黑龙江省齐齐哈尔建华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

2023—2024学年度上学期期中学业考试
初三数学试题
考生注意：
1．全卷共三道大题，总分120分
2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
0C ．D ．
2．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（）A ．B ．0
C ．1
D ．2
3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，正五边形ABCDE 内接于，连接OC ，OD ，则为（）
A ．
B ．
C ．
D ．5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，依题
意可列方程为（）
1x =-20x x m ++=1-22y x =22(2)3y x =++22(2)3y x =--22(2)3y x =+-22(2)3
y x =-+O BAE COD ∠-∠60︒54︒36︒28︒
A ．
B ．
C ．
D ．6．下列命题：
①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③90°的圆周角所对的弦是直径；
④相等的圆心角所对的弦相等；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个
7．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．且
D ．且8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分的面积为（）
A ．
B
C ．
．9．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于
、B 两点，，圆心Р的坐标为，与y 轴相切于原点O ，若将沿x 轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点均在二次函数图象上，则；④关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根：⑤若是方程的两根，则方
23.7(1) 3.2x +=23.7(1) 3.2x -=23.2(1) 3.7x -=23.2(1) 3.7x +=22(2)(21)10m m x x -+++=34m >
34m ≥3
4
m >2m ≠3
4
m ≥
2m ≠AB C D '''1211-()3,0A 30BAO ∠=︒()1,0-P P P 2()0y ax bx c a =++≠()0,21x =-0abc <30a c +>()()124,,3,y y -12y y >21ax bx c ++=-()1212,x x x x <20ax bx c ++=
程的两根m ，满足其中正确结论的个数为（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．已知的直径AB 长为2，弦AC
，那么弦AC 所对的圆心角的度数等于________．
12．将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为________cm ．13．若二次函数的x 与y 的部分对应值如下表：则当时，y 的值为_________．x y
3
5
3
14．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是关于x 的方程的一个根，则菱形ABCD 的面积为_________．
15．如图，在中，，将绕点A 逆时针旋转，得到，则点D 到BC 的距离是________．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，，将菱形ABCD 绕点A 旋转后，得到菱形，则点的坐标是________．
()()11210a x x x x ---=()n m n <()()120a m x n x -->O 216︒5cm 2y ax bx c =++1x =7-6-5-4
-3
-2
-27
-13
-3
-29200x x -+=ABC △90,4B AB BC ∠=︒==ABC △60︒ADE △()2,1,0,60AB A DAB =∠=︒90︒111AB C D 1C
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABO C 是正方形，点A 的坐标为，是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧；是以点O 为圆心，为半径的圆弧；是以点C 为圆心，为半径A 的圆弧；
是以点A 为圆心，为半径的圆弧，继续以点B 、O 、C 、A 为圆心，按上述作法得到的曲线
…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是________．
三、解答题（满分69分）
18．解方程（本题12分，每小题6分）
（1）；（2）．19．（本题9分）
如图，是的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接AD ，，过点O 作于点F ，延长OF 交于点G
．
()1,1 1AA 12A A 1OA 23A A 2CA 34A A 3AA 12345AA A A A A 2023A 2410x x +-=()()5232x x x +=+O ABC △,AE DE BC CE ==OF AC ⊥O
（1）请你判的形状，并给出证明，（2）若，求的半径．20．（本题10分）
如图，小王想用长为的根长，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．
（1）当AB 、BC 边分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由．21．（本题12分）
如图，内接于，AB 是的直径，的切线P C 交BA 的延长线于点P ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ．
（1）求证：直线AF 是的切线；
（2）若
