No.04 1012 2 稳态热传导

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5、厚δ=100mm的水平平板，λ=10W/m℃，放在温度为 tf=20℃的空气中。其上表面接收350W/m2的辐射热，下表面 散给环境200W/m2的热量。平板上表面与空气对流换热的表 面传热系数为h=10 W/m2.℃,求平板上、下表面温度。
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o

x
4
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
d 2t dx
2
控制 方程
0
边界 条件 求解 方法
x 0, t t w1 第一类边界：
直接积分，得：
x , t t w2

ti 1 ti q
ti ti 11
i i
i i
t1
t2
t3
t4
8
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
多层、第三类边界
tf1 h1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
t2
t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
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W
长度为 l 的圆筒壁 的导热热阻
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4 n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热
流量可按总温差和总热阻计算
t w1 t w( n1) Φ n 1 ri1 ln ri i 1 2i L t w1 t w( n1) ql n 1 ri1 ln ri i 1 2i
tf1 tf 2 n i 1 1 h1dL i 1 i dL h2 dL
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In-Class Problems
第三类边界条件下，多层 平板和圆筒保温效果？
tf1 tf 2 n di 1 1 1 1 ln h1d1 L i 1 2 i L di h2 d n 1L
第二章 导热基本定律 及稳态导热
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Quick Review：
1 重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、 导温系数（热扩散率）定义及性质；
2 导热微分方程式的理论基础及推导过程
3 导热微分方程式的一般形式、组成、及在推导给定条 件下的具体形式；
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灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热 方程与时间分布建立联系等 定解条件？边界条件？三类边界条件的数学表达式？
平板：
圆筒：
h1
hdL i 1 i dL h2 dL
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§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
5 其它变面积或变导热系数问题
求解导热问题的主要途径分两步： (1) 求解导热微分方程，获得温度场；
c
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 为常数并已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
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2、一无内热源平板沿厚度x方向发生一维稳态导热，其一侧 表面上的温度梯度 t / x =30 ℃/m，导热系数λ1=40W/(m· ℃)， 如果其另一侧表面上的导热系数λ2=50W/(m · ℃)，问这一侧 表面上的温度梯度是多少?
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3、一块大平板，厚度δ=5cm，有内热源 ，平板中的一 c 200K/m 2 。 维稳态温度分布为 t b cx 2 ，式中 b 200o C ， 假定平板的导热系数 50W/(m K) ，试确定： (1)平板中内热源 之值； (2) x 0 和 x 边界处的热流密度。
i i 1 i
n
问：知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？ t
第一层： q
(t1 t 2 )
1 1
t 2 t1 q 1 1
t3 t 2 q
1
t2
t 2 t3 q 第二层： 2
2
2 2
t3 t4

第 i 层： q
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dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
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§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
t2 t1 t x t1 Fourier 定律 dt t2 t1 带入 dx
h1
t
2
h2
d2 1 ln 2L d1
1 2
1 d2 2 ln ln(1 ) 2 d1 d1 1 t 2 d 1 d1 d1 ln 2 2L d1
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In-Class Problems
第三类边界条件下，多层 平板和圆筒保温效果？
平板：
一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r ) 0 dr dr
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2时 t t w2
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§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
对上述方程(a)积分两次: 第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w2 c1 ln r2 c2
t w2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 ) ln r1 c2 t w1 (t w2 t w1 ) ln( r2 r1 )
t2 t1 t t1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )

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4、已知一厚度为δ的无内热源大平板两侧壁温度分别为t1和t2， 导热系数λ=λ0+at2，其中λ0和a为常数。分别对a＜0、a=0和a ＞0三种情况画出平板中温度分布曲线的示意图（三种情况 画在同一张图上以便于比较），并求当λ0= 0时板内温度分布 和热流密度计算式。
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h2
tf1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2r1 2 r1 h2 2r2 tf1 tf 2 Rl
W m
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通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 [mK/W]
(1) 单层圆筒壁（续） 思考：壁面温度分布应如何求 出？ h1 h2 (2) 多层圆筒壁

x2
x1
A( x)
dt t (t )dt Φ (x t (t () t2A t1)) dx t d x (t )dt (t2 t1 )
2 2 1
t1
t2 t1
t2 t1

t1 (t )dt
t 2 t1
t2


(t1 t 2 )
显然，温度呈对数曲线分布
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将系数带入第二次积分结果
r r1时 t t w1 r r2时 t t w2
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§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w2 ) ln( r2 r1 )
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W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
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单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热
t w1 t w 2 ql r1 2r1h1 (t f 1 t w1 ) ql r2 1 ln 2 r1 ql
r2
h1
2r2 h2 (t w 2 t f 2 )
tf1 tf 2 ql n d i 1 1 1 1 ln h1d1 i 1 2i di h2d n 1
提示：通过球壳的导热自学。
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In-Class Problems
第一类边界条件下，多层 平板和圆筒保温效果？
t 1 d1 L
t d1 L
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第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律
2-2 导热微分方程式及定解条件 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热 2-4 通过肋片的导热 2-5 具有内热源的导热及多维导热
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§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和 圆柱内的导热。 直角坐标系：
t t1
n i
x

i 1
t tn1
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
t1 t2 t3 t4
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三层平壁的稳态导热
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
由热阻分析法：
q
t1 tn1
ri
i 1
n

t1 tn1
总传热系数？
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？ tf1
t1 t2 t3 t2
？ tf2
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三层平壁的稳态导热
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
3 单层圆筒壁的导热
圆柱坐标系：
c
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) Φ r r r r z z
(2) 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量。
对于稳态、无内热源、第一类边条下的一维导热问题，可以不通 过温度场而直接获得热流量。此时，一维Fourier定律：
Φ A
当＝(t), A=A(x)时，
dt dx
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dt Φ (t ) A( x) dx
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分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关，得
x1
x2
dx A( x)
当 随温度呈线性分布时，即 ＝ 0＋at，则 0 a
t1 t2 2
此时的平均导热系数就是算术平均温度下的值
定义 实际上，不论
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如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用
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前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。
线性分布
t2 t1 t q t ( A ) t
r
R A
t1 t2 o

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§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
2 多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成 边界条件： x 0 t1 t2 t3 t4

dt t t 1 w1 w 2 dr ln( r2 r1 ) r
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
dt t w1 t w 2 q dr r ln( r2 r1 )
W 2 m
t w1 t w 2 t w1 t w 2 Φ 2 rlq ln( r2 r1 ) R 2 l
In-Class Problems
1、某时刻，厚度为1m的平板内的温度分布为：
t ( x) a bx cx 2
式中 t 为温度[C]；x沿厚度方向的位置坐标[m]；a=900 C， 3 1000W m，平 b=-300 C/m，and c=-50 C/m2。均匀内热源 板面积A=10m2，其他物性为：=1600kg/m3，=40w/(m∙K)， cp=4 kJ/(kg ∙ K) 1 确定在x=0m壁面进入平板的热量和x=1m壁面逸出的热量； 2 确定平板内热力学能（内能）的变化率st； 3 确定在x=0，0.25，and 0.5m处温度随时间的变化率