素数公式之比较 13

求素数公式公式之比较

李君池

内容提要

“李君池求素数公式”的诞生，完美地解决了“找出好的求素数公式”这一“世界难题”。虽然从古至今，在数论领域人们创造了若干个“求素数公式”，但没有一个“好的”“求素数公式”能让数论工作者用起来得心应手。为了让读者朋友深刻感受“李君池求素数公式”的出色与完美，文章列举了“埃拉托斯特尼筛法”、“素数定理”、“素数生成公式”以及“素数计算公式”等几个著名的“求素数公式”与之相比较。对于这几个人人敬仰的公式，本文没有作过多的点评，只是以展示为主，主要目的是让读者朋友们来评价“李君池求素数公式”与这几个著名公式相比较时的孰优孰劣。

关键词

李君池求素数公式埃拉托斯特尼筛法素数定理素数生成公式

素数计算公式

2000多年前{HYPERLINK "/wiki/欧几里德"|欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决。在1900年的上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。

一、李君池求素数公式

自“世界上第一个求素数公式”一文成稿之后，我查阅了很多数论中有关“求素数公式”方面的著作及相关文章，特别是在互联网上，我搜索查寻了大量的关于“求素数公式”的内容，发现：至今还没有一个“好的”“求素数公式”的出现。“李君池求素数公式”确实无愧于当今“世界上第一个求素数公式”这一称号。她的诞生能否会给整个数论领域带来变化和变革，对此，我充满了期待和自信；人们能否深刻理会、理解“李君池求素数公式”中所蕴含的、丰富的内涵，人们在数论研究中是否会逐步推广、采用、利用“李君池求素数公式”来解

决相关的数论问题，对此，我拭目以待。本人在自我可能的范围内将自身的公式与多年来所产生的一些具有代表性的“求素数公式”相比较，自我觉得：“李君池求素数公式”完美的解决了“找出求素数公式”这一“世界难题”。如果说自我评价有“王婆卖瓜自卖自夸”的嫌疑，那么，本文的写作目的就是要让读者朋友们来评价“李君池求素数公式”与其他公式相比较时的孰优孰劣。

由于“李君池求素数公式”刊载在上一个年度的文章中，很多读者朋友没能

看到前文，现在，我们将这个公式再作简略的介绍，以便于下文的比较。同时，也给没能看到那篇文章的朋友对这个公式有所了解。

公式1、李君池求素数个数公式：

在n 与T 之间素数的个数可用如下公式求得：

∑∑∑∑⨯⨯⨯⨯--=→)....;;7;5;3(2)(s l k j q p c b a n T T n ϕφ

式中：p q ≤，，当的值不是整数时，取，而3j a ⨯∑

、......、s p q ⨯∑表示在

符合要求的范围内统计乘积的个数（凡重复的数字仅保留最初出现的那一个），与乘积的大小无关。

公式2、李君池求素数数值公式：

在n 与T 之间的所有素数的数值同样可以用这一公式求得：

式中：表示之间的所有素数，表示之间的奇数，表示之间的所有奇合数。

在个奇数中，分别减去3j a ⨯∑、......、s p q ⨯∑个奇合数，即可得到n

与T 之间的所有素数。

以上这两个求素数的公式，第一个可以求出n 与T 之间所有素数的个数；第

二个可以一个不漏地写出n 与T 之间所有素数的数值。完成了这两方面的内容，这就完美地建立起了“自然数中的求素数公式”，她彻底回答了“在所有自然数列中，素数的分布并不遵循任何有规则的模式”；“素数本身的分布呈无序性变化”等一系列与素数相关的问题。由于2000多年来，人们还没有找到一个“求素数的公式”，所以，我们将以上这两个本质相同的公式统称为“世界上第一个求素数公式（李君池求素数公式）”。具体内容可以参见我的《世界上第一个求素数公式》一文，该文刊登在《新课程》2012年第12期上。

二、数论中对“求素数公式”的要求

素数是自然数中最重要的概念，是自然数的基本粒子，两千年以来，数论学家最重要的任务就是寻找一个可以产生所有素数的公式。为此，人们耗尽了巨大心血，始终没有成功。几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有素数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到

证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题。那么，人们所期待的素数公式究竟有哪些特点呢？

在维基百科上，关于素数公式，是这样描述的：“素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。由于素数的个数是的，因此一般假设输入的值是集（或集及其它可数集）。迄今为止，人们尚未找到易于计算且符合上述条件的素数公式，但对于素数公式应该具备的性质已经有了大量的了解。”（见《维基百科.素数公式》条目）

从中可以看出，对于素数公式，人们有着这样的期待：1、这个公式必须是“一种能够仅产生的公式”；2、“这个公式能够一个不漏地产生所有的素数”；3、“对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数”；4、“输入的值是集（或集及其它可数集）”；5、这个公式还必须是“易于计算且符合上述条件的”。以上这五条要求是紧密联系的、完整的、不可分割的，离开了其中的一条，则不符合人们所期待的要求。

而《李君池求素数公式》则完全符合上述五条要求。不仅如此，本人所创立的求素数公式还具备简单易学、适合于普及与推广、运用公式能解答相关的数论难题和能广泛运用于科研、生产各个领域等特点。这里，就普及与推广举一个小例子。

例：求50到100之间有多少个素数？运用“李君池求素数个数公式”，解得

这里，我们很容易就求出了50到100之间有10个素数。并且，我们还可以运用“李君池求素数数值公式”一个不漏地写出这十个素数的数值来，它们是：53 59 61 67 71 73 79 83 89 97。

当然，我们还可以举出更多较大的例子来进行验证，这里就不再列举了。

在《李君池求素数公式》诞生之前，人们求素数普遍采用的是埃拉托斯特尼创造的一种筛法。其主要内容是：

公元前300年，古希腊的埃拉托斯特尼创造了一种筛法，可以产生任意大的数以内的全部素数：要得到不大于某个自然数n的所有素数，只要在2—n中将不大于素数的倍数全部划去即可。

其筛法可以总结为：

1、如果n是合数，则它有一个因子d满足1<d≤。

2、若自然数n不能被不大于任何素数整除，则n是一个素数。（这句话本身就是一个公式。这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数）。

如果把2的汉字内容等价转换成为英语字母表示，即：

(1)

其中表示顺序素数2，3，5，....。≠0。

即n≠，，...，形。若,则n是一个素数。

我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示：

（2）