2019-2020学年新人教B版必修一 基本不等式及其应用 课件(65张)

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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
解析 当x>2时，x－2>0，
f(x)＝(x－2)＋ 1 ＋2≥2 x－2
x－2× 1 ＋2＝4， x－2
当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)， 即x＝3时取等号， 即当f(x)取得最小值时，x＝3， 即a＝3.
∴a＋4 1＋b＋1 c＝13·(a＋1＋b＋c)·a＋4 1＋b＋1 c
＝135＋4ab＋＋1c＋ab＋＋1c≥13(5＋4)＝3.
当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立.
(2)(2018·苏北四市考试)已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则2x＋1 y2＋ x－42y2的最小值是_35__.
则 ab 的最小值是__9_.
核心素养之数学建模
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
利用基本不等式求解实际问题
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学 的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问 题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改 进模型，最终解决实际问题.
(3)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，则3x＋y－1 3的最小值为_8__. 解析 由已知得，x＝y＋3 3， 又 0<x<12，可得 y>3， ∴3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8，
当且仅当 y＝4x＝37时，3x＋y－1 3min＝8.
(2)函数 y＝x2＋2(x>1)的最小值为_2___3_＋__2_. x－1
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
x2＋2 x2－2x＋1＋2x－2＋3
∴y＝ ＝
x－1
x－1
x－12＋2x－1＋3 ＝
x－1
＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2.
当且仅当 x－1＝ 3 ， x－1
即 x＝ 3＋1 时，等号成立.
跟踪训练2 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费 为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之 和最小，则x的值是__3_0_. 解析 一年的总运费为 6×60x0＝3 6x00(万元). 一年的总存储费用为4x万元. 总运费与总存储费用的和为3 6x00＋4x万元. 因为3 6x00＋4x≥2 3 6x00·4x＝240， 当且仅当3 6x00＝4x，即 x＝30 时取得等号， 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该 厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)， 如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品 的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入 两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
a＋b2
(3)ab≤____2___(a，b∈R).
a2＋b2 a＋b2 (4) 2 ≥___2___ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.算术平均数与几何平均数
a＋b
Hale Waihona Puke 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为___2__，几何平均数为___a_b_，基本不
思维升华
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基 本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利 用常数“1”代换的方法.
跟踪训练 1 (1)若 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小 值是__3_. 解析 ∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2， ∴a＋b＋c＋1＝3， 且a＋1>0，b＋c>0.
2 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
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3.[P89例1]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积 是_2_5_m2. 解析 设矩形的一边为x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋10－x2＝25，
000 x
≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，
当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大.
思维升华
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的 最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值 范围)内求解.
x－1
1
(3)函数 y＝
的最大值为_5__.
x＋3＋ x－1
x－1
解析 y＝
，当 x－1＝0 时，y＝0，
x－1＋4＋ x－1
当 x－1>0 时，y＝
1 x－1＋ 4
＋1≤4＋1 1＝51，
x－1
∴当且仅当 x－1＝ 4 等号成立， x－1
即 x＝5 时，ymax＝51.
命题点2 常数代换法 例 2 (1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知 x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则 x ＋y 的最小值为_3_＋__2___2_. 解析 由 x>0，y>0，得(x＋y)1x＋2y＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2，
多维探究
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 5 在△ABC 中， 点 P 满足B→P＝2P→C，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线
分别交于点 M，N，若A—M→＝mA→B，A—N→＝nA→C(m>0，n>0)，则 m＋2n 的最小值
为__3__.
命题点2 求参数值或取值范围
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 当 0<x<80 时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.
对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元；
当
x≥80
时，L(x)＝1
200－x＋10
当且仅当 y＝ 2x 时等号成立， 又1x＋2y＝1，则 x＋y≥3＋2 2， 所以 x＋y 的最小值为 3＋2 2.
(2)已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则x＋4 2＋y＋1 1的最小值为__94_. 解析 正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，
∴x＋4 2＋y＋1 1＝41[(x＋2)＋(y＋1)]x＋4 2＋y＋1 1
等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_x_＝__y_时，x＋y有最_小__值_2__p_.(简记：积
定和最小)
p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_x_＝__y_时，xy有最_大__值_4__.(简记：和
师生共研
题型二 基本不等式的实际应用
例 4 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成 本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝31x2＋10x(万元).当年产量不小于 80 千件时，C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过 市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值等于 4.( × ) (2)“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.( × ) (3)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × )
2 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
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题组三 易错自纠
4.“x>0”是“x＋
1 x
≥2成立”的_充__要__条件.(填“充分不必要”“必要不充
分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 当 x>0 时，x＋1x≥2 x·1x＝2(当且仅当 x＝1 时等号成立).
因为 x，1x同号，所以若 x＋1x≥2， 则 x>0，1x>0，所以“x>0”是“x＋1x≥2 成立”的充要条件.
a＋b (4)不等式 a2＋b2≥2ab 与 2 ≥ ab有相同的成立条件.( × ) (5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
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题组二 教材改编 2.[P88T4]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为__8_1_.
x＋y 解析 ∵x>0，y>0，∴ 2 ≥ xy， 即 xy≤x＋y2＝81，
＝145＋xy＋ ＋21＋4xy＋＋21≥145＋2
yx＋＋12·4xy＋＋21＝94，
当且仅当 x＝2y＝23时，x＋4 2＋y＋1 1min＝94.
命题点3 消元法
2a＋3b
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例 3 已知正实数 a，b 满足 a2－b＋4≤0，则 u＝ a＋b 的最小值为__5__.
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6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是__5_. 解析 由 3x＋y＝5xy，得3xx＋y y＝3y＋1x＝5，
所以 4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x ＝154＋9＋3xy＋1y2x ≥15(4＋9＋2 36)＝5， 当且仅当3xy＝1y2x，即 y＝2x＝1 时，“＝”成立， 故4x＋3y的最小值为5.
a＋b 1.基本不等式： ab≤ 2 (a≥0，b≥0) (1)基本不等式成立的条件：_a_≥__0_，__b_≥__0_. (2)等号成立的条件：当且仅当_a_＝__b_时取等号.
2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥_2_a_b_ (a，b∈R). (2)ba＋ab≥_2_ (a，b 同号).
思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从 而得参数的值或范围.
跟踪训练
3
(1)在△ABC
中，A＝6π，△ABC
的面积为
2，则 sin
2sin C C＋2sin
B＋ssiinn
B C
3 的最小值为__2__.
(2)已知函数 f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为 2， 8a＋b