2005年考研数学一真题及答案

2005年考研数学一真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

答案写在题中横线上）
(1)曲线y=x2
2x+1
的斜渐近线方程为。

【答案】y=1
2x−1
4
【解析】
a=lim
x→∞y
x
=lim
x→∞
x2
(2x+1)x
=
1
2
b=lim
x→∞(y−ax)=lim
x→∞
(
x2
2x+1
−
1
2
x)=lim
x→∞
−x
2(2x+1)
=−
1
4
所以斜渐近线方程为y=1
2x−1
4。

综上所述，本题正确答案是y=1
2x−1
4。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(2)微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=−1
9
的解为。

【答案】y=1
3xlnx−1
9
x
【解析】
原方程等价于y′+2y
x
=lnx 所以通解为
y=e−∫2
x dx[∫lnx∙e∫
2
x dx dx+C]=
1
x2
∙[∫x2lnx+C]
=1
3xlnx−1
9
x+C1
x2
将y(1)=−1
9
代入可得C=0
综上所述，本题正确答案是y =13
xlnx −1
9
x 。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设函数u (x,y,z )=1+
x 26
+
y 212
+
z 218
,单位向量n =
√3
{1,1,1}，则
ðu ðn |(1,2,3)
= 。

【答案】√33。

【解析】 因为 ðu ðx
=x 3,
ðu ðy =y 6,
ðu ðz =z
9
所以ðu
ðn |
(1,2,3)
=1
3∙
√3
+1
3∙
√3
+13∙
√3
=
√33
综上所述，本题正确答案是√33。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (4)设Ω是由锥面z =√x 2+y 2与半球面z =√R 2−x 2−y 2围成的空
间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∬xdydz +ydzdx +
Σ
zdxdy = 。

【答案】2π(1−√2
2
)R 3。

【解析】
∬xdydz +ydzdx +zdxdy = Σ
∭3dxdydz Ω
=
3∫ρ2dρ∫sinφdφπ
40R 0∫dθ=2π
2π(1−
√2
2
)R 3
综上所述，本题正确答案是2π(1−
√2
2
)R 3。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(5)设α1,α2,α3均为三维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3),
B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)如果|A|=1，那么|B|= 。

【答案】2。

【解析】
【方法一】
|B|=|α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3| =|α1+α2+α3,α2+3α3,α2+5α3|
=|α1+α2+α3,α2+3α3,2α3|
=2|α1+α2+α3,α2+3α3,α3|
=2|α1+α2+α3,α2,α3|=2|α1,α2,α3|=2|A|=2【方法二】
由于B=(α1,α2,α3)[111
123
149
]= A[
111
123
149
]
两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以
|B|=|A||111
123
149
|=2|A|=2
综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理
(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,⋯,X中任一个数，记
为Y,则P{Y=2}= 。

【答案】13
48。

【解析】
【方法一】
先求出(X,Y)的概率分布，因为X 是等可能的取1,2,3,4，故(X,Y)关于X 的边缘分布必有P {X =i }=1
4,i =1,2,3,4,而Y 只从1,2,⋯,X
中抽取，又是等可能抽取1,2,⋯,X 的概率为1
4X
所以P {X =i,Y =j }={0,j >i 1
,j ≤i 即：
所以P {Y =2}=1
8
+
112
+
116
=1348
【方法二】
P {Y =2}=∑P {X =i }P {Y =2|X =i }4i=1 =∑1
4P {Y =2|X =i }4i=1
=14×(0+12+13+14)=13
48
综上所述，本题正确答案是13
48。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） (7)设函数f (x )=lim n→∞
√1+|x|3n n
,则f(x)
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点 【答案】C 。

【解析】
由lim n→∞
√a 1n +a 2n +⋯+a m n n =
{a i }1≤i≤m max
(a i
>0)知
f (x )=lim n→∞
√1+|x|3n n
=ma x {1,|x |3}={
1,|x|≤1
|x |3,|x |>1
由y =f(x)的表达式和其图像可知f(x)在x =±1处不可导，在其余点均可导。

