2021年中考数学复习 第5章 四边形

第五章四边形
第一节多边形
(建议用时:40分钟)
考点1多边形的性质
1.一个多边形的边数由原来的3增加到n(n>3,且n为正整数),则它的外角和( D )
A.增加(n-2)×180°
B.减小(n-2)×180°
C.增加(n-1)×180°
D.没有改变
2.[2020广东]若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为( B )
A.4
B.5
C.6
D.7
3.如图,已知∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边CD,AE的延长线交于点F,如果∠1+∠2+∠3=225°,那么∠DFE的度数是45°.
考点2正多边形的性质
4.[2020承德二模]把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG,按照如图所示的方式放置,连接AD,则
∠DAG= ( A ) A.18° B.20°
C.28°
D.30°
5.[2020 邢台二模]如图,有n个全等的正五边形按如下方式拼接,使相邻的两个正五边形有一个公共顶点,所夹的锐角为24°,拼接一圈后,中间形成一个正多边形,则n的值为( B )
A.5
B.6
C.8
D.10
6.[2020石家庄新华区一模]连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,则下列说法错误的是( D )
A.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等
B.连接BF,则BF平分∠AFC和∠ABC
C.整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形
D.△ACF是等边三角形
7.[2020江苏扬州]如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a=√3cm.
8.[2020江苏连云港]如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α=48°.
9.如图,在正八边形中,四边形BCFG的面积为2a cm2,则正八边形的面积为4a cm2(用含a的代数式表示).
10.[2020湖南株洲]一蜘蛛网如图所示,若多边形 ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON=80°.
11.[2020福建]如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于30度.
12.若将n个边长为1的正m边形进行拼接,相邻的两个正m边形有一条公共边,围成一圈后中间恰好形成一个正n边形.
(1)当m=8时,围成的图形如图所示,则该图形外轮廓的周长为20;
(2)当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是27;
(3)当m=5时,得到的正n边形的周长是10.
13.[2019 唐山丰南区二模]关于n边形,甲、乙、丙三位同学有以下三种说法:
甲:五边形的内角和为520°.
乙:正六边形每个内角为130°.
丙:七边形共有14条对角线.
(1)判断三种说法是否正确,并对其中你认为不对的说法用计算进行说明;
(2)若n边形的对角线共有35条,求该n边形的内角和.
解:(1)甲、乙的说法不正确,丙的说法正确.
正五边形的内角和为 180×(5-2)=540°.
正六边形外角和为 360°,每个外角为 360÷6=60°,故每个内角为 180°-60°=120°.
=35,
(2)由题意知n(n−3)
2
解得n=10或n=-7(不合题意,舍去),
180°×(10-2)=1 440°,
故该n边形的内角和为1 440°.
第二节平行四边形
基础分点练
（建议用时：45分钟）
考点1平行四边形的判定
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )
A.AB平行且等于CD
B.∠A=∠C,∠B=∠D
C.AB=AD,BC=CD
D.AB=CD,AD=BC
2.[2019广西河池]如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连接CF.添加一个条件,使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( B )
A.∠B=∠F
B.∠B=∠BCF
C.AC=CF
D.AD=CF
3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF.
求证:四边形ABCD为平行四边形.
证明:∵BE∥DF,
∴∠BEO=∠DFO,
又BO=DO,∠BOE=∠DOF,
∴△BEO≌△DFO,
∴EO=FO.
∵AE=CF,
∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO.
又BO=DO,
∴四边形ABCD为平行四边形.
考点2平行四边形的性质
4.在▱ABCD中,若∠A=2∠B,则∠D的度数为( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
5.[2019 石家庄十八县联考]证明:平行四边形对角线互相平分.
已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.
求证:AO=CO,BO=DO.
以下是排乱的证明过程:
①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA.
②∵四边形ABCD是平行四边形.
③∴AB∥CD,AB=DC.
④∴△AOB≌△COD.
⑤∴OA=OC,OB=OD.
正确的顺序应是( C ) A.②①③④⑤ B.②③⑤①④
C.②③①④⑤
D.③②①④⑤
6.[2020浙江温州]如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
7.小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E,又在BC边上作出点F,作图痕迹如图所示,若EF=2,则AB,CD之间的距离为( C )
A.2
B.3
C.4
D.5
8.[2019海南]如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若
∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( C ) A.12 B.15 C.18 D.21
9.[2019保定定州二模]如图,已知点M为▱ABCD的边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=1,则图中阴影部分的面积为( C )
A.2
B.3
C.4
D.5
10.[2020陕西]如图,在▱ABCD 中,AB=5,BC=8.E 是边BC 的中点,F 是▱ABCD 内一点,且∠BFC=90°.连接AF 并延长,交CD 于点G.若EF ∥AB,则DG 的长为
( D )
A.5
2
B.3
2
C.3
D.2
11.[2020山东潍坊]如图,点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点,且DE AE =1
2,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则▱ABCD 的周长为
( C )
A.21
B.28
C.34
D.42
12.[2020广西河池]如图,在▱ABCD 中,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,连接DE,EA=3,EB=5,ED=4,则CE 的长是
( C )
A.5√2
B.6√2
C.4√5
D.5√5
13.[2020贵州黔东南州]以▱ABCD 对角线的交点O 为原点,平行于BC 边的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若A 点坐标为(-2,1),则C 点坐标为 (2,-1) .