22．（本题12分〉
已知，四边形ABCD 是正方形，绕点D 旋转，，连接AE ，CF ；直线AE 与CF 相交于点G 、交CD 于点P ．
（1）如图1，猜想AE 与CF 的关系，并证明：
BCE △8,3AC FG ==O 40m 2m 2220m 2240m ABC △O O O OF BC ∥O 30,AOF AF ∠=︒=DEF △()DE AB <90,EDF DE DF ∠=︒=
（2）如图2，于点M ，于点N ，则四边形BMGN 是________形；（3）如图3，连接BG ，若，直接写出在旋转的过程中，
①当点E 在正方形ABCD 的内部，且时_________；②线段BG 长度的最小值__________；23．（本题14分〉
如图，直线与抛物线相交于和，点M 为抛物线的顶点，点G 是线段AB 上不同于A 、B 的动点，过点G 作轴于点C ，交抛物线于点D ．
（1）求抛物线的解析式：
（2）在y 轴上找一点P ，使的值最小，P 点的坐标为_________；（3）请你求出的面积的最大值；
（4）平面内是否存在点N ，使以点A 、点E 、点M 、点N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理．
2023-2024学年度上学期期中学业考试初三数学试题参考答案及评分标准
一、1．A2．B3．D4．C5．D6．B7．C8．C9．B10．A 二、11． 12．413．14．或2415．216．或17．三、18．（1）
6分（2）．6分19．（1）答：为等边三角形1分，证明：在中∵，∴，∴∴，又∵，
BM AG ⊥BN CF ⊥4,AB DE ==
DEF △EF CD ⊥BG =2y x =+2()60y ax bx a =++≠15,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
()4,B d GC x ⊥BP MP +ABD △90︒27-()13+-()
1()2023,1-1222x x =-+=--123
,25
x x ==-BEC △O ,ACB ADB DBC DAC ∠=∠∠=∠AE DE =ADB DAC ∠=∠ACB DBC ∠=∠BE CE =BC CE =
∴，
∴为等边三角形．4分
（2）解：连接OC 在中，
4分20．解：（1）设矩形ABCD 的边，则边．1分根据题意，得，2分
化简，得解得，1分当时，；当时，．
1分
答：当或时，能围成一个面积为的羊圈；1分（2）答：不能，
理由：由题意，得，1分化简，得，
，1分
∴一元二次方程没有实数根．1分∴羊圈的面积不能达到．
21．（1）证明：连接OC ，∵PC 为切线，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
BE CE BC ==BEC △Rt OCF △222
OC CF OF =+222
(3)4OC OC =-+256
OC =
AB xm =()4022422BC x x m =-+=-()422220x x -=2211100x x -+=1210,11x x ==10x =422422022x -=-=11x =422422220x -=-=10m 22m AB BC ==、11m 20m AB BC ==、2220m ()422240x x -=2211200x x -+=()2
214120390∆=--⨯=-<2240m O CP OC ⊥90OCP ∠=︒OF BC ∥,AOF B COF OCB ∠=∠∠=∠OC OB =OCB B ∠=∠AOF COF ∠=∠
∵在和中，∴，∴，∴，又∵OA 为的半径，∴AF 为的切线； 6分
（2）∵
，∴，∵，∴
∴，∴阴影部分的面积为． 6分22、
（1）猜想： 2分
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴．∵．
∴，∴，
在和中，∴；∴∴∴AOF △COF △OA OC AOF COF
CF OF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()AOF COF SAS △≌△90OAF OCF ∠=∠=︒AF OA ⊥O O 30,AOF AF ∠=︒=6OA =60,6AOC OC OA ∠=︒==90OCP ∠=︒CP =1122OCP
S OC CP =⋅=⨯6⨯=△260π66π360
AOC S ⋅⨯==扇形6πOCP AOC S S -=-△扇形AE CF AE CF =⊥、,90AD DC ADC =∠=︒,90DE DF EDF =∠=︒ADC EDF ∠=∠ADE CDF ∠=∠ADE △CDF △DA DC
ADE CDF
DE DF =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
()ADE CDF SAS △≌△,AE CF DAE DCF
=∠=∠,PGC APC DCF PDA APC DAP ∠=∠-∠∠=∠-∠90PGC PDA ∠=∠=︒
∴6分（2）正方1分（3）①；2分②线段BG 长度的最小值． 1分
23、（1）把点，代入﹐解得，1分把点和点代入，解得 2分
∴抛物线的解析式为1分（2）2分（3）∵点G 在直线上，点D 在抛物上∴设1分2分
∴
1分∴1分（4）存在3分（注：以上各题用不同于本参考答案的解法做正确的相应给分）
AE CF ⊥BG =
()4,B d 2y x =+6d =15,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
()4,6B 26y ax bx =++2,8a b ==-2286y x x =-+20,
3P ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
2y x =+2286y x x =-+()()21,2,4,2862,G t t t D t t t ⎛⎫
+<<-+
⎪⎝⎭
222(286)294GD t t t t t =+--+=-+-()2
21179343
4294222432
ABD
S t t t ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△343
32
ABD S =△最大值123917919,,,,,222222N N N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。