综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M ⇔N"表示M 的充分必要条件是N ，则必有
(A)F(x)是偶函数⇔ f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数⇔ f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数⇔ f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数⇔ f(x)是单调函数
【答案】A 。

【解析】 【方法一】
若F(x)是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，
若f(x)为奇函数，则∫f(t)dt x
0为偶函数，f(x)的任意一个原函数可表示为F (x )=∫f(t)dt x
0+C 则F (x )是偶函数，故应选A 。

【方法二】
排除法：取f (x )=cosx +1,F (x )=sinx +x +1，显然f (x )连续，F ′(x )=f(x),且f(x)是偶函数，周期函数。

但F (x )不是奇函数(F(0)≠0),也不是周期函数，排除B 和C 选项。

若取f (x )=x,F (x )=12x 2,排除D ，故应选A 。

综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数
(9)设函数u (x,y )=φ(x,y )+φ(x −y )+∫ψ(t)dt x+y
x−y
,其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 (A)
ð2u ðx 2
=−ð2u ðy 2
(B)
ð2u ðx 2
=
ð2u ðy 2
(C)
ð2u ðxðy
=
ð2u ðy 2
(D)
ð2u ðxðy
=
ð2u ðx 2
【答案】B 。

【解析】
ðu
ðx
=φ′(x+y)+φ′(x−y)+ψ(x+y)−ψ(x−y),
ðu
ðy
=φ′(x+y)−φ′(x−y)+ψ(x+y)+ψ(x−y)
ð2u
ðx2
=φ′′(x+y)+φ′′(x−y)+ψ′(x+y)−ψ′(x−y) ð2u
ðxðy
=φ′′(x+y)−φ′′(x−y)+ψ′(x+y)+ψ′(x−y) ð2u
ðy2
=φ′′(x+y)+φ′′(x−y)+ψ′(x+y)−ψ′(x−y)
可见有ð2u
ðx2=ð2u
ðy2
综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分
(10)设有三元方程xy−zlny+e zx=1,根据隐函数存在定理，存在
点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)
【答案】D。

【解析】
F(x,y,z)=xy−zlny+e zx−1
则F′x=y+e zx z ,F′y=x−z
y
,F′z=−lny+e zx x 且F′x(0,1,1)=2,F′y(0,1,1)=−1,F′z(0,1,1)=0
由此可确定的隐函数为x=x(y,z)和y=y(x,z)
综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法 (11)设λ1,λ2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是 (A) λ1≠0 (B) λ2≠0 (C) λ1=0 (D) λ2=0 【答案】B 。

【解析】 【方法一】
设k 1α1+k 2 A (α1+α2)=0
即有(k 1+k 2λ1)α1+k 2λ2α2=0 ①
由于特征值不同特征向量线性无关，所以α1,α2线性无关，由①可得
{
k 1+k 2λ1=0
k 2λ2=0
α1,A(α1+α2)线性无关⇔{k 1=0k 2=0⇔(2)只有零解⇔|1λ1
0λ2|≠
0⇔λ2≠0 【方法二】
因为(α1,A(α1+α2))=(α1,λ1α1+λ2α2)= (α1,α2)[1λ1
0λ2
] 那么α1,A(α1+α2)线性无关⇔r(α1,A (α1+α2)=2 由于α1,α2线性无关，则
α1,A(α1+α2)线性无关⇔r [1λ1
0λ2
]=2⇔λ2≠0
综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
(12)设A 为n(n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, A ∗,B ∗分别为A,B 的伴随矩阵，则 (A)交换A ∗的第一列和第二列得B ∗ (B)交换A ∗的第一行和第二行得B ∗ (C)交换A ∗的第一列和第二列得−B ∗ (D)交换A ∗的第一行和第二行得−B ∗ 【答案】C 。

【解析】
设A 为3阶矩阵，因为A 作初等行变换得到B ，所以有 [0101000
01]A =B ⇒ B −1=A −1[01010000
1]−1=A −1[010
10000
1
] 从而B ∗|B|=A ∗
|A|
[010
100001
]
又因为|A |=−|B|,故A ∗[010
100001]=B ∗
即交换A ∗的第一列和第二列得−B ∗ 综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
已知随机事件{X=0}和{X+Y=1}相互独立，则
(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1
(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4
【答案】B。

