中考专题训练中考压轴题(四)------折叠问题

中考专题训练中考压轴题（四）------折叠问题
1. （06江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB =，边1AD =，且
AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．
（1）当矩形ABCD 沿直线1
2
y x b =-+折叠时（如图1），
求点A '的坐标和b 的值；
（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b =+折叠时，
① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，
请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）
k 的取值范围是
； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ；
[解] （1）如图答5，设直线1
2y x b =-+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，OF = 2b ，设点A '的坐标为（a ，1）
因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒， 所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ．
所以DA DO OE OF '=
，即12a b b =，所以12
a =． 所以点A '的坐标为（1
2，1）．
连结A E '，则A E OE b '==．
在R t △DEA '中，根据勾股定理有222A E A D DE ''=+ ，
即2221()(1)2b b =+-，解得5
8
b =．
（2）如图答6，设直线y kx b =+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，b
OF k =-，设点A '的坐标为（a ，1）．
因为90DOA A OF ''∠+∠=︒，90OFE A OF '∠+∠=︒． 所以DOA OFE '∠=∠，所以△DOA '∽△OFE ．
（图1）
所以
DA DO
OE OF
'=
，即1a b b k
=-，所以a k =-． 所以A '点的坐标为（k -，1）．
连结A E '，在Rt △DEA '中，DA k '=-，1DE b =-，A E b '=． 因为222A E A D DE ''=+，
所以2
2
2
()(1)b k b =-+-．所以212
k b +=．
在图答6和图答7中求解参照给分． （3）图13﹣2中：21k -≤≤-； 图13﹣3中：1-≤k
≤2- 图13﹣4
中：20k -≤
[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。

2. （06广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 为原点，E 为AB 上一点，把CBE △沿CE 折叠，使点B 恰好落在OA
边上的点D 处，点A D ，的坐标分别为(50)，和(30)，．
（1）求点C 的坐标；
（2）求DE 所在直线的解析式；
（3）设过点C 的抛物线2
2(0)y x c b =+<与直线BC 的另一个交点为M ，问在该抛物线上是否存在点G ，使得CMG △为等边三角形．若存在，求出点G 的坐标；若不存
在，请说明理由．
[解] （1）根据题意，得5
3CD CB OA OD ====，， 90COD = ∠，4OC ∴===．
∴点C 的坐标是(04)，
； （2）4AB OC == ，设AE x =，
则4DE BE x ==-，
532AD OA OD =-=-=，
在Rt DEA △中，222DE AD AE =+．
222(4)2x x ∴-=+．
解之，得32x =
， 即点E 的坐标是352⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
设DE 所在直线的解析式为y kx b =+，
30352
k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，，
解之，得34
94
k b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．
DE ∴所在直线的解析式为39
44
y x =
-； （3） 点(04)C ，
在抛物线2
2y x c =+上，4c ∴=．
即抛物线为2
24y x =++．
假设在抛物线224y x =++上存在点G ，使得CMG △为等边三角形， 根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G 一定在该抛物线的顶点上． 设点G 的坐标为()m n ，，
224m ∴=-=-⨯
，22
424)323428b n ⨯⨯--==⨯，
即点G
的坐标为232348b ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，．
设对称轴x =与直线CB 交于点F ，与x 轴交于点H ．
则点F
的坐标为4⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
． 00b m <∴> ，，点G 在y 轴的右侧，
4CF m ==-，2232334488b b FH FG -==-=，．
22
CM CG CF ===-
， ∴在Rt CGF △中，222
CG CF FG =+
，2
2
2
23248b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭． 解之，得2(0)b b =-< ．．
42m ∴=-=，2323582b n -==．
∴点G 的坐标为522⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，． ∴
在抛物线224(0)y x b =+<上存在点G 52⎫⎪⎪⎝⎭
，，使得CMG △为等边三角形．
[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。

