虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试-初三数学

虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试
初三数学试卷
（满分 150 分，考试时间100 分钟）
2018.04考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．下列实数中，有理数是 D
A．3；B．39；C．；D．0．
2．如果关于 x 的一元二次方程x22x k 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 A
A．k1；B．k1且 k 0 ；C．k 1 ；
D．k1且 k0 .
3．如果将抛物线y x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是C
A．y x21；B．y x21；C．y( x 1)2；D．y(x1)2.
4．如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是 0.4，那么步行的频率为 B
A．0.4；B．0.36；C．0.3；
D．0.24.
人A A D 2
P E 1D
C
0 乘步骑出O E B B C
第第第5．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA<OB）边 OA、OB 上分别截取 OD、OE，使得OD=OE ；
1 DE 为半径作弧，两弧交于△
（2）分别以点 D、E 为圆心，以大于
2
AOB 内的一点 C；
（3）作射线 OC 交 AB 边于点 P．
那么小明所求作的线段 OP 是△AOB 的 C
A．一条中线；B．一条高；C．一条角平分线；D．不确定．
6．如图，在矩形 ABCD 中，点E 是 CD 的中点，联结 BE，如果AB=6，BC=4，那么分别以
AD、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是B
A．外离；B．外切；C．相交；D．内切．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置 ]
a6a2
=a4
.
7．计算：
8.某病毒的直径是 0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为6.8 10 5毫米.
9．不等式组x 1,
的解集是x1.
2x 4.
10．方程x 2 x的解为x 1．
11．已知反比例函数y 3 a
，如果当x 0时，y随自变量x的增大而x
增大，那么 a 的取值范围为 a 3．
12．请写出一个图像的对称轴为 y 轴，开口向下，且经过点（1，-2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y x2 1
等（答案不唯一）．
13.掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是
1
2
．
14.在植树节当天，某校一个班的学生分成10 个小组参加植树造
林活动，如果10 个小组植树的株数情况见下表，那么这 10 个小组植树株数的平均数是6株．
植树株
15．如果正
行边间的距离是
六边形的边长为
16．如图，
角线 AC与 BD
567
数（株）六边形的两条平
小组个23,那么这个正
343
．数2
在□ABCD 中，对相交于点 O，如果AC a ，BD b ，那么用向
量 a 、表示向量AB是11b．b
2a2
17．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，sinA= 3
，CD 为
5
AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B．如果⊙B 与中线 CD
有且只有一个公共点，那么⊙ B 的半径 r 的取值范围为
5 r
6 或 r24．
5
18．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC=8，tanB3 ，点D是AB的
2
中点，如果把△BCD 沿直
B A
D D
线 CD 翻折，使得点 B 落在同一平面内的B′处，联结 A B′，那么
A B′的长为2C第A
B C
5 ．第 18
5
A D
O
B C
第 16
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
先化简，再求值：(a 13)a24a 4
，其中a3 ．
a1 a 1
解：原式= a 2
1 3 a
2 a 1
a 1 4a 4 ( a 2)(a
2) a 1
a 1
(a 2) 2
a 2 a 2
当 a
3时, 原式=
3
2 7 4 3
3
2
20．（本题满 分 10 分）
解方程组：
x 2
4xy 4 y 2 4,
① x 2 y 6.
②
解：由① 得， x 2 y
2 或 x 2 y 2
将它们与方程 ② 分别组成方程组，得：
x 2 y
2, x 2 y 2, x 2 y
6;
x 2 y
6.
分别解这两个方程 组，
得原方程 组的解为
x 1
4, x 2 2, ． y 1
1; y 2 2.