【解析】
由独立性可知
P{X=0，X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}
P{X=0，X+Y=1}=a
P{X=0}=0.4+a
P{X+Y=1}=a+b
已知0.4+a+b+0.1=1⇒a+b=0.5
所以有0.5(0.4+a)=a⟹a=0.4 b=0.1
综上所述，本题正确答案是B。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性
(14)设X1,X2,⋯,X n(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为
样本均值，S2为样本方差，则
(A)nX~ N(0,1) (B)nS2~χ2(n)
(C)(n−1)X
S ~t(n−1)(D)(n−1)X12
∑X i2
n
i=2
~F(1,n−1)
【答案】D 。

【解析】
X 12~χ2(1),∑X i 2n i=2~χ2(n −1)且X 12与∑X i 2n i=2相互独立，因此
X 12
∑X i 2n i=2/(n −1)=(n −1)X 12∑X i
2n i=2~F (1,n −1) 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—简单随机样本，统计量，样本均值，χ2分布，t 分布，F 分布
三、解答题（本题共9小题，满分94分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） (15)（本题满分11分）
设D ={(x,y)|x 2+y 2≤√2,x ≥0,y ≥0}，[1+x 2+y 2]表示不超过1+x 2
+y 2
的最大整数。

计算二重积分∬xy[1+x 2+
D
y 2]dxdy 【解析】
令D 1={(x,y )|0≤x 2+y 2≤1,x ≥0,y ≥0},
D 2={(x,y )|1≤x 2+y 2≤√2,x ≥0,y ≥0}
则∬xy[1+x 2+y 2
]dxdy
D
=
∬xydxdy
D 1
+
∬2xydxdy
D 2
=
∫sinθcosθdθπ2
0∫r 3
dr 10+2∫sinθcosθdθπ2
0∫r 3
dr √2
4
=14
+18
=3
8
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 (16)（本题满分12分）
求幂级数∑(−1)
n−1
(1+1n(2n−1)
)x 2n ∞n=1的收敛区间与和函数f(x)
【解析】 因为lim
n→∞(n+1)(2n+1)+1(n+1)(2n+1)
∙
n (2n−1)n (2n−1)+1
=1
所以当x 2<1时，原级数绝对收敛，当x 2>1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(−1,1)
记S (x )=∑(−1)
n−112n(2n−1)
x 2n ∞n=1,x ∈(−1,1)
则S′(x )=∑(−1)
n−11(2n−1)
x 2n−1∞n=1,x ∈(−1,1)
S ′′(x )=∑(−1)
n−1x 2n−2∞n=1=11+x 2
,x ∈(−1,1)
由于S (0)=0,S′(0)=0
所以S ′(x )=∫S ′′(t )dt x
0=∫11+t 2
dt x
=arctanx
S (x )=∫S ′(t )dt x
0=∫arctanxdt x
0=xarctanx −12
ln (1+x 2) 又∑(−1)
n−1x 2n ∞n=1=
x 21+x 2,x ∈(−1,1)
从而f (x )=2S (x )+x 2
1+x 2
=2xarctanx −l n (1+x 2)
+
x 21+x 2
,x ∈
(−1,1)
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式 (17)（本题满分11分）
如图曲线C 的方程为y =f (x ),点(3,2)是它的一个拐点，直线L 1与L 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点(2,4)设函数
f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫(x 2+x)f′′′(x)dx 3
【解析】
由点(3,2)是曲线f (x )的拐点知f ′′(3)=0。