14.[2019广西梧州]如图,▱ABCD 中,∠ADC=119°,BE ⊥DC 于点E,DF ⊥BC 于点F,BE 与DF 交于点H,则∠BHF= 61 度.
15.[2020浙江金华]如图,平移图形M,与图形N 可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是 30 °.
综合提升练
（建议用时：25分钟）
1.[2019广东广州]如图,▱ABCD 中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD 相交于点O,且E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,则下列说法正确的是
( B )
A.EH=HG
B.四边形EFGH 是平行四边形
C.AC ⊥BD
D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
2.[2020重庆A卷]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;
(2)求证:AE=CF.
(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.
又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠OAD=40°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,{∠AEO=∠CFO,∠EOA=∠FOC, AO=CO,
∴△AEO≌△CFO,
∴AE=CF.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD.
(1)求证:AE=CE;
(2)求证:四边形ABDF为平行四边形;
(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.
(1)证明:∵AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA.
∵E为BD的中点,∴DE=BE,
在△ADE和△CBE中,{∠DAC=∠BCA,∠AED=∠CEB, DE=BE,
∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.
(2)证明:由(1)得,AE=CE,BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.又∵DF=CD,∴AB=DF,
∴四边形ABDF为平行四边形.
(3)∵四边形ABDF为平行四边形,
∴∠F=∠DBA,BD=AF=2.
又∵∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,
∴∠DBA=∠BAC,∴AE=BE=DE,
∴∠BAD=90°.
∵AB=CD=1,∴AD=√BD2-AB2=√3,
∴四边形ABDF的面积为AB×AD=√3.
新角度[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长DF=1
DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为9√3.
4
第三节矩形、菱形、正方形
课时一:矩形的性质与判定
基础分点练
（建议用时：30分钟）
考点1矩形的判定
1.[2020湖北十堰]已知平行四边形ABCD,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( B )
A.①
B.②
C.③
D.④
2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
求证:四边形BCDE是矩形.
证明:∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAE≌△CAD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.
又∵DE=CB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴BE∥CD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠DCB.
∵BE∥CD,∴∠EBC+∠DCB=180°,
∴∠EBC=∠DCB=90°,∴四边形BCDE是矩形.
考点2与矩形性质有关的证明与计算
3.[2020湖南怀化]如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOD的面积为2,则矩形ABCD的面积为( C )
A.4
B.6
C.8
D.10
4.[2020 江苏连云港]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处,若∠DBC=24°,则
∠A'EB等于( C )
A.66°
B.60°
C.57°
D.48°
5.[2019广东广州]如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( A )
A.4√5
B.4√3
C.10
D.8
6.[2020贵州黔东南州]如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=4
.
3
7.[2020山东菏泽]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3√17.
8.[2020 湖南长沙]如图,在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F处.
(1)求证:△ABF∽△FCE.
(2)若AB=2√3,AD=4,求EC的长.
(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β.求tan α+tanβ的值.
(1)证明:∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.
∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°,
∴∠AFB+∠BAF=90°,
∴∠EFC=∠BAF,∴△ABF∽△FCE.
(2)由翻折的性质可得AF=AD=4,
在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF=√42-(2√3)2=2,
∴FC=BC-BF=4-2=2.
由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BF
CE ,即
2√32=2CE ,∴CE=2√3
3
. (3)设EC=1,DE=x,则AE=x+2,AB=x+1,FE=x, ∴BC=AD=√AE 2-DE 2=√(x +2)2-x 2=2√x +1,
FC=√FE 2-CE 2=√x 2-1,
∴BF=BC-FC=2√x +1-√x 2-1.
由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BF
CE ,∴AB·CE=FC·BF, 即x+1=√x 2-1×(2√x +1-√x 2-1), 得x+1=2(x+1)√x −1-x 2+1, 整理,得x 2=4(x-1),解得x 1=x 2=2, ∴AB=3,BF=√3,AF=2√3, ∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =√33+
2√3=2√3
3
.
