储油罐变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，通过分析储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐容表影响，建立罐体变位后实际储油量与显示油位高度的数学模型。

对于问题一，有变位情况用定积分方法直接对横截面面积沿罐体底面方向进行积分，建立储油量v 和油位高度h 的初始模型，对模型进行检验，并根据绝对误差与油位高度进行拟合得到补偿函数f(x)，与初始模型进行组合，得到罐容表修正后的标定模型，即
()()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧-≥--+-≤≤-≤≤-=⎰
⎰⎰-+-+α
α
παα
ααα
αα
α
ααtan 2),
(tan 2tan 1tan 2tan ,
)(tan 1tan 0,)(tan 112tan 12tan tan 2tan 0
2121L b h x f h
b ab
dy y S L b h L x f dy y S L h x f dy y S V b
L h L h L h h
L
因无变位是有变位的特殊情况，即标定模型1.3如下：
()02.121349.0arcsin 12)('2+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=h b b h b b h b b h abL T L h S h V π 经过修正后，修正值与实测值之间的差值很小。

球冠内油量的体积分别用蒙特卡罗（样本量N=100000）、近似积分法两种方法来求解，得到球冠内油量的体积与油位高度及变位参数的关系。

根据模型1.1和
()βcos 0h r r h --=建立圆柱体内油量的体积与油位高度及变位参数的函数关
系，即模型2.1。

根据表达式（1）建立储油量与油位高度和变位参数之间的数学模型2.2和2.3。

在0,0==βα的条件下结合附件2的数据对模型进行检验，模型2.2、2.3的平均相对误差分别为0.08%和0.05%，故模型2.3更优。

根据模型2.3，结合本题给出的数据建立以预测值与真实值之间的误差和最小为目标的优化函数，确定最优︒=︒=32.4,97.1βα,代入模型所得罐容表的部分结果为：
显示油高（米） 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 储油量（立方米） -0.9 -0.3 0.11 1.38 2.94 4.15 6.39 9.13 11.8 15.1 显示油高（米） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 储油量（立方米） 17.3 19.9 22.6 25.4 28.2 31 33.8 36.6 39.4 42.1 显示油高（米） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 储油量（立方米）
44.8
47.4
49.9
52.3
54.6
56.8
58.7
60.5
62
63.3
关键字：储油量、油位高度、蒙特卡洛算法、定积分、MATLAB 编程
1.问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两
种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

2.问题分析
2.1问题一的分析
通过题意可知，目的是为了建立一种模型，在知道小椭圆型储油罐油位高度h的情况下，得到以α角纵向倾斜的储油罐中的实际储油量v，并重新修订预先标定的罐容表。

这实际上是一个求解复杂三维图形体积的问题，根据图4所给信息，想到用定积分方法直接对横截面面积沿罐体底面方向进行积分，建立油位高度h和储油量v的初始模型。

所得结果与样本对比，误差呈某种函数规律变化，于是我们想到在初始模型的基础加上一个补偿函数的形成新的修正模型，经检验精度较高。

通过修正模型得到新的罐容表。

大体流程如图2.1
图2.1
2.2问题二的分析
本题同样可以看作求解复杂三维图形体积的问题，为建立罐体变位后任意时刻罐内储油量V 随油位高度h 及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）变化的模型。

由题干给出的图形，可结合问题一的模型，将整个储油罐的体积v 可分成三部分进行求解，第一部分是左端球冠的部分储油体积1V ，第二部分是中间圆柱体的体积2V ，第三部分是右端球冠的部分储油体积3V 。

对于第一部分的体积，我们首先尝试使用定积分方法得到体积的函数关系，发现非常复杂，很难得出1V 与三个变量之间的确切关系。

随后我们采用蒙特卡洛法，建立包围第一部分的三个面的方程，求得对应每一个α、h 的1V （与β无关）,在以后的使用中，可以通过查表得到1V ，第三部分同第一部分做法相同。

