2sin(2-+=π
x …………4分
Θππ
==2
2T ，)(x f ∴最小正周期为π. …………5分 由ππ
π
ππ
k x k 226222+≤
+
≤+-
)(Z k ∈，得 …………6分
ππ
ππk x k 23
2232+≤≤+- …………7分 ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
6
3
…………8分
)(x f ∴单调递增区间为)](6
,
3
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
. …………9分
（Ⅱ）当]6
,
0[π
∈x 时，]2
,6[62π
ππ
∈+
x ， …………10分 )(x f ∴在区间]6
,0[π
单调递增， …………11分
0)0()]([min ==∴f x f ，对应的x 的取值为0. …………13分
16.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：设AC 、BD 相交于点F ，连结EF ， 底面ABCD 为菱形，F ∴为AC 的中点，
又ΘE 为PA 的中点，PC EF //∴. (3)
又Θ⊄EF 平面EBD ，⊂PC 平面EBD ，
∴//PC 平面EBD . …………5分
（Ⅱ）解：因为底面ABCD 为菱形，ο60=∠ABC ，所以ACD ∆是边长为2正三角形， 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA 为三棱锥ACD P -的高，
∴PAD C V -3
3
2224331312=⨯⨯⨯
=⋅==∆-PA S V ACD ACD P . …………8分
（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，所以BD PA ⊥， 又
底面ABCD 为菱形，BD AC ⊥∴，
A AC PA =I ，⊂PA 平面PAC ，⊂AC 平面PAC ，
⊥∴BD 平面PAC ，PC BD ⊥∴. …………10分
在PBC ∆内，易求22==PC PB ，2=BC ， 在平面PBC 内，作PC BM ⊥，垂足为M ， 设x PM =，则有22)22(48x x --=-，解得222
2
3<=
x . …………12分 连结MD ，BD PC ⊥Θ，PC BM ⊥，B BD BM =I ，⊂BM 平面BDM ，
⊂BD 平面BDM ，⊥∴PC 平面BDM .
所以满足条件的点M 存在，此时PM 的长为2
2
3. …………14分
D
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）第1组人数105.05=÷， 所以1001.010=÷=n ， …………1分 第2组人数202.0100=⨯，所以189.020=⨯=a ， …………2分 第3组人数303.0100=⨯，所以9.03027=÷=x ， …………3分 第4组人数2525.0100=⨯，所以936.025=⨯=b …………4分 第5组人数1515.0100=⨯，所以2.0153=÷=y . …………5分 （Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为1:3:29:27:18=，所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，人. …………8分
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为21,a a ，第3组的记为321,,b b b ，第4组的记为c ， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：
),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ， ),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ， ),(21b b ，),(31b b ，),(1c b ， ),(32b b ，),(2c b ，
),(3c b .
…………10分
其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：
),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ， ),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a .
…………12分 故所求概率为5
3
159=.
…………13分
18. （本小题满分13分）
解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，a x x
a x f ++-='2
2)(. …………2分 (Ⅰ) 当1=a 时，2
3
)1(=
f ，0112)1(=++-='f ，
所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程为2
3
=
y . …………5分 （Ⅱ）x
a x a x x a ax x x f )
)(2(2)(22-+=
-+='，
…………6分
（1）当0=a 时，0)(>='x x f ，)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增，……7分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=（舍去），a x =2， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：
此时，)(x f 在区间),0(a 单调递减，在区间),(+∞a 上单调递增； …………10分 （3）当0<a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=，a x =2（舍去）， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：
此时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减，在区间),2(+∞-a 上单调递增.………13分
19. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b
y a x ，离心率21
==a c e ，
2ABF ∆的周长为||||21AF AF +84||||21==++a AF AF ， …………1分
解得1,2==c a ，则3222=-=c a b ， …………2分
所以椭圆的方程为13
42
2=+y x . …………3分 （Ⅱ）直线1l 的方程为)0(3>+=k kx y ，
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+31342
2kx y y x ，消去y 并整理得02424)43(2
2=+++kx x k （*）……5分 0)43(244)24(22>+⨯⨯-=∆k k ，解得2
6
>
k ， …………6分 设椭圆的弦GH 的中点为),(00y x N ，则“在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以
PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得1l PN ⊥”. …………8分
设),(11y x G ，),(22y x H ，由韦达定理得，=+21x x 2
4324k k
+-，……9分
所以=
0x 221x x +24312k k +-=， ∴=+=300kx y 2
439
k
+= …………10分 ∴)439
,4312(22k k k N ++-
，)
43(1292k m k k PN
++-=， 所以，1)
43(1292-=⋅++-
k k m k ，解得)26
(4332>+-=k k k m .………12分
>++-=
'22)43()32)(32(3)(k k k k m 0)
43()
32)(36(32
2>++-k k ，所以， 函数)26(4332
>+-
=k k
k m 在定义域),26(+∞单调递增，66
)26(-=m ， 所以满足条件的点)0,(m P 存在，m 的取值范围为),6
6
(+∞-. …………14分 20. （本小题满分13分） 解：(Ⅰ)对任意
，
，
，
，所以
对任意的
， ，
，
所以0＜，
令＝，，
所以. …………8分
(Ⅱ)反证法:设存在两个使得，则
由，得，所以，矛盾，故结论成立. …………13分。