内蒙古呼和浩特]如图,把某矩形纸片ABCD 沿EF,GH 折叠(点E,H 在AD 边上,点F,G 在BC 边和点C 落在AD 边上同一点P 处,A 点的对称点为A',D 点的对称点为D',若∠FPG=90°,S △A'EP =8,S △D′PH =2,则矩形ABCD 的长为
( D )
A.6√5+10
B.6√10+5√2
C.3√5+10
D.3√10+5√2
2.新角度[2020江西]如图,矩形纸片ABCD 中,AD=8 cm,AB=4 cm,折叠纸片使折痕经过点B,交AD 边于点E,点A 落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE 的长为 4
3 √3,4√3或(8-4√3) cm.
课时二:菱形的判定与性质
基础分点练
（建议用时：40分钟）
考点1 菱形的判定
1.[2020浙江嘉兴]如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,请添加一个条件: AD=DC(答案不唯一) ,使平行四边形ABCD 是菱形.
2.[2020广西玉林]如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形(填“是”或“不是”).
3.[2020 山东滨州]如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.
(1)求证:△PBE≌△QDE;
(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD的交点为E,
∴AB∥CD,BE=DE,∴∠PBE=∠QDE,∠BPE=∠DQE,
∴△PBE≌△QDE.
(2)证明:如图.
由(1)可得PE=QE,同理可得ME=NE,
∴四边形PMQN是平行四边形.
又∵PQ⊥MN,
∴▱PMQN是菱形.
考点2与菱形的性质有关的计算
4.[2020黑龙江绥化]如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是BC,CD两边上的点,不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )
A.∠BAF=∠DAE
B.EC=FC
C.AE=AF
D.BE=DF
5.[2020湖北黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为( B )
A.4∶1
B.5∶1
C.6∶1
D.7∶1
6.[2020黑龙江龙东地区]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( A ) A.4 B.8 C.√13 D.6
7.[2020四川乐山]如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD 于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为( B )
A.9+2√3
B.9+√3
C.7+2√3
D.8
8.[2020辽宁抚顺]如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC=8,BD=6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE=CE,则OE 的长是( B ) A.2
B.5
2
C.3
D.4
9.[2020四川南充]如图,面积为S 的菱形ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 是线段BC 的中点,过点E 分别作EF ⊥BD 于点F,EG ⊥AC 于点G,则四边形EFOG 的面积为
( B )
A.1
4
S
B.1
8
S
C.112
S D.1
16
S
10.[2020广东]如图,在菱形ABCD 中,∠A=30°,取大于12
AB 的长为半径,分别以点A,B 为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD 边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD 的度数为 45° .
11.[2020陕西]如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠B=60°,点E 在边AD 上,且AE=2.若直线l 经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF 的长为 2√7 .
12.[2020北京]如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.
(1)求证:四边形OEFG 是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE 和BG 的长.
(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴点O 为BD 的中点. 又∵点E 为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线, ∴OE ∥FG.
又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.
又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.
AD=5.
(2)∵点E为AD的中点,AD=10,∴AE=1
2
又∵∠EFA=90°,EF=4,∴AF=√AE2-EF2=√52-42=3.
AB=5.
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=10,∴OE=1
2
∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
动态型[2020浙江绍兴]如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B 停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( B )
A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
课时三:正方形的性质和判定
基础分点练
（建议用时：40分钟）
考点1正方形的判定
1.[2020石家庄新华区一模]如图,已知线段AB,按下列步骤作图:分别以点A,B为圆心、大于1
AB的长为半径画
2
弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交AB于点O,连接MA,MB,NA,NB,若四边形MANB是正方形,则需要添加的条件是( A )
A.AO=MO
B.MA∥NB
C.MA=NB
D.AB平分∠MAN
2.[2020山东滨州]下列命题是假命题的是( D )
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
3.[2020山东威海]如图,在▱ABCD中,BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,连接EO并延长交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是( D )
A.四边形DEBF为平行四边形
B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形
C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形
D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形
考点2正方形的性质
4.[2020浙江湖州]四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( B )
A.1
B.1
2C.√2
2
D.√3
2
5.[2019内蒙古鄂尔多斯]如图,以AB为边在正方形ABCD外部作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为( C )
A.15°
B.35°
C.45°
D.55°
6.[2020邢台二模]如图,在正方形ABCD中,AB=6,点Q是AB边上的一个动点(点Q不与点B重合),点M,N分别是DQ,BQ的中点,则线段MN= ( A )
A.3√2
B.3√2
2
C.3
D.6
7.[2020湖北恩施州]如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE 周长的最小值为( B )
A.5
B.6
C.7
D.8
8.[2020浙江湖州]七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形木板可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图(1)所示.分别用这两副七巧板试拼如图(2)中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )
图(1)
图(2)
A.1和1
B.1和2
C.2和1
D.2和2
9.[2020河南]如图,在边长为2√2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为1.