第二部分的体积2V ，可利用问题一中模型1.1求解得到模型2.1，由以上三部分进行求和即为模型2.2。

在实际求解第一部分过程中，由于蒙特卡罗方法运算量巨大，耗时较长，我们又想到了用定积分求近似体积的方法，将题目中复杂的部分1V 用一个别的图形代替，通过定积分求得体积1V 与βα、、h 的函数关系式，再将三部分加和得到模型2.3。

比较继而可得到已知变位参数下的罐容表。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据和得出的数学模型2.3确定变位参数。

分别在模型2.2和2.3中代入样本数据，并比较平均绝对误差，找出误差较小的模型求得罐体变位后罐容表。

3.模型假设
（1）温度变化对储油罐无影响。

（2）储油罐的罐底不发生弹性变形，容量也不发生变化。

图一
（3）储油罐主体为均匀圆柱体
（4）不考虑容量测量误差，液位测量误差等因素
4.符号说明
h: 储油罐内测得的油位高度
1V : 储油罐内左端球冠的储油体积
2V ：储油罐内中间圆柱体的储油体积 3V : 储油罐内右端球冠的储油体积
v:方法一求的储油罐内总的储油体积 'v ：方法二求的储油罐内总的储油体积 R: 球冠所在球体的半径
1L : 左球冠体底面到油位探针底部的长度 2L : 油位探针底部到右球冠体底面的长度 0h : 发生变位时储油罐内油面的实际高度
r: 球冠体圆截面的半径 α：纵向倾斜角度
β：横向偏转角度
5.模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解 5.1.1模型的建立
为探究罐体变位后对罐容表的影响，需求解出在任意时刻的罐体无变位和罐体变位后的两种情况下的储油量。

为求两种情况下的储油量的变化，需根据油位高度的变化建立油位高度与罐体内油量体积的模型。

在建模求解油位高度与体积关系时考虑用定积分方法进行计算。

以左边的椭圆面的最低点为原点，过原点与该椭圆的长轴平行的为x 轴，以该
图三
图四
椭圆的短轴位y 轴，以罐体的最底线为z 轴，建立三维坐标系，如图一所示：
因罐体无变位情况是罐体变位情况下的特殊情况，我们先建立罐体在变位情况下的模型。

因罐体在变位时油面与z 轴相交，以xy 面的油面面积S(z) 为微元，以z 值为积分变量，对面积进行积分，即
()()dz S z V ⎰
=上限下限
z 。

在xy 平面上可得椭圆面上油量的面积S(z)（即图中黄色区域所示），如图二所示：
设横截面椭圆方程为： 122
22=+b
y a x ，弓形高为h ,得到截面面积S 与罐内油位
高度h 的函数关系式为：
())1(20arcsin 12222
2r h b h b b h b b h b ab dy y b b a h S b h b ≤≤⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=⎰--π注意：由b h 20≤≤，可知11≤-≤-b
b
h 在探究罐体变位情况时需要对积分变量和油位高度建立函数关系，下面分三种情况进行讨论：
情况1：
αtan 02L h ≤≤时，
αtan )(z z y =
()dy y S V h
L ⎰
+=
αα
tan 0
1tan 1
情况2：
ααtan 2tan 12L b h L -≤≤时，
αtan )()(2L z h z y -+=
()⎰
+-=
α
α
α
tan tan 12tan 1L h L h dy y S V
情况3：
3tan 21≤≤-h L b α时，将油量的体积分成两部分进行求解，如图四所示：
即()⎰
--+=
+=b
L h h
b ab
dy y S V V V 2tan 2tan 2tan 121α
α
πα
油位高度(mm)
绝对误差（L ）
图六
油位高度（mm ）
储油量（L ）
图五
综合上述，可建立模型1.1：
()()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧-≥-+-≤≤≤≤=⎰
⎰⎰-+-+α
α
πααααααα
α
ααtan 2,tan 2tan 1tan 2tan ,
tan 1tan 0,tan 112tan 12tan tan 2tan 02121L b h h
b ab
dy y S L b h L dy y S L h dy y S V b
L h L h L h h
L
由题干可知，罐体无变位情况是罐体发生变位的特殊情况，则图形是规则的椭圆柱体被一平面所截之后剩余部分的体积，即椭圆被截之后的体积V(h)为垂直于截面的面积S(h)乘以椭圆柱体的高L ，建立模型1.2，即：
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==b b h b b h b b h abL L h S h V arcsin 12)(2π 5.1.2模型的求解、检验与修正 5.1.2.1无变位情况
根据模型 1.2，L=2.05+0.4=2.45，
89.0=a ,6.0=b ,带入模型中得到储油体积与油位高度的关系，再将附表一里无变位进油表中给出的油位高度值h 带入储油体积与油位高度的关系表达式，得到储油体积的预测值V 。