3.（06湖北咸宁卷）如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，53OA OC ==，．
（1）在AB 边上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求点D ，E 的坐标；
（2）若过点D E ，的抛物线与x 轴相交于点(50)F -，，求抛物线的解析式和对称轴方程； （3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，在抛物线上是否存在点P ，使PFH △的内心在坐标轴．．．
上？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． （4）若（2）中的抛物线与y 轴相交于点H ，点Q 在线段OD 上移动，作直线HQ ，当点
Q 移动到什么位置时，O D ，两点到直线HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点Q
的坐
x
标及直线HQ 的解析式．
4. .(07台州市) 24．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在
x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的
点D
处．已知折叠CE =，且3
tan 4
EDA ∠=．
（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相
似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
解：（1）OCD △与ADE △相似． 理由如下：
由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，
1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠ ，
又90COD DAE ∠=∠=∵°，
OCD ADE ∴△∽△． （2）3
tan 4
AE EDA AD ∠=
=∵，∴设3AE t =， 则4AD t =．
由勾股定理得5DE t =．
358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴．
由（1）OCD ADE △∽△，得OC CD
AD DE
=
， 845t CD
t t =
∴， 10CD t =∴．
在DCE △中，2
2
2
CD DE CE +=∵，
222(10)(5)t t +=∴，解得1t =．
（第24题图2）
83OC AE ==∴，，点C 的坐标为(08)，
， 点E 的坐标为(103)，，
设直线CE 的解析式为y kx b =+，
1038k b b +=⎧⎨=⎩，∴，解得128k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，，
1
82
y x =-+∴，则点P 的坐标为(160)，
． （3）满足条件的直线l 有2条：212y x =-+，
212y x =-．
如图2：准确画出两条直线．
5. (07宁德市)2
6. 已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且6AE =厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）； 步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图2所示） （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“>”、“=”、“<”号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（ ， ）； ②当6PA =厘米时，PT 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（ ， ）； ③当12PA =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；
（3）点P 在运动过程，PT 与MN 形成一系列的交点123Q Q Q ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
C B
图1
图3
C E 图2
解: （1）PQ QE =． （2）①(03)，；②(66)，．
③画图，如图所示．
解：方法一：设MN 与EP 交于点F ． 在Rt APE △
中，PE =∵
1
2
PF PE ==∴ 390Q PF EPA ∠+∠=∵°，90AEP EPA ∠+∠=°， 3Q PF AEP ∠=∠∴．
又390EAP Q FP ∠=∠=∵°， 3Q PF PEA ∴△∽△． 3Q P PF
PE EA
=
∴
． 315PE PF
Q P EA
=
=·∴． 3(1215)Q ∴，．
方法二：过点E 作3EG Q P ⊥，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形． 6GP =∴，12EG =．
设3Q G x =，则336Q E Q P x ==+．
在3Rt Q EG △中，22233EQ EG Q G =+∵． 222(6)12x x +=+∴．
9x =∴． 3125Q P =∴． 3(1215)Q ∴，．
（3）这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式：2
13(026)12
y x x =
+≤≤． 6. (07日照市)24. 如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x ．
(Ⅰ)求证：AF=EC ；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C .
（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；
（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？
解: (Ⅰ)证明：∵AB=a ，AD=b ，BE=x ，S 梯形ABEF = S 梯形CDFE ． ∴
21a (x +AF )=2
1
a (EC +
b -AF )， ∴2AF =EC +(b -x )． 又∵EC ＝b -x ，
∴2AF =2EC ，即AF=EC ；
(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一），
∵EC ∥E ′B ′， ∴
B E E
C ''=B
D DC
'. 由EC ＝b -x ，E ′B ′=EB =x ， DB ′=DC +CB ′=2a ， 得
a
a
x x b 2=
-， ∴x ︰b =
32 ；
当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，
∵EC ∥E ′B ′,点C 是DB ′的中点，
∴CE =
21
(AD + E ′B ′)， 即b -x ＝21
（b ＋x ），
∴x ︰b =3
1
．
(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ． 证明：连接BF ． ∵FD ∥BE , FD =BE ，
∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB =DE ,
又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点， ∴DE =EE ′，
∴FB ∥EE ′, FB = EE ′，
∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ． 如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M =a .．