10.[2020甘肃天水]如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为2.
11.[2020张家口桥东区一模]如图,将边长分别为a,b的两个正方形放在一起.
a(a+b);
(1)图中阴影部分的三角形的面积为1
2
(2)△ABC的面积为1
b2.
2
(用含a,b的代数式表示)
12.[2020四川自贡]如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE,BF交于点M.
求证:AE=BF.
证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90°.
又∵CE=DF,∴CE+BC=DF+CD,即BE=CF.
在△ABE 和△BCF 中,{BE =CF,
∠ABE =∠BCF,AB =BC,
∴△ABE ≌△BCF,∴AE=BF.
13.[2020浙江杭州]如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接AE,∠DAE 的平分线与CD 边交于点G,与BC 的延长线交于点F.设CE
EB =λ(λ>0).
(1)若AB=2,λ=1,求线段CF 的长. (2)连接EG,若EG ⊥AF, ①求证:点G 为CD 边的中点. ②求λ的值.
(1)解:因为在正方形ABCD 中,AD ∥BC,所以∠DAF=∠F.
因为AG 平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF,所以∠EAF=∠F,所以EA=EF. 因为λ=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1. 在Rt △ABE 中,由勾股定理,得EA=√5, 所以CF=EF-EC=EA-EC=√5-1.
(2)①证明:由(1)可知EA=EF,又因为EG ⊥AF, 所以AG=GF.
又因为∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F, 所以△DAG ≌△CFG.所以DG=CG, 所以点G 为CD 边的中点.
②不妨设CD=2,则AD=2,CG=1.由①得CF=AD=2. 易证△FGC ∽△GEC,所以EC CG =CG CF =1
2
, 所以EC=1
2,所以BE=3
2,所以λ=CE EB =13.
综合提升练
（建议用时：30分钟）
1.[2020湖南常德]如图(1),已知四边形ABCD 是正方形,将△DAE,△DCF 分别沿DE,DF 向内折叠得到图(2),此时DA 与DC 重合(点A,C 都落在点G 处),若GF=4,EG=6,则DG 的长为 12 .
2.[2020山东青岛]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是
.
AE的中点,连接OF交AD于点G,连接DF.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为4√5
5
3.[2020湖北咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重
合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:
①△ABE∽△ECG;
②AE=EF;
③∠DAF=∠CFE;
④△CEF的面积的最大值为1.
其中正确结论的序号是①②③.(把正确结论的序号都填上)
4.[2020唐山路南区二模]如图,在边长为2的正方形ABCD中,动点F,E以相同的速度分别从点D,C同时出发向点C,B运动(任何一个点到达终点时,两点都停止运动).连接AE,BF,AE与BF交于点P,过点P分别作PM∥CD 交BC于点M,PN∥BC交CD于点N,连接MN,在运动过程中,
(1)AE和BF的数量关系为AE=BF;
(2)MN长度的最小值为√5-1.
5.[2020湖南株洲]如图所示,△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足△ABF≌△CBE.
(1)求证:∠EBF=90°;
(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tan∠AFC的值.
(1)证明:∵△ABF≌△CBE,∴∠ABF=∠CBE.
∵∠ABF+∠CBF=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°.
(2)∵△ABF ≌△CBE,∴∠AFB=∠CEB. 又∵∠FGA=∠EGB,∴∠FAC=∠EBF=90°. ∵正方形的边长为1,CE=2,∴AC=√2,AF=CE=2, ∴tan ∠AFC=AC AF =√22
.
6.[2020四川南充]如图,边长为1的正方形ABCD 中,点K 在AD 上,连接BK,分别过点A,C 作BK 的垂线,垂足分别为点M,N,点O 是正方形ABCD 的中心,连接OM,ON.
(1)求证:AM=BN.
(2)请判定△OMN 的形状,并说明理由.
(3)设AK=x,若点K 在线段AD 上运动(不包括端点),△OMN 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式(写出此时x 的范围);若点K 在射线AD 上运动,且△OMN 的面积为1
10,请直接写出AK 长. (1)证明:∵AM ⊥BM,CN ⊥BN,∴∠AMB=∠BNC=90°. 又∵∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠CBN+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠CBN.
又AB=BC,∴△AMB ≌△BNC,∴AM=BN. (2)△OMN 是等腰直角三角形.
理由:连接OB,如图.
∵O 为正方形的中心,∴∠OAB=∠OBC,OA=OB,∴∠MAB-∠OAB=∠NBC-∠OBC,即∠MAO=∠OBN.
又∵AM=BN,∴△AMO ≌△BNO, ∴OM=ON,∠AOM=∠BON.