利用上述储油体积的预测值V ，建立预测值V 与实际值U 之间的关系，利用MATLAB 编程得到两者分别与油位高度之间的函数曲线，如图五：
由上图可知预测值要比实际值大，进而我们又计算了储油体积的预测值V 与附件表无变位进油表中给出的累加进油量U 之间的绝对误差，即CZ=1000V-U 。

根据：
U
CZ
=-=实际值实际值预测值相对误差，
得出相对误差的取值范围，即（3.48%，3.50%）。

很明显，预测值与实际值之间的误差比较大，需要对模型1.2进行修正。

由求出的CZ 的数据与储油高度的数据，利用MATLAB 编程，绘制两者之间的关系曲线，即图六：
如上图所示，很显然，绝对误差CZ 与油位高度h 之间成线性关系，由此，我们可以对绝对误差CZ 与油位高度h 进行拟合，得出拟合度较高的补偿函数T 的曲线方程：02.121349.0-=h T 。

因此，可对模型1.2进行修正，建立模型1.3，即
()02.121349.0arcsin 12)('2+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=h b b h b b h b b h abL T L h S h V π 得到无变位时油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值：
表一
5.1.2.2罐体发生变位后的情况
根据模型1.1中所给出的倾斜角︒=1.4α时，分三种情况进行讨论，针对每 一种情况分别将89.0=a ，6.0=b ，4.01=L ，05.22=L ,0716.01.4tan =︒带入对应的式子，分别得到对应于每种情况下的储油体积与油位高度的函数关系，应用
MATLAB 编程中定积分的int 函数求得倾斜角︒=1.4α时模型1.2的解析解（见附录1），再将附表一中倾斜变位进油表中给出的油位高度值h 带入储油体积V 与油位高度h 的关系表达式中得到储油体积的预测值V 。

利用所求出的倾斜变位后
储油体积的预测值V ，建立倾斜变位后的储油体积预测值V 与实际值U 之间的关系，利用MATLAB 编程得到两者分别与油位高度h 之间的函数曲线以及绝对误差、相对误差与油位高度的关系曲线，如图七所示：
由上图可知，预测值比真实值大，且差值大概符合正态分布函数如图八所示：
基本符合正态分布Guassian 函数f(x)
即： ()2
4296.0733.009061.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x e x f
累计误差: 0.0004819
2R : 0.9417
所以以正态分布函数f(x)为补偿函数进行对模型1.1的修正，建立模型1.4如下:
()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧-≥--+-≤≤-≤≤-=⎰
⎰⎰-+-+α
α
πααααα
αα
α
ααtan 2),(tan 2tan 1tan 2tan ,)(tan 1tan 0,)(tan 112tan 12tan tan 2tan 02121L b h x f h b ab
dy y S L b h L x f dy y S L h x f dy y S V b
L h L h L h h
L
0.4油位高度（米）
误差（/立方米）
误差与油位高度关系油位高度（米）
储油量（立方米）
无变位油位高度与储油量关系
图七
图九
由以上模型得到发生变位时油位高度h 间隔为1cm 的罐容表标定值：
油位高度（cm ） 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
储油量（L ）
-3.26 -1.8
0.497 3.749 8.041 13.46 20.07 27.95 37.15 47.75 油位高度（cm ） 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
储油量（L ）
59.79 73.33 88.43 105.1 123.4 137.2 158.3 180.7 204.2 228.8
油位高度（cm ） 21 22
23
24
25
26
27
28
29
30
储油量（L ）
254.4 280.9 308.3 336.4 365.3 394.9 425.2 456.1 487.6 519.7
油位高度（cm ） 31 32
33
34
35
36
37
38
39
40
储油量（L ）
552.4 585.5 619.2 653.4 688
723.1 758.6 794.6 830.9 867.5 油位高度（cm ） 41 42
43
44
45 46 47 48 49 50 储油量（L ）
904.6 942
979.7 1018 1056 1095 1134 1173 1212 1252 油位高度（cm ） 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 储油量（L ）
1292
1332 1373 1413 1454 1495 1537 1578 1620 1661 油位高度（cm ） 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 储油量（L ）
1703
1745 1788 1830 1872 1915 1958 2001 2043 2086 油位高度（cm ） 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 储油量（L ）
2129
2172 2215 2258 2302 2345 2388 2431 2474 2517 油位高度（cm ） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 储油量（L ）
2560
2603 2645 2688 2731 2773 2815 2857 2899 2941 油位高度（cm ） 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 储油量（L ）
2982
3023 3064 3104 3145 3184 3224 3263 3302 3340 油位高度（cm ） 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 储油量（L ）
3378
3415 3452 3488 3524 3559 3593 3627 3660 3692 油位高度（cm ） 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 储油量（L ）
3724
3754
3784
3813
3840
3867
3893
3927
3715
3501
5.2问题二模型的建立与求解 5.2.1模型的建立
结合问题二的分析及问题一解答，分别对问题二的三部分体积进行建模。