由于直线L 1与L 2分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，由图易得，直线L 1与L 2的斜率分别为2和-2知，f ′(0)=2,f ′(3)=−2 且由图易得f (0)=0,f (3)=2则
∫(x 2+x )f ′′′(x )dx 3
0=∫(x 2+x )df ′′(x )3
0 =(x 2
+x)f′′(x)|03−∫(2x +1)f′′(x)dx 3
=−∫(2x +1)df ′(x )3
0=−(2x +1)f ′(x )|03+2∫f ′(x )dx 3
=−[7∙(−2)−2]+2f (x )|03=16+2(2−0)=20
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 (18)（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0,1]连续，在(0,1)内可导，且f (0)=0,f (1)=1证明：
(I)存在ξϵ(0,1)，使得f (ξ)=1−ξ；
(II)存在两个不同的点η,ζϵ(0,1),使得f ′(η)f ′(ζ)=1 【解析】
(I)令F (x )=f (x )−1+x,x ∈[0,1],由题设知，F(x)在[0,1]上连续，又
F (0)=f (0)−1=−1<0,F (1)=f (1)=1>0
由连续函数的零点定理知，存在ξϵ(0,1)，使得F (ξ)=0 即 f (ξ)=1−ξ
(II)在区间[0,ξ]和[ξ,1]上分别对f(x)用拉格朗日中值定理得
f (ξ)−f(0)
ξ=f ′(η) η∈(0,ξ)
f (1)−f(ξ)
1−ξ
=f ′(ζ) ζ∈(ξ,1)
此时，f ′(
η)f ′(
ζ)=
f (ξ)−f(0)ξ
∙
f (1)−f (ξ)
1−ξ
=
f (ξ)1−ξ
∙
1−f (ξ)ξ
=1
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理 (19)（本题满分12分）
设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
线L 上，曲线积分∮φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
L 的值恒为同一常数 (I)证明：对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C 有∮φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
C
=0；
(II)求函数φ(y)的表达式。

【解析】
(I)如图，将C 分解成：C =l 1+l 2,另作一条曲线l 3围绕原点且与C 相连，则
∮φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
C
=∮φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
l
1+l 3
−∮φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
l
2+l 3
=0
(II)设P =
φ(y )2x 2+y
4
,Q =2xy 2x 2+y 4
,P,Q 在单连通区域x >0内具有一
阶连续偏导数，由（I ）知，曲线积分∫φ(y )dx+2xydy
2x 2+y 4
L 在该区域内
与路径无关，故当x >0时，总有
ðQ ðx =ðP
ðy
而
ðQ ðx
=
2y (2x 2+y 4)−4x∙2xy
(2x 2+y 4)2=
−4x 2y+2y 5(2x 2+y 4)2
①
ðP ðy =
φ′(y )(2x 2+y 4)−4y 3φ(y )
(2x 2+y 4)2
=
2x 2φ′(y )+y 4φ′(y )−4y 3φ(y )
(2x 2+y 4)2
②
比较①，②式的右端得：
{φ′(y )=−2y
y 4
φ′(y )−4y 3φ(y )=2y 5
可得 φ(y )=−y 2
【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件
(20)已知二次型f (x 1,x 2,x 3)=(1−a )x 12+(1−a )x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2 (I)求a 的值；
(II)求正交变换x =Qy,将f (x 1,x 2,x 3)化为标准形； (III)求方程f (x 1,x 2,x 3)=0的解 【解析】
(I)二次型矩阵A =[1−a
1+a 0
1+a
1−a 00
02]，由于二次型的秩为2，即r (A )=2,所以有|A |=2|1−a 1+a
1+a 1−a |=−8a =0
得a =0
(II)
(III)当a =0时，由|λE −A |=|λ−1−1
−1λ−1
000λ−2
|=λ(λ−2)2=0
得矩阵A 的特征值是2,2,0。

对于λ=2，由(2E −A )x =0,[1−1
0−11
0000]→[1−10
000000
]
得特征向量α1=(1,1,0)T ,α2=(0,0,1)T 对λ=0，由(0E −A )x =0,[−1−10−1−1000−2]→[1
100
01000
] 得特征向量α3=(1,−1,0)T
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有 r 1=√2
(1,1,0)T ,r 2=(0,0,1)T ,r 3=
√2
(1,−1,0)T
令Q =(r 1,r 2,r 3)=
[√2
0√2√2
0√2
01
],那么经过正交变换x =Qy,有
f (x 1,x 2,x 3)=2y 12+2y 22， (IV)【方法一】
由（II ）知，在正交变换x =Qy 下，f (x 1,x 2,x 3)=0化为2y 12+
2y 22=0，解得y 1=0，y 2=0，y 3=t(t 为任意实数)，从而
x =Q [00t ]=(r 1,r 2,r 3)[0
0t
]=tr 3=t(1,−1,0)T
即方程f (x 1,x 2,x 3)=0的解是k(1,−1,0)T ,k 为任意常数。