易知∠AOB=∠AON+∠BON=90°, ∴∠MON=∠AON+∠AOM=90°, ∴△OMN 是等腰直角三角形.
(3)在Rt △ABK 中,BK=√AK 2+AB 2=√x 2+1. 易知BK·AM=AB·AK,则BN=AM=
AB·AK BK
=
√x 2+1
.
∵∠AKM=∠BKA,∠AMK=∠BAK=90°,∴△AKM ∽△BKA,∴AK BK =
KM
AK
,∴KM=
AK 2BK
=
2
√x 2+1
,∴MN=BK-BN-
KM=√x 2+1-√x 2+1-2√x 2+1=√x 2+1
,∴S △OMN =12×(√
22MN)2=14MN 2=(1-x)24x 2+4,
即y=
x 2-2x+1
4x 2+4
(0<x<1).
若点K 在射线AD 上运动,S △OMN =110,则AK 长为1
3或3.
湖北孝感]如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图(2)
所示的图形,记阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积为S 2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S 1=S 2,则n
m 的值为 √3-1
2
.
图(1) 图(2)
参考答案
第一节 多边形
1.D 因多边形的外角和等于360°,与边数无关,故选D.
2.B 设该多边形的边数是n,由多边形的内角和公式,得180°×(n-2)=540°,解得n=5.故选B.
3.45° ∵多边形的外角和为360°,∴∠DEF+∠EDF=360°-225°=135°.∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°,∴∠DFE=180°-135°=45°.
4.A 正五边形的每一个内角为(5-2)×180°
5
=108°,即∠AED=∠EAB=108°.又EA=ED,∴∠EAD=
180°−108°
2
=36°,∴∠DAB=∠EAB-∠EAD =72°.在正方形ABFG 中,∠GAB=90°,故
∠DAG=∠GAB-∠DAB =18°.故选A. 5.B 正五边形每一个内角的度数为
(5-2)×180°
5
=108°,所以中间形成的正多边形的每一个内角的度数为360°-24°-108°-108°=120°.易得120°n=(n-2)×180°,解得n=6.故选B.
6.D 易知该图形关于直线BF 对称,四边形AFGH 与四边形CFED 关于直线BF 对称,故S 四边形AFGH =S 四边形
CFED ,BF 平分∠AFC
和∠ABC.因△ACF 不是中心对称图形,故整个图形不是中心对称图形.设该正八边形的中
心为点O,连接OA,OC,则∠AFC=1
2∠AOC=12×
360°
4
=45°,故△ACF 不是等边三角形.
7.√3 如图,作螺帽的外接圆,连接AB,AC,则AC 是其直径,易知∠BAC=30°,∠ABC=90°,∴BC=√3
3
AB=√3 cm.
8.48 如图,由正五边形内角和为(5-2)×180°=540°,可知∠1=108°.又A 3A 4∥B 3B 4,∴∠2=∠1=108°,∴∠3=72°.在四边形A 2A 3MN 中,∠3+∠4+∠A 2+∠A 3=360°,∠A 2=∠A 3=120°,∴α=∠4=48°.
9.4a 如图,连接HE,AD,分别交BG 于点M,N,正八边形每个内角的度数为(8-2)×180°
8=135°.易得∠DAH=∠CBG=90°,∴∠BAN=∠ABN=45°,∴AN=BN,AB=√2AN=√2BN.设AN=BN=x,则AB=BC=AH=HG=√2x,MG=x,∴S 四边形BCFG =BC×BG=√2x·(2x+√2x)=2(√2+1)x 2=2a,∴S 四边形
ABGH =
1
2
(AH+BG)×AN=1
2(√2x+2x+√2x)·x=(√2+1)x 2=a,故正八边形的面积为a×2+2a=4a(cm 2).
10.80 正九边形的中心角度数为360°÷9=40°,即∠AOB=40°,∴∠MON=2∠AOB=2×40°=80°. 11.30 如图,∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,∴六边形ABMNEF 是正六边形,∴∠ABM=
(6-2)×180°
6
=120°.又∠CBM=90°,∴∠ABC=120°-90°=30°.
12.20 27 10 (1)每个正八边形的周长为8,故题中图形外轮廓的周长为(8-3)×4=20.(2)设正m 边形的一个内角的度数为α,依据题意,得2α+60°=360°,解得α=150°,∴m=360°÷(180°-150°)=12,∴当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是(12-3)×3=27.(3)正五边形一个内角的度数为180°-360°÷5=108°,∴得到的正n 边形的一个内角的度数为360°-108°-108°=144°,一个外角的度数为180°-144°=36°,∴n=360°÷36°=10,∴得到的正n 边形的周长是10. 13.略
第二节 平行四边形 基础分点练 1.C
2.B 在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC.当∠B=∠BCF 时,AD ∥CF.根据平行四边形的定义可知此时四边形ADFC 是平行四边形.故选B.