首先，以左边球罐的球心为三维坐标的原点o ，以平行于油位探针过原点o 的直线为x 轴，以两半球罐的球心连线为于z 轴，以垂直于xoz 面的直线为y 轴，建立三维坐标系，如图九所示：
则分别对三部分体积进行求解:
第一部分体积1V ：
方法一：
由坐标系得左边球罐的方程：
]2
25
.3,225.1[],5.1,5.1[,225.32
2
2
2
∈-∈⎪
⎭
⎫
⎝⎛=++z y x z y x
圆截面方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧=
-∈=+225.1]
5.1,5.1[,5.12
22z y x y x
储油罐内油面的平面方程：
()0225.1sin tan 25.1cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+--+-z h x ααα
利用蒙特卡洛方法]3[计算体积。

蒙特卡罗的基本思想：根据上述三个曲面方
程，可得出约束条件()⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+--+-==+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤++0225.1sin tan 25.1cos 225.1,5.1225.32222
2
22z h x z y x z y x ααα，由约束条
件组成封闭多边形，然后在多边形的外面放置一个立方体包围盒，在容器内产生
大量的随机点，然后判断有多少随机点落在封闭的多边形中。

根据在多边形中的随机点的个数m 与总共产生的随机点的个数n 的比值k ，求解出多边形容器的体
积v ，则待测多边形在容器内部的体积n
m
k vk V ==,1。

因为第三部分体积3V 的计算方法与第一部分体积1V 的计算一样，只是曲线方程不同。

由坐标系得到右边球罐的方程：
()]2
75
.16,275.14[],5.1,5.1[,225.375.62
2
22--∈-∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=+++z y x z y x 圆截面方程：⎪
⎩⎪
⎨⎧-=-∈=+275
.14]
5.1,5.1[,5.12
22z y x y x
储油罐内油面的平面方程：
()0225.1sin tan 25.1cos =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+--+-z h x ααα
根据上述方程得出约束条件
()()⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+--+--==+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+++0225.1sin tan 25.1cos 275.14,5.1225.375.62222
22
2z h x z y x z y x ααα 利用蒙特卡洛方法计算体积得到3V 。

方法二：
在求解球罐的体积时，将所求的部分球罐体积分成两部分，如图所示，'1V 的求解可以将图形近似的简化为圆柱体的一部分，根据高等数学]2[中的近似求解法得到：
()()
()()()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧------⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------+---=222
222
2320tan 25.1435.3tan 25.125.2arcsin
tan 25.1435.3225.1tan 25.125.2425.1tan 25.125.232tan ααααααh h h h h V
'0V 的求解是先计算出球罐体的的水平截面面积()h S 水平，然后在垂直方向上
对h 进行积分：()⎰=h
dh h S V 0
0'水平。

