人教新课标版数学高一-必修一练习第二章质量检测

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b
>1，则( )
A ．a >1，b >0
B ．a >1，b <0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0 解析：∵log 2a <0，∴0<a <1.
又⎝⎛⎭⎫12b
>1，∴b <0.
答案：D
2．已知集合M ＝{0，1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x ＋1<9，x ∈Z ，则M ∩P ＝( ) A ．{－1，0}
B ．{1}
C ．{0}
D ．{0，1}
解析：∵13
<3x ＋1<9， ∴－1<x ＋1<2，∴－2<x <1,
则P ＝{－1，0}，故M ∩P ＝{0}．
答案：C
3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是( )
A ．y ＝x 23
B ．y ＝(12)x
C ．y ＝ln x
D ．y ＝x 2＋2x ＋3
解析：y ＝(12
)x 在(0，＋∞)上是减函数，故B 项不正确．y ＝ln x 与y ＝x 2＋2x ＋3都是非奇非偶函数，故C 、D 不正确．
答案：A
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.
若f (a )＝12
，则实数a ＝( ) A ．－1
B. 2 C ．－1或 2
D ．1或－ 2 解析：由log 2a ＝12
得a ＝2>0，合适； 由2a ＝12得a ＝log 212
＝－1<0，合适， 故a ＝－1或 2.
答案：C
5．某函数同时具有以下性质：①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上是减函数；③是偶函数．此函数可能是( )
A ．f (x )＝log 2|x |
B ．f (x )＝(1π)|x |
C ．f (x )＝2|x |
D ．f (x )＝x 12
解析：f (x )＝(1π
)|x |的定义域为R ， f (－x )＝(1π)|－x |＝(1π
)|x |＝f (x )， 且f (0)＝(1π
)0＝1. 当x >0时，f (x )＝(1π
)x 在(0，＋∞)以上为减函数． ∴B 满足条件．
答案：B
6．若0<a <1，且log b a <1，则( )
A ．0<b <a
B ．0<a <b
C ．0<a <b <1
D ．0<b <a 或b >1
解析：当b >1时，log b a <1＝log b b .
∴a <b ，即b >1成立．
当0<b <1时，log b a <1＝log b b ，0<b <a <1，
即0<b <a .
答案：D
7．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半.现有这种元素1克，3年后剩下( ) A ．0.015克 B ．(1－0.5%)3克
C ．0.925克 D.1000.125克
解析：设该放射性元素满足y ＝a x (a >0，且a ≠1)，
则有1
2＝a 100，得a ＝(1
2)1
100.
可得放射性元素的质量满足
y ＝[(12)1100]x ＝(1
2)x
100.
当x ＝3时，y ＝(12)3100＝100
（1
2）3＝1000.125.
答案：D
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则f [f (1
2)]的值是( )
A ．－3
B ．3
C.1
3 D ．－1
3
解析：f (1
2)＝log 212＝－1，f [f (1
2)]＝f (－1)＝3－1＝1
3.
答案：C
9．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．c >a >b
解析：a ＝70.3>1，0<b ＝0.37<1，c ＝ln 0.3<0，
∴a >b >c .
答案：A
10．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≤b ，b ， a ＞b ，
则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是(
)
解析：据题意f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，1， x >0.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f (x )＝4－x lg （x －2）
的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －2＞0，x －2≠1⇒⎩⎨⎧x ≤4，x >2，x ≠3
⇒{x |2<x ≤4，且x ≠3}．
答案：{x |2<x ≤4，且x ≠3}
12．函数f (x )＝a x －2 011＋2 011的图象一定过点P ，则P 点的坐标是________． 解析：当x －2 011＝0，即x ＝2 011时，
f (x )＝a 0＋2 011＝2 012，
∴定点P 的坐标为(2 011，2 012)．
答案：(2 011，2 012)
13．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2，4)，则f (－3)的值是________．
解析：由f (x )＝a x 的图象过点(2，4)可得a ＝2，
所以f (－3)＝18
. 答案：18
14．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则x y
＝________． 解析：lg(x －y )(x ＋2y )＝lg 2xy
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧x －y >0，
x ＋2y >0，x >0，y >0，（x －y ）（x ＋2y ）＝2xy ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x >y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0.
∴x ＝2y ，即x y
＝2. 答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)( 32×3)6＋(2×2)4
3
－(－2 012)0； (2)lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)原式＝(213×312)6＋(2×212)
1423⨯－1 ＝213⨯６×3162⨯＋2314223⨯⨯－1
＝22×33＋21－1
＝4×27＋2－1
＝109.
(2)原式＝lg 5×lg(5×4)＋(lg 2)2
＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋lg 5×lg 4＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋2lg 5×lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性．
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，
3－x >0
得－3<x <3. ∴函数f (x )的定义域为(－3，3)．
(2)由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称．
又∵f (－x )＝lg(3－x )＋lg(3＋x )＝f (x )，
∴函数f (x )为偶函数．
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －x α且f (4)＝－72
. (1)求α的值；
(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4α＝－72
，α＝1. (2)f (x )＝2x
－x 在(0，＋∞)上是减函数． 证明如下：
设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2.
f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2
－x 2) ＝(x 2－x 1)(2x 1x 2
＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2
＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2),
即f (x )＝2x
－x 在(0，＋∞)上是减函数． 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12
)x . (1)求函数f (x )的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出f (x )的单调区间．
解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，
所以f (0)＝0.
当x <0时，－x >0，
f (x )＝－f (－x )＝－(12
)－x ＝－2x . 所以函数的解析式为：
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ， x <0，
0， x ＝0，
(1
2)x ， x >0.
(2)函数图象如图所示.
通过函数的图象可以知道，
f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．。