3.略
4.C ∵四边形ABCD 为平行四边
形,∴AD ∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=2∠B,∴2∠B+∠B=180°,∴∠B=60°,∴∠D=60°.故选C. 5.C ∵四边形ABCD 是平行四边
形,∴AB ∥CD,AB=DC,∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA,∴△AOB ≌△COD,∴OA=OC,OB=OD.故正确的顺序为②③①④⑤,故选C.
6.D ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠C=∠ABC=70°.又∵四边形BCDE 为平行四边形,∴∠E=∠C=70°.故选D.
7.C 如图,过点E 作EM ⊥BA 交BA 的延长线于点M,延长ME 交CD 于点N.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,∴EN ⊥CD.由尺规作图的痕迹可知,BE,CE 分别平分∠ABC,∠BCD,EF ⊥BC, ∴EM=EF=2, EN=EF=2,∴MN=4,即AB,CD 之间的距离为4.故选C.
8.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B=60°,CD=AB=3.由折叠的性质可知AE=AD,DC=CE,又D,C,E 三点共线,∴△ADE 是等边三角形.又∵DE=DC+CE=6,∴△ADE 的周长为6×3=18.
9.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD.易得△BEM ∽△DEC,∴BE DE =EM EC =BM CD =1
2, ∴S △DEM =2S △EBM =2,S △EBC =2S △EBM =2,∴S 阴影=2+2=4,故选C.
10.D 如图,延长EF 交AD 于点H,则AB ∥EH ∥CD,∴四边形ABEH 和四边形CDHE 都是平行四边形,∴EH=AB=5,AH=BE,HD=EC.∵∠BFC=90°,E 是边BC 的中点,BC=8,∴EF=BE=EC=1
2×8=4, ∴AH=HD,
FH=EH-EF=5-4=1.易得FH 是△ADG 的中位线,∴DG=2FH=2.
11.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CF,AB=CD,∴△ABE ∽△DFE,∴AB DF =AE
DE =2,又∵DE=3,DF=4, ∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴▱ABCD 的周长为(8+9)×2=34.故选C. 12.C ∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.∵四边形ABCD 是平行四边
形,∴AB=CD,AD=BC,AB ∥CD,∴∠BEC=∠DCE,∠CDE=∠AED,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=5,∴AD=5.又∵EA=3,ED=4,∴EA 2+ED 2=AD 2,∴∠AED=90°,∴∠CDE=90°.又CD=AB=3+5=8,∴CE=√DE 2+DC 2= √42+82=4√5.故选C.
13.(2,-1) ∵▱ABCD 对角线的交点O 为坐标原点,∴点A 与点C 关于原点O 中心对称.又点A 的坐标为(-2,1),∴点C 的坐标为(2,-1).
14.61 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,DC ∥AB.∵∠ADC=119°,DF ⊥BC, ∴∠ADF=∠DFC=90°, ∠EDH=29°.∵BE ⊥DC,∴∠DEH=90°,∴∠BHF=∠DHE=90°-29°= 61°. 15.30 如图,由题意可知α+∠BCD=180°.过点B 作BF ∥CD,则BF ∥AE,∴∠ABF=180°-∠A=110°, ∴∠CBF=140°- ∠ABF=30°,∴∠BCD=180°-∠CBF=150°,∴α=180°-∠BCD=30°.
综合提升练
1.B ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD,AB ∥CD.∵E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中
点,∴EH ∥AD,EH=1
2AD,EF ∥AB,EF=1
2AB,FG ∥BC,FG=1
2BC,GH ∥CD,GH=1
2CD,∴EH ∥FG,EF ∥HG,∴四边形EFGH 是平行四边形,故B 中的说法正确.∵AB=2,AD=4,∴EH=2,HG=1,故A 中的说法错误.∵AB ≠AD,∴平行四边形ABCD 不是菱形,故AC 与BD 不垂直,故C 中的说法错误.由EF ∥AB,得△OEF ∽△OAB,∴S △ABO S △EFO
=(AB
EF )2=4.故D 中的说法错误.
2.略
3.略 全国视野创新练
9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG,EF ∥CG,∴△DOE ∽△COG,∴OE OG =DE
CG .又∵DF=1
4DE,∴DE CG =4
5,即OE OG =4
5,∴OE EG =4
9,即EG=9
4OE,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.
第三节 矩形、菱形、正方形 课时一:矩形的性质与判定
基础分点练
1.B AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形;AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形;AC ⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;由AC 平分∠BAD,可推得平行四边形ABCD 是菱形.故选B.