为了计算简单，将球罐的部分分成两部分进
行，先计算如图所示左边部分黑色区域的体积。

由上图可分出左边球罐的立体图，如下：
下面求()h S 水平：球的水平截面是一个圆，半径22h R Rh -=
图十二
图十
图十五
图十四
()h S 水平就是阴影部分的面积，
显然，()⎰
--=-=Rh H
R dh h r ds ds s Rh S 22222,2h 水平，计算得
()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+-+
---=2
22222
222arctan 2
2h H HR H
R R h h R H h HR h H h S π
水平 从而
()()⎰=h
dh
h S h V 00'水平()()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----+-+---=222
2222
2
2arctan 22h
H HR H
R R h h R H h HR h H π
()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++----+-+++-+=121arctan 32121arctan 3312arctan
323113122622322323232h r R R R h r R h r R R R h r h r h r R h r R R R h r R h r h r R h r ππ注：()βcos r -=测h h ，测h 为油位探针的读数，h 为实际的油位高度
()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤-+≥-+=r
h h r V V r h r V V ,'2,h 'V 2
'000满满
由上述得到：''001V V V +=
在计算右边部分球罐的体积'3V 时，其做法与左边部分的情况类似，只要做稍微的变化就行。

第二部分体积2V ：
由于储油罐既有纵向偏转也有横向偏转，所以在求解过程中用到的h 已经不
是储油探针的读数了，我们需要对h 进行转化，不能简单的用储油探针的读数来代替问题一中的h 进行求解。

在此题中，我们先对h 的求解分了两种情况：
设圆方程为2225.1=+y x ，油位探针测得的油位高度为h ，油位的实际高度
图四
为0h :()βcos 0r h r h -+=
由上述数据结合问题一中的式（1），可得到中间圆柱罐体截面面积S 与罐内油位探针测得的油位高度h 的函数关系式]1[为
())20(arcsin 12202002220r h r r h r r h r r h r dy y r h S r
h r ≤≤⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-=⎰--π 注意：由r h 20≤≤，可知11≤-≤-r
r
h
在此问中，圆柱体内油量的体积2V 的求解过程与问题一完全类似，因此可根据问题一中的模型1.1建立储油罐内油量的体积2V 与油位探针的读数h 之间的函数关系，同时也分三种情况（如图一）： 情况1： β
α
βcos tan cos 2L r r h r r --≤≤-
时， αtan )(z z y =
()dy y S V h L ⎰
+=
1tan 0
2tan 1
αα
情况2：β
α
βαcos tan cos tan 12L r r h r L r -+≤≤-+
时，
αtan )()(2L z h z y -+=
()⎰
+-=
α
α
αtan tan 21020tan 1
L h L h dy y S V
情况3：β
βαcos 3cos tan 1r
r h L r r -+≤≤-+
时，将油量
的体积2V 分成两部分V1和V2进行求解，如图四所示：
即212V V V +=,代入公式得 ()⎰
--+=
b
L h h
r r dy y S V 2tan 2
220tan 2tan 1α
α
πα
综合上述，可建立模型2.1：
()()()⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧-+≤≤-+-+-+≤≤-+--≤≤-
=⎰⎰⎰-+-+)cos 3cos tan (,tan 2tan 1)cos tan cos tan (,tan 1)cos tan cos (,tan 113tan 0
212tan tan 2tan 0
22010200
1β
βααπα
β
αβααβ
α
βαα
αα
αr r h L r r h r r dy y S L r r h r L r dy y S L r r h r r dy
y S V L h L h L h h L 根据上述解答，对于方法一有公式321V V V v ++=，方法二有公式
'''321V V V v ++=分别得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横
向偏转角度β ）之间的一般关系，可分别建立模型2.2即v=g(h,α,β) 和模型2.3即()βα,,''h g v =。

