正弦定理与余弦定理学案、作业

第26课 正弦定理与余弦定理
一、目标导引
1．在ABC ∆中，已知6=c ，45A =o
，2=a ，求b 和B ，C ． 2．在ABC ∆中，已知2=b ，3c =，60A =o
，求a ． 同学们在解决以上两个问题时用到了什么知识点？
二、知识梳理
解三角形知识框架的横向沟通：正弦定理和余弦定理．
提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系． 引导学生根据数学原理研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定． 正弦定理
余弦定理
文字 语言
符号 语言
证明 方法
公式
变形
应用
过程中核心问题推进：
问题1：从公式的表达形式上看，这两者之间有什么区别和联系？
问题2：除了文字语言、符号语言，我们还能从哪些方面对数学公式（原理）进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．
问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？
问题4：除边与角外，与三角形有关的量还有哪些？三角形面积公式
已知条件
面积公式
一边和这条边上的高 两边夹角 三边
三边及内切圆半径或外接圆半径
三、问题研讨
问题1：（基本应用） 例题1：在ABC ∆中，36324
A A
B A
C π
=
==，，，点D 在BC 边上，AD BD =，
求AD 的长.
问题2：判定三角形的形状
例题2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且
2sin (2)sin (2sin )a A b c B c b C =+++．
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断△ABC 的形状．
问题3：三角形的面积
例题3：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c +--=．
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a = 2，△ABC 的面积为3，求b ，c ．
四、总结提升
组织学生回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？
提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？ 五、即时检测
1.(正弦、余弦定理)已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________.
2.（三角函数和差公式，正弦定理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
4cos 5A =
，5cos 13
C =，1a =，则b = ．
校本作业26：正弦定理与余弦定理
1．（正弦定理）在ABC ∆中，若63a =，60A =︒，6b =，则角B 的度数为（ ） A .30︒或150︒ B .30︒ C .150︒ D .45︒ 2.（余弦定理）在ABC ∆中，4π=
B ，B
C 边上的高等于BC 3
1
，则cos A = A .
31010 B .1010 C .10
10
- D .31010-
3.（三角形形状判断）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）
A .锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不确定
4．（向量的线性运算性质、正弦定理）已知O 是锐角ABC ∆的外心，2
2
tan =
A ．若AO m AC B
C
AB C B 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m （ ） A ．
33 B ．23 C ．3 D ．3
5
5.（解三角形）在ABC ∆中，23A π∠=
，c a 3=，则b
c
=_________. 6．（三角形几解问题）ABC ∆中，0
245AC B =∠=，，若ABC ∆有2解，则边长BC 的范围是 .
7.(三角函数和差公式，正弦定理)ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =
，5
cos 13C =，1a =，则b = ．
8．（正余弦定理）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径是1，且满足条件b B A C A ⋅-=-)sin (sin )sin (sin 22
2
，则ABC ∆的面积的最大值为 .
9．（正余弦定理）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
()()B a c A b -+=πcos 2cos ．
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若21=
b ，ABC ∆的面积为3，求
c a +的值．
10．(正弦定理、余弦定理)在ABC ∆中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，
C ，已知a ，b ，c 成等比数列.
（Ⅰ）若
3
3
2tan 1tan 1=
+C A ，求角B 的值； （Ⅱ）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.
11．（正弦定理、三角形面积公式）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r
．
（Ⅰ）求A 2tan 的值； （Ⅱ）若4
π
=B ，3CB CA -=u u u r u u u r
，求ABC ∆的面积S ．
12．（解三角形）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
B A
C B A sin sin sin sin sin 222+=+，)cos 1(cos C b B c -=．
（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；
（Ⅱ）在ABC ∆的边AB ，C A 上分别取D ，E 两点，使沿线段D E 折叠三角形时，顶点A 正好落在边C B 上的P 点处，设D θ∠B P =，当D A 最小时，求
D A AB
的值．
提高题：
1. （三角恒等变换、切的性质应用）在锐角三角形ABC 中，若C B A sin sin 2sin =，则C B A tan tan tan 的最小值是 .
2．（正弦、余弦定理的应用）在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，
6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C
A B
+=_______． 3．（综合应用）已知ABC ∆的面积为S ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且C sin 2，B sin ，A cos 成等比数列，23b a =，213
21822c ac ≤+≤，则
()2
419216c S a
++的最小值是 .
4.在平面四边形ABCD 中，︒
=∠=∠=∠75C B A ，则AB 的取值范围是 . 5.（三角恒等变换、正余弦定理、向量）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为
a ，
b ，
c ，且2
2cos cos sin()sin cos()2
A B
B A B B A
C ---++35=-.
（Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA uu u r 在BC uuu
r 方向上的投影.
6.（正、余弦定理应用）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC ，
P 为ABC ∆内一点，︒=∠90BPC .
（Ⅰ）若2
1
=
PB ，求PA ； （Ⅱ）若︒=∠150APB ，求PBA ∠tan .
A
B
C
P。