∵x ︰b =
31， ∴EM =31BC =3
1b ．
若BE′与EF 垂直，则有∠GBE +∠BEG =90°，
又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′+∠ME ′E =90°， ∴∠GBE =∠ME ′E .
在R t △BME ′中，tan ∠E ′BM = tan ∠GBE =
BM
M E '=b a
3
2． 在R t △EME ′中，tan ∠ME ′E =M E EM '=a
b
3
1，
∴b a 3
2＝a b 31． 又∵a ＞0，b ＞0，
=b
a
32， ∴当
=b
a
32时，BE′与EF 垂直. 7. (07
荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，
0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻
折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ． ∴Rt △POE ∽Rt △BP A ． ∴
PO BA OE AP =
．即3
4x y x =-．∴y =2114(4)333
x x x x -=-+(0＜x ＜4)．
且当x =2时，y 有最大值1
3
．
(2)由已知，△P AB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)． 设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.
a b c ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
y =
213
122
x x -+． (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件． 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)， ∴该直线为y =x ＋1．
由21,
13
1,22y x y x x =+⎧⎪
⎨=-+⎪⎩
得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．
8. (07湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）.
（图1） （图2）
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．
（2）在图2中，若AB=a ，BC=b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
（3）设矩形ABCD 的边AB =2，BC =4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为
y kx =，
当MB C '∠=60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？
（图3）
解：（1）△BMP 是等边三角形.
证明：连结AN
∵EF 垂直平分AB ∴AN = BN
由折叠知 AB = BN
∴AN = AB = BN ∴△ABN 为等边三角形 ∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° 又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90° ∴∠BPN =60°
∠MBP =∠MBN +∠PBN =60° ∴∠BMP =60°
∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60° ∴△BMP 为等边三角形 .
（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP
在Rt △BNP 中， BN = BA =a ，∠PBN =30° ∴BP =
cos30a
∴b ≥cos30a
∴a ≤23b . ∴当a ≤
2
3
b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP . （3）∵∠M ′BC =60° ∴∠ABM ′ =90°－60°=30°
在Rt △ABM ′中，tan ∠ABM ′ =AM AB ' ∴tan30°=2
AM ' ∴AM ′
∴M ′
，2). 代入y =kx 中 ，得k
设△ABM ′沿BM ′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A ' 过A '作A 'H
⊥BC 交BC 于H .
∵△A 'BM ′ ≌△ABM ′ ∴A BM ''∠=ABM '∠=30°, A 'B = AB =2 ∴A BH M BH ''∠=∠－A BM ''∠=30°. 在Rt △A 'BH 中， A 'H =1
2
A '
B =1 ，BH=3
∴)
A '
∴A '落在EF 上.
(图2) (图3)
9.(07广东省茂名市)25.如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB x
∥轴，B（3
），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，30
OAD
∠=︒．折
叠后，点O落在点
1
O，点C落在点
1
C，并且
1
DO与
1
DC在同一直线上．
（1）求折痕AD 所在直线的解析式；
（2）求经过三点O，
1
C，C的抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2
⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．
解：
（1）由已知得
30
OA OAD
=∠=︒．
∴tan301
3
OD OA
=︒==
，
∴(()
010
A D
，，．
设直线AD的解析式为y kx b
=+．
把A，D坐标代入上式得：
b
k b
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得：
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
折痕AD所在的直线的解析式是y=
（2）过
1
C作
1
C F OC
⊥于点F，
由已知得
1
60
ADO ADO
∠=∠=︒，∴
1
60
C DC
∠=︒．
又DC＝3－1＝2，∴
1
2
DC DC
==．
∴在
1
Rt C DF
△中，
111
sin2sin60
C F DC C DF
=∠=⨯︒=
．
1
1
1
2
DF DC
==，
∴(1C ，而已知()3,0C ．
法一：设经过三点O ，C 1，C 的抛物线的解析式是()3y ax x =-
点(12C 在抛物线上，∴(
)223a -=
a =
∴(
)23222
y x x x x =-
-=-+为所求 法二：设经过三点O ，C 1，C 的抛物线的解析式是2
,(0)y ax bx c a =++≠．
把O ，C 1，C 的坐标代入上式得
:
042930c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解得0a b c ⎧=⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎩
2y x x =为所求．
（3）设圆心(),P x y ，则当⊙P 与两坐标轴都相切时，有y x =±．
由y x =
，得2x x x =，解得10x =（舍去）
，23x =． 由y x =-
，得222x x x -
+=-解得10x =（舍去）
，233
x =+． ∴所求⊙P
的半径3R =
或3R =+． 10. (07重庆市) 28．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