5.2.2模型的求解
模型的求解：
应用MATLAB 编程对模型2.2和模型2.3求解，并代入已知数据进行检验。

令0=α，0=β，h 为显示油高；分别用模型2.2和模型2.3进行求解,部分结果如下：
显示油高/mm 2632 2624 2621 2610 2607 2600 2588 2582 2580 2575 近似积分/3
m 60.42 60.29 60.21 60.04 59.97 59.85 59.63 59.52 59.48 59.4
蒙特卡罗/3m 60.4 60.26
60.2 60.01 59.95 59.82
59.6
59.5 59.46 59.38
实际值/3m
60.45 60.31 60.25 60.07 60 59.87 59.66 59.56 59.51 59.43
当采样点N=100000时，近似积分模型的相对误差平均约为0.05%，蒙特卡罗模型的相对误差平均约为0.08%。

确定βα、:
模型确定后，取前N 个样本中（无进油）数据来确定βα、，lost(i)为第i 个出油量的值，hx(i)为第i 个显示油高值，Vy(i)为对应hx(i)的实际储油量。

以预测误差和ss 为因变量，βα、为自变量建立目标函数进行优化：
∑=---=N
k k lost k Vy k Vy ss 1)()()1(min
)10,0(),6,0(︒︒∈︒︒∈βα
α、值即为所求。

使目标函数最小的β
α。

在此基础上确定罐容用MATLAB遍历法编程求得最适的︒
97
.1β
,
.4
︒
=32
=
表，部分结果如下：
显示油高（米）0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
储油量（立方米）-0.9-0.30.11 1.38 2.94 4.15 6.399.1311.815.1
显示油高（米） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92
储油量（立方米）17.319.922.625.428.23133.836.639.442.1
显示油高（米） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.93
储油量（立方米）44.847.449.952.354.656.858.760.56263.3
6.模型的评价与推广
6.1评价
本文通过设计模型1.4和模型2.2有效的模拟出储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，具有较强的现实意义，可以在现实生活中广泛推广应用。

在问题一求解时，对预测值与真实值之间关系进行了误差分析，通过MATLAB工具箱对绝对误差CZ与油位高度h进行拟合，得出拟合度较高的补偿函数T，从而得到模型1.3。

使模拟的准确度得到加强，具有很强的现实意义。

在求球冠部分体积时，我们首先运用了蒙特卡罗方法对罐内储油量与油位高度以及变位参数之间关系进行建模，但该方法误差较大。

因此，我们又采用了方法二进行求解，这种方法相对于方法一简单很多，而且设定参数后，可以对模型进行实时控制和实时预测，有利于模型的建立与求解。

由于我们所建的模型数据可靠性以及准确性较差，在选取的数据上存在一定的误差，但都尽量控制在合理的范围内。

对于容量测量误差，液位测量误差，温度与油品密度的因素等次要因素均加以忽略，与实际情况存在偏差。

另外，模型模拟实验不可能与实际情况完全一致，而且在模型建立时，忽略了多种并未量化的影响因子，数据收集误差等因素。

因此，不能完全准确的进行分析，模型仍需要修正和完善。

6.2推广
在本文中建模时我们忽略了多种因素，例如：容量测量误差，液位测量误差，温度与油品密度的因素等等。

故我们可以将模型进行改进，将上述因素考虑进去，运用层次分析法以及BP神经网络模型进行重新建模求解]4[，以得到更加准确的模型。

我们还可以根据所建立的储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，绘出一个表格，根据该表格可以查得各个储油量所对应的油位高度以及变
位参数的值，以便观察与测定。

7.参考文献
【1】王郑耀，卧式加油灌剩余油料体积的计算，
/chinese/pdf/GasolineJar.pdf，2010年9月11日
【2】同济大学应用数学系，高等数学，北京：高等教育出版社，2002年7月【3】，中国论文门户网成员，基于蒙特卡罗算法和3dWidget交互方式的体积测量方法，/papers.asp?papers_id=1089995，2010年9月12日【4】孙发金，卧式油罐容积检定计算疑难点的探讨，上海：石油商技，2000年10月。