2.略
3.C 由四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,得OA=OB=OC=OD,故
S △AOB =S △COB =S △COD =S △AOD =2,所以矩形ABCD 的面积为4S △AOD =8,故选C.
4.C 由折叠可得∠ABE=∠A'BE,∠BA'E=∠A=90°.∵∠DBC=24°,∴∠ABA'=90°-24°=66°,∴∠A'BE=33°, ∴∠A'EB=90°-33°=57°.
5.A 如图,连接AE,设AC,EF 交于点O,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵直线EF 垂直平分AC,∴OA=OC,AE=EC,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF ≌△COE,∴AE=CE=AF=5,∴BC=BE+EC=8.在Rt △ABE 中,AB=√AE 2-BE 2=√52-32=4.在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5,故选A.
6.4
3 根据矩形的性质得到AB ∥CD,AB=CD.∵点E 为CD 的中点,∴DE=12CD=12AB.易得△ABP ∽△EDP,则PB PD =AB
DE =2,∴PB BD =2
3.易得△BPQ ∽△BDC,则PQ CD =BP BD =2
3,∴PQ=23CD=4
3. 7.3√17 在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,根据勾股定理,可得BD=13.∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8,∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB ∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3.在Rt △BCQ 中,BC=AD=12,CQ=3,根据勾股定理,得BQ=3√17.
8.略
全国视野创新练
1.D ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.设AB=CD=x,由折叠的性质可知,PA'=AB=x,PD'=CD=x.易证△A'EP ∽△D'PH,∴A'P 2∶D'H 2=8∶2,∴A'P ∶D'H=2∶1,∴D'H=12x.∵S △D'PH =12D'P·D'H=12·x·1
2x=2,∴x=2√2(负值已舍
去),∴D'P=A'P=2√2,DH=D'H=√2,∴A'E=2D'P=4√2,∴PE=√(4√2)2+(2√2)2=2√10,PH=√(2√2)2+(√2)2=√10,∴AD=4√2+2√10+√10+√2=3√10+5√2. 2.43
√3,4√3或(8-4√3) ①如图(1),当∠ABE=30°时,在Rt △ABE 中,AB=4,tan ∠ABE=AE AB ,∴AE=AB·tan ∠ABE=4×tan 30°=43
√3.②如图(2),当∠AEB=30°时,在Rt △ABE
中,tan ∠AEB=AB AE ,∴√33=4AE
,∴AE=4√3.③如图(3),当∠ABA'=30°时,∠DEA'=30°,由折叠的性质可知,AE=A'E, A'B=AB=4,过点A'作FG ⊥BC 于点G,交AD 于点F,则FG=AB=4.∵AB ∥FG,∴∠BA'G=∠ABA'=30°, ∴BG=12A'B=2.∵tan ∠BA'G=BG A'G =√3
3,∴A'G=2√3,∴A'F=FG-A'G=4-2√3.在Rt △A'EF 中,sin ∠FEA'=
A'F A'E =12,∴AE=A'E=8-4√3.综上所述,AE 的长为43√3,4√3或(8-4√3)cm.
图(1) 图(2)
图(3)
课时二:菱形的判定与性质
基础分点练 1.AD=DC(答案不唯一)
2.是 如图,∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.过点A 作AE ⊥BC 于点E,AF ⊥DC 于点F,∵两张纸条等宽,∴AE=AF,又S ▱ABCD =BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴四边形ABCD 是菱形.
3.略
4.C 由四边形ABCD 是菱形,得AB=AD,∠B=∠D.选项A 中,由∠BAF=∠DAE,得∠BAE=∠DAF,故
△ABE ≌△ADF.选项B 中,由EC=FC,得BE=DF,∴△ABE ≌△ADF.选项C 中,添加条件AE=AF,不能保证△ABE 和△ADF 一定全等.选项D 中,由BE=DF,易得△ABE ≌△ADF.故选C.
5.B 如图,∵菱形ABCD 的周长为16,高为2,∴AB=4,AH=2.在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=12,∴∠B=30°. ∵AB ∥CD,∴∠C=150°,∴∠C ∶∠B=5∶1.
6.A ∵四边形ABCD 是菱形,OA=6,∴AC=2OA=12,OB=OD.又DH ⊥AB,∴OH=12
BD.∵S 菱形ABCD =48,
∴12AC·BD=48,∴BD=8,∴OH=4. 7.B ∵四边形ABCD 是菱形,O 是对角线BD 的中点,∴AO ⊥BD,AD=AB=4,AB ∥DC.又∵∠BAD=120°, ∴∠CDB=∠ABD=∠ADB=30°,∴AO=12AD=2,∴DO=√AD 2-AO 2=2√3.又OE ⊥CD,∴OE=12
OD=√3, DE=√32OD=3, ∴四边形AOED 的周长为AO+OE+DE+AD=2+√3+3+4=9+√3.
