平面和平面垂直的判定

例 1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为  O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC平面 PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例 2、空间四边形ABCD中，已知 AB=3，AC=AD=2，∠ DAC= ∠ BAC= ∠ BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵ AC=AD=2 ∠ DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠ BAC= ∠ BAD=600 AB=3 A
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程
3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义
2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A
D β C
B
E
记作：
l


画法：



问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
演 稿
示 1
文
2 3 后 等
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3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面 ADC 定义法： 找二面角的平面角
D
B
O C
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．给出下列四个命题：（其中a， b表直线， α，β， γ表平面）。 ①若 a⊥ b， a∥ α，则 b⊥ α； ②若 a∥ α， α⊥ β，则 a⊥ β； ③若 β∥ γ， α∥ γ，则 α⊥β； ④若 α⊥ β， a⊥ β，则 a∥ α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。
[证明]：设α∩β =CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD， 则 ∠ABE 是二面角α-CD- β 的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴ α⊥β。
面面垂直的判定方法： 1、定义法： 2、判定定理法： 3、线面垂直法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
4、法向量垂直法