若以O
为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线bx ax y +=2
（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

注：抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--a
b a
c ，a b 4422
，对称轴公式为a
b x 2-
=
解: （1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H
∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2 ∴OB ＝4，OA ＝32
由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32 ∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3 ∴C 点坐标为（3，3）
（2）∵抛物线bx ax y +=2
（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点
∴()
()
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b
a b
a 323203332
2
解得：⎩⎨⎧=-=321b a
∴此抛物线的解析式为：x x y 322
+-=
（3）存在。

因为x x y 322
+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C
MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ∴P （3t ，t ）
作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E
把t x ⋅=
3代入x x y 322+-=得：t t y 632+-=
∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632
+-）
同理：Q （3，t ），D （3，1）
要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD
即(
)
16332
-=+--t t t ，解得：3
4
1=t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（
33
4
，34）
∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（
33
4
，34）
11. （08山东青岛）24．（本小题满分12分）
已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=
，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）设AQP △的面积为y （2
cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
图①
（08山东青岛24题解析）24．（本小题满分12分） 解：（1）在Rt△ABC 中，522=+=AC BC AB ，
由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ， ∴
=AC AQ AB
AP
， ∴5542t t -=， ∴7
10
=
t ． ············································································································ 3′ （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴=BC
PH AB AP ， ∴
=3
PH 55t -，
∴t PH 5
33-=，
∴t t t t PH AQ y 35
3
)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=． ··············································· 6′
（3）若PQ 把△ABC 周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ ．
∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．
若PQ 把△ABC 面积平分，
则ABC APQ S S ∆∆=2
1
， 即－25
3t ＋3t =3． ∵ t =1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． ················· 9′ （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，
若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ， ∴QM=CM ．
∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．
图①
B
B
N
∴
AB
BP
AC PN =， ∴54t PN =， ∴5
4t
PN =
， ∴5
4t CM QM ==， ∴
425
4
54=++t t t ， 解得：9
10
=t ．
∴当9
10
=
t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时375
33=
-=t PM ， 9
854==t CM ， 在Rt△PMC 中，9
505816494922=+=
+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9
505
． 12′
12. （08浙江湖州）24．（本小题12分）
已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反
比例函数(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）
（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，
由题意得11
k y x =
，22k y x =．
11111
22
S x y k ∴=
=，2221122S x y k ==．
12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．
（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k
E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k
F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴=
=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
△， 11
121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形
11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
△△△
2
112
S k k ∴=-
+． 当161212k =-
=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
时，S 有最大值．
1
31412S -=
=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
最大值．
（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．
由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，1
34
MF CF k ==-
， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ，EMN MFB ∴∠=∠．
又90ENM MBF ∠=∠=
，
ENM MBF ∴△∽△．
EN EM MB MF ∴=
，11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
， 9
4
MB ∴=
．
222MB BF MF += ，222
913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，解得218k =．
21
432
k BF ∴=
=． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
13. （08浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。

（08浙江衢州24题解析）24、(本题14分)
解：(1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，
∴38
103
2OAB tan =-=
∠，
∴︒=∠60OAB
当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=
︒-=，)t 10(2
1
AT 21AP P A -==='， ∴2TP
A )t 10(8
3TP P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，A T=AB=
460sin 3
2=︒
，
所以此时10t 6<≤。

(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，A T=2AB=8，点T 的坐标是(2，
又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<< (3)S 存在最大值 ○
1当10t 6<≤时，2)t 10(8
3
S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，
∴当t=6时，S 的值最大是32。

○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=
∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23
)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=
34)2t (8
3)28t 4t (8322+--=++-=
当t=2时，S 的值最大是34；
○
3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，
∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴343242
1
OC EF 21S =⨯⨯=⋅=
综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<。

14（ 08浙江绍兴）24．将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，
(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动2
3
秒时，
动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；
（2）当1t =时，如图1，将O P Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；
（3）连结AC ，将O P Q △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？
PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
（08浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分） 解：（1）6OP t =-，2
3
OQ t =+．
（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==
，43
QC =， 1CD ∴=，(13)D ∴，
． （3）①PQ 能与AC 平行．
若PQ AC ∥，如图2，则
OP OA
OQ OC
=
， 即
66
233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， 149
t ∴=．
②PE 不能与AC 垂直．
若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，
则
2
33
t QF OQ AC OC +
== ．
图1
图1
（第24题图）
2
3
QF t
⎫
∴=+⎪
⎭
．
EF QF QE QF OQ
∴=-=-
22
33
t t
⎫⎛⎫
=+-+
⎪ ⎪
⎭⎝⎭
2
1)1)
3
t
=+．
又Rt Rt
EPF OCA
△∽△，
PE OC
EF OA
∴=，
63
26
1)
3
t
t
-
∴=
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
3.45
t
∴≈，而
7
3
t
≤≤，
t
∴不存在．
15.（08浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形ABCD中，9
AB=
，AD=P 是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ BD
∥，交CD边于Q 点，再把PQC
△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR
△
与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求CQP
∠的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？
（3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
7
27
？
D
Q
C
B
P
R
A
（第24题）
B
A
D C
（备用图1）
B
A
D C
（备用图2）。