8.B ∵四边形ABCD 是菱形,∴OC=12AC=4,OD=12BD=3,∠COD=90°.在Rt △OCD 中,根据勾股定理可知,CD=
√OD 2+OC 2=5.∵∠EOC=∠ECO,∠EOC+∠EOD=90°
,∠ECO+∠EDO=90°,∴∠EOD=∠EDO,∴DE=OE.又OE=CE,∴DE=OE=CE,∴OE=12CD=52.
9.B 方法一:如图(1),连接OE.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO, ∴S △BOC =S △AOB =S △AOD = S △DOC = 14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点, S △BOE = S △COE =12S △BOC ,∴S △OEF =12S △BOE ,S △OEG =12S △COE ,∴S 四边形EFOG = S △OEF +
S △OEG =12S △BOE +12S △COE =12S △BOC =18S,故选B.
图(1) 图(2)
方法二:如图(2),连接FG.∵四边形ABCD 是菱
形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO,∴S △BOC =S △AOB =S △AOD =S △DOC =14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点,∴FG 是△OBC 的中位
线,∴FG ∥BC,FG=12BC,∴△OFG ∽△OBC,∴S △OFG =14S △OBC =116S.易知S △OFG =S △EFG =12S 四边形EFOG ,∴S 四边形EFOG =2S △OFG =18S.故选B.
10.45° 设尺规作图所作直线与AB 交于点F,由尺规作图可知,EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AE=BE,
∴∠A=∠EBA=30°.由菱形的性质可知AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°. 11.2√7 在线段BC 上取点F,使CF=AE=2,如图,则EF 平分菱形ABCD 的面积,理由:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD ∥BC,AD=BC=AB=6,∴DE=BF=6-2=4.过点A 作AG ⊥BC 于点G,过点E 作EH ⊥BC 于点H,则四边形AGHE 是矩形,∴AG=EH,GH=AE=2.∵S 梯形ABFE =12(AE+BF)·AG,S 梯形EFCD =12(CF+DE)·EH,∴S 梯形ABFE =S 梯形EFCD ,即EF 平分菱形ABCD 的面积.∵在Rt △ABG 中,AG=ABsin B=6×√32=3√3,BG=ABcos B=6×12
=3, ∴EH=AG=3√3, CH=BC-BG-GH=1,∴FH=CF-CH=1,∴在Rt △EFH 中,EF=√FH 2+EH 2=√12+(3√3)2=2√7.
12.略
全国视野创新练
B 连接AC,由对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,点E 在运动过程中,四边形AECF 始终为平行四边形.特殊地,当EF ⊥A
C 时,四边形AECF 为菱形,当点E 与点B 重合时,四边形AECF 是矩形.故四边形AECF 的形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.故选B.
课时三:正方形的性质和判定
基础分点练
1.A 由作图痕迹可知MA=MB=NA=NB,∴四边形MANB 是菱形,故可添加条件AB=MN 或AO=MO.
2.D 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不是正方形.故选D.
3.D ∵点O 为BD 的中点,∴OB=OD.∵四边形ABCD 为平行四边
形,∴DC ∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,∴△FDO ≌△EBO,∴OE=OF,∴四边形DEBF 为平行四边形,故选项A 中的结论成立.对于选项B,当AE=3.6时,∵AB=10,AD=6,∴
AE AD =35,AD AB =35,∴AE AD =AD AB ,又∵∠DAE=∠BAD, ∴△DAE ∽△BAD,∴∠AED=∠ADB=90°,∴∠DEB=90°,∴▱DEBF 为矩形.故选项B 中的结论成立.对于选项C,当AE=5时,∵AB=10,∴BE=5,又∵∠ADB=90°,∴DE=12AB=5,∴DE=BE,∴▱DEBF 为菱形.故选项C 中的结
论成立.对于选项D,当AE=4.8时,∠DEB ≠90°,∴四边形DEBF 不是正方形.故选D.
4.B 根据题意可知菱形ABC'D'的AB 边上的高等于AB 的一半,所以菱形ABC'D'的面积为12AB 2,正方形ABCD 的面积为AB 2,故菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD 的面积之比是12.故选B.
5.C ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵△ABE 是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=
∠AEB=60°, ∴AD=AE.在△ADE 中,AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=12(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.
6.A 连接BD,在等腰直角三角形ABD 中,BD=√2AB=6√2.根据点M,N 分别是DQ,BQ 的中点可得,MN 是△BDQ 的中位线,所以MN=12BD=3√2.故选A.。