2018-2019学年山东省济南市平阴县八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（4分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）
A．a+2＜b+2B．a﹣2＜b﹣2C．＞D．﹣2a＞﹣2b
3．（4分）化简÷的结果是（）
A．B．C．D．2（x+1）
4．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣5＝0的一个根为x＝5，则另一个根是（）
A．﹣1B．4C．﹣4D．2
5．（4分）八年级（1）班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道题得0.5分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，乙：x2﹣9＝（x﹣3）2，丙：2x2﹣8x+2x＝2x（x﹣4），丁：x2+6x+5＝（x+1）（x+5）．则“奋斗组”得（）
A．0.5分B．1分C．1.5分D．2分
6．（4分）如果分式：中分子、分母的x，y同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍D．不变
7．（4分）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（）
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF C．AD＝2BF D．BE＝2CF
8．（4分）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
9．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1
10．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x 轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）
A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）
11．（4分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）
A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
12．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．1B．C．2D．+1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：4x2﹣16＝．
14．（4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．
15．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
16．（4分）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是．
17．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，对角线相交于O点，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列4个结论：①EH＝AB；②∠ABG＝∠HEC；③△ABG ≌△HEC；④CF＝BD．正确的结论是．（填序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明成演算步骤）
19．（8分）解下列不等式组：
（1）
（2）
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+12x+27＝0
（2）3x2﹣2＝5x
21．（6分）先化简（+）÷，再从1，2，3这三个数中选取一个合适的数代入求值．
22．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．
23．（8分）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
24．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
25．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
26．（12分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．
27．（12分）问题情填，
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如周1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm．
操作发现：
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是；
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H．如图4所示，连接CC'，试求CH的长度．
2018-2019学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
2．【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A错误；
（B）a﹣2＞b﹣2，故B错误；
（D）﹣2a＜﹣2b，故D错误；
故选：C．
3．【解答】解：原式＝•（x﹣1）＝，
故选：A．
4．【解答】解：设方程的另一个根为m，
则有5m＝﹣5，解得：m＝﹣1．
故选：A．
5．【解答】解：甲：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，甲符合题意；
乙：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），乙不符合题意；
丙：2x2﹣8x+2x＝2x（x﹣3），丙不符合题意；
丁：x2+6x+5＝（x+1）（x+5），丁符合题意；
则“奋斗组”得：
0.5×2＝1（分）
故选：B．
6．【解答】解：由题意可知：＝，
故选：A．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E＝∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥BE，
∴∠C＝∠CBE，
∵BE＝AB，
∴CD＝EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF＝DF，（故B成立）；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF＝BF＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
8．【解答】解：A、正确．∵∠ACB＝∠EFD＝30°，
∴AC∥DF，
∵AC＝DF，
∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．
B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD＝90°，故错误．
C、正确．B、E重合时，易证F A＝FD，∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形，
D、正确．当四边相等时，∠AFD＝60°，∠F AC＝120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．
故选：B．
9．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
10．【解答】解：∵AD′＝AD＝2，
AO＝AB＝1，
∴OD′＝＝，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选：D．
11．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，
作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），
∴旋转中心的坐标为（1，2）．
故选：B．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC•sin B＝2×＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．【解答】解：4x2﹣16，
＝4（x2﹣4），
＝4（x+2）（x﹣2）．
14．【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
∴这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
15．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为：k＜1．
16．【解答】解：方程两边都乘x﹣4，
得3﹣（x+m）＝x﹣4，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，3﹣（4+m）＝4﹣4，
m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
17．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝EB，
∴OE＝BC，
∵AE+EO＝4，
∴2AE+2EO＝8，
∴AB+BC＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故答案为：16．
18．【解答】解：①在△BCE中，
∵CE⊥BD，H为BC中点，
∴BC＝2EH，又BC＝2AB，
∴EH＝AB，正确；
②由①可知，BH＝HE，
∴∠EBH＝∠BEH，
又∠ABG+∠EBH＝∠BEH+∠HEC＝90°，
∴∠ABG＝∠HEC，正确；
③由AB＝BH，∠ABH＝90°，得∠BAG＝45°，
同理：∠DHC＝45°，
∴∠EHC＞∠DHC＝45°，
∴△ABG≌△HEC，错误；
④∠ECH＝∠CHF+∠F＝45°+∠F，又∠ECH＝∠CDE＝∠BAO，∠BAO＝∠BAH+∠HAC，
∴∠F＝∠HAC，
∴CF＝BD，正确．
正确的有三个．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明成演算步骤）
19．【解答】解：（1），
解不等式①得，x＜，
解不等式②得，x＜，
所以，不等式组的解集是x＜；
（2），
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x＞﹣1，
所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
20．【解答】解：（1）分解因式得：（x+3）（x+9）＝0，可得x+3＝0或x+9＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣9；
（2）方程整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，
分解因式得：（3x+1）（x﹣2）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝2．
21．【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝a﹣2，
∵a≠2，a≠±3，
∴当a＝1时，
原式＝1﹣2＝﹣1．
22．【解答】证明：方法1，连接BE、DF，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OF＝OE．
方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵∠ODE＝∠OBF，AE＝CF，
∴DE＝BF，
在△DOE和△BOF中，，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF．
23．【解答】解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意，列方程得：．
解得：x＝50．
经检验，x＝50是原方程的根，
当x＝50时，x+30＝80．
答：排球的单价为50元，则篮球的单价为80元．
24．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
25．【解答】解：（1）设另一个因式是（x+b），则
（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，
解得：．
则另一个因式是：x+4，k＝20．
（2）设另一个因式是（3x+m），则
（2x+a）（3x+m）＝6x2+（2m+3a）x+am＝6x2+4ax+2，
则，
解得或，
另一个因式是3x﹣1，a的值是﹣2（不合题意舍去），
故另一个因式是3x+1，a的值是2．
26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴∠B＝∠FDC，
∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD．
（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG＝BC．…（7分）
∵∠DCE＝45°，
根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG．…（8分）
∴10＝4+DG，
即DG＝6．
设AB＝x，则AE＝x﹣4，AD＝x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2+AE2，即102＝（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x＝12或x＝﹣2（舍去）．…（9分）
∴AB＝12．
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AB＝×（6+12）×12＝108．即梯形ABCD的面积为108．…（10分）
27．【解答】解：（1）在如图1中，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠AC'D，
∵∠CAC'＝∠BAC，
∴∠CAC'＝∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四边形ACEC'是平行四边形，
∵AC＝AC'，
∴▱ACEC'是菱形，
故答案为：菱形；
（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'＝90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'＝90°，
由旋转知，AC＝AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF＝C'F，
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，
∵∠CAC'＝90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，
∴BC'＝AC＝4，BD＝BC＝2，sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，BC＝2
∴CH＝BC•cos30°＝3．。