21．（本题满 分 10 分）
如图，在△ABC 中，
4
，点F 在BC 上，AB=AF= 5，过点F 作
EF ⊥CB
sin B
5
交AC 于点 E ，且AE : EC
3: 5 ，求
BF 的长与sinC 的值．
C
B
解：过点 A 作 AD ⊥CB ，垂足为点 D
∵
4∴
3
sin B cosB
55
在 Rt△ABD 中，BD AB cosB533
5
∵AB=AF AD⊥CB∴BF=2BD=6
∵EF⊥CB AD⊥CB∴EF∥AD∴DF AE
CF EC
∵DF=BD= 3∴CF= 5 ∴CD= 8
AE:EC 3:5
在 Rt△ABD 中，AD AB sin B544
5
在 Rt△ACD 中，AC AD 2CD245
∴sin C AD5
AC5
22．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）
甲、乙两车需运输一批货物到 600 公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多 10千米，这样甲车将比乙车早到 2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了 4 小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．
（1）求甲车原计划的速度；
y（千
6B （2）如图是甲车行驶的路程 y（千米）与时间 x（小时）
的不完整函数图像，那么点 A 的坐标为
A
，
O4x
点 B 的坐标为，4小时后的y与x的函数关系式为（不要求写定义域）．解：（1）设甲车原计划的速度为 x 千米 /小时
由题意得
600
6002 x 10x
解得 x150 x260
经检验，x150 x260 都是原方程的解，但x150 不符合题意，舍去
∴x 60
答：甲车原计划的速度为 60 千米 /小时．
（2）（4，240）（12，600）
y 45 x 60
23．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是对角线 AC 上的一点，EB=ED 且∠ABE=∠ADE．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）延长 DE交 BC于点 F，交 AB的延长线于点 G，求证：
D C
E
第 23
EF AG BC BE．
（1）证明：联结 BD
∵EB=ED∴∠EBD=∠EDB
∵∠ABE=∠ADE∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
∵四边形 ABCD 是矩形∴四边形ABCD是正方形
（2）证明：∵四边形 ABCD 是矩形
∴AD∥BC∴EF EC
DE EA
同理DC EC
AG EA
∵DE=BE
∵四边形 ABCD 是正方形∴BC=DC
∴EF BC
BE AG
∴EF AG BC BE
24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题
4分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax22x c 与直线1
y x 3 分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联2
=
结 CD 交 x 轴于点 E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P 在直线 BC 上，若∠PEB= ∠BCD，求点 P 的坐标．
解：（1）由题意得 B（6，0） C（0，3）
C
把 B（6，0） C（0，3）代入y ax22x c
得0
36a12c,解得
a1
,O E
4
3 c.c 3.
D
∴y 1 x2
第2x3
4
∴D（4，-1）
（2）可得点E（3,0）
OE=OC= 3，∠OEC=45°
过点 B 作 BF⊥CD，垂足为点 F
在 Rt △OEC 中，EC
OE 3 2
cos CEO
在 Rt △BEF 中，BF BE sin BEF
3 2
2
同理， EF
3 ∴ 3 9 2 · 2
CF 32
2
2 2
2
在 Rt △CBF 中，tan BCD BF 1
CF 3
（3）设点 P （m ， 1
m 3 ）
2
∵∠PEB= ∠BCD ∴tan ∠PEB= tan ∠BCD 1
3
① 点 P 在 x 轴上方
1
3
m 1 解得 m
24 ∴ 2
m 3
3
5
∴点 P (
24, 3
) 5 5
② 点 P 在 x 轴下方
1
m 3
1 解得 m 12
∴
2
m 3
3
∴点 P (12, 3)
综上所述，点 P (
24 , 3
) 或 (12, 3)
5 5
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题4分）
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD 为半径的⊙C 与以 AB 为半径的⊙B 相交于点 E、F，且点E 在 BD 上，联结 EF 交BC 于点 G．
（1）设 BC 与⊙C 相交于点 M ，当BM=AD 时，求⊙B 的半径；
（2）设 BC= x，EF=y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BC=10 时，点P 为平面内一点，若⊙P 与⊙C 相交于点 D、E，且以 A、E、P、D 为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P 的面积．（结果
保留）
A D
E
B
M G C
F
第
（1）联结 DM
在 Rt△DCM 中，DM DC 2CM 2 5 2
∵AD∥BC BM =AD∴四边形ABMD为平行四边形∴AB= DM =5 2
即⊙B 的半径为5 2
（2）过点 C 作 CH⊥BD，垂足为点 H
在 Rt△BCD 中，BD BC 2CD 2x225
∴DBC5
sin
x2
25
可得∠DCH=∠DBC∴5
sin DCH
x2
25
25
在 Rt△DCH 中，DH DC sin DCH
x 225
∵CH⊥BD∴DE2DH50
2
x 25
∴BEx22550x225
x225x225
∵⊙C 与⊙B 相交于点 E、F∴EF=2EG BC⊥EF
5x2125
在 Rt△EBG 中，EG BE sin DBC2
x
25
y10x2250x 5 3
∴x2
）
（
25
25或(29 8 5)或 (75+30 5)（3）
4。