【方法二】
由于f (x 1,x 2,x 3)=x 12+x 22+2x 32+2x 1x 2=(x 1+x 2)2+2x 32=0所以
{
x 1+x 2=0
x 3=0
其通解为x =k(1,−1,0)T ,其中k 为任意常数。

【考点】线性代数—二次型—用正交变换和配方法化二次型为标准形
(21)（本题满分9分）
已知三阶矩阵A 的第一行是(a,b,c)不全为零，矩阵B =[123
24636k ](k 为常数)，且AB =0，求线性方程组Ax =0的通解。

【解析】
由AB =0，知r (A )+r (B )≤3,又A ≠0,B ≠0,故1≤r (A )≤2,1≤r (B )≤2
当k ≠9时，必有r (B )=2，此时r (A )=1由于n −r (A )=3−1=2,又因为AB =0，B 的列向量是Ax =0的解。

故Ax =0的通解为：k 1(1,2,3)T +k 2(3,6,k)T , k 1,k 2是任意常数； 当k =9时，则r (B )=1。

此时r (A )=1或2。

若r (A )=2，则n −r (A )=1。

Ax =0的通解为k (1,2,3)T ； 若r (A )=1，
则Ax =0与ax +by +cz =0同解，由n −r (A )=2，设a ≠0,那么Ax =0的通解为k 1(−b,a,0)T +k 2(−c,0,a)T , k 1,k 2是任意常数 【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系和通解 (22)（本题满分9分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f (x,y )={1,0<x <1,0<y <2x
0,其他
(I)求(X,Y)的边缘概率密度f X (x ),f Y (y)； (II)Z =2X −Y 的概率密度f Z (z )。

【解析】 (I)f X (x )=
∫f (x,y )dy +∞
−∞
={
∫dy 2x
,0<x <10,其他
={2x,0<x <1
0，其他
f Y (y )=∫f (x,y )dx +∞−∞
={∫dx 1
y 2,0<y <20,其他
={1−y
2,0<y <20,其他 (II)当z ≤0时，F Z (z )=0；
当0<z <2时，F Z (z )=P {2X −Y ≤z }=∬f (x,y )dxdy
2x−y≤z
=1−∬f(x,y)dxdy
2x−y>z =1−∫dx
1
y
2
∫dy
2x−z
=z−
z2
4
当z≥2时，F Z(z)=1
所以f Z(z)={1−z
2
,0<z<2
0,其他
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度
(23)（本题满分9分）
设X1,X2,⋯X n(n>2)是来自总体N(0,1)的简单随机样本，X是样本均值，记Y i=X i−X,i=1,2,⋯,n
(I)求Y i的方差D(Y i),i=1,2,⋯,n；
(II)Y1与Y n的协方差Cov(Y1,Y n)。

【解析】
(I)D(Y i)=D(X i−X)=D[(1−1
n )X i−1
n
∑X j
n
j=1
j≠i
]
=(1−1
n )
2
D(X i)+1
n2
∑D(X j)
n
j=1
j≠i
=(n−1)2
n2+n−1
n2
=n−1
n
i=1,2,⋯,n
(II)Cov(Y1,Y n)=E[Y1−E(Y1)][Y n−E(Y n)]=E(Y1Y n) =E(X1−X)(X n−X)=E(X1X n−X1X−X n X+X2) =E(X1X n)−E(X1X)−E(X n X)+E(X2)
=E(X1)E(X n)−2E(X1X)+D(X)+[E(X)]2
=0−2×1
n
E(X12+∑X1X j
n
j=2
)+D(X)+0
=−2
n
×(1+0)+
1
n
=−
1
n
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质。