最新云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC

云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试
量子力学 试卷
学院 专业 年级 学号 姓名
考试方式：闭卷 考试时量：120分钟 试卷编号：A
题号 一 二 三 四 总分 评卷人
得分 评卷人 一、 填空题（每题4分，共20分）
1、请写出德布罗意关系中粒子的频率公式 。

2、请给出动量表象中坐标算符的表达式 。

3、请给出不确定度关系的表达式 。

4、请给出力学量平均值随时间的变化公式 。

5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为ˆH
，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n
n E ∞=。

Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0
ˆˆˆH H H '=+，则能量本征函数的计算公式为 （准确到一级近似）。

得分 评卷人 二、 简答题（共20分）
1. 请给出关于波函数随时间发展变化的假定。

（4分）
2. 请叙述关于全同粒子的假定。

（4分）
3. 请叙述关于算符的假定。

（6分）
4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。

（6分） 得分 评卷人 三、 判断题, 判断下列表述的正误。

（每小题2分,共 20分）
1．在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。

（ ） 2．波函数的统计诠释其实只是一个假定。

（ ）
3．值的解。

也是具有相同能量本征方程的解，则是一维)()(*x dinger o Schr x ψψ （ ）
4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的中央处。

（ ）
5．的关系。

都遵守形如任何一种角动量J i J J J
=⨯ （ ） 6. 也是厄米算符。

是自然数是厄米算符，则如果)(n A A n
（ ） 7. 非定态下，任何力学量的平均值都一定随时间改变。

（ ） 8.
粒子交换是对称的。

体系，其波函数对于两半奇整数倍的全同粒子自旋为
（ ）
9. 中心力场中，动量守恒而角动量不守恒。

（ ）
10. 93度为的氢原子，其能级简并=n 。

（ ） 得分 评卷人 四、 计算题（40分）
1．一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为
()e
x x ⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛
-=
2
2
12)(απ
αψ,
请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：
a
dx e
ax π
=
⎰∞
∞
--2
)(）。

（10分）
分）。

（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。

求：子，一维无限深势阱中的粒10 )2();,( )1(sin )cos 1(58)0,(,0.2t x a
x
a x a x a x ψππψ+=≤≤
分）
么？（的值，测得的结果是什态下测量力学量）在（的概率为？
次，则最后一次测得同样方法共测量了体系测量能量值，然后又对测量后得到的次测得态下测量能量值，第一）在（）测量能量的平均值？
（对应的概率；）测量能量的可能值及（，试求
和为，各系数模的平方之有一个状态为为哈密顿量的本征值。

10ˆ46 ,3211}{ .332332211A E E c c c n n ψψψψψψψ++=
4. 设氢原子处于状态 ),()(3
5
),()(33),()(31),,(3243
11212032ϕθϕθϕθϕθψY R
Y R Y R r r r r +-=
-,
求: (1)氢原子角动量平方及角动量Z 分量的可能值、相应几率; (2) 角动量平
方及角动量Z 分量的平均值。

（10分）
云南师范大学课程考试 试卷参考答案及评分标准
课程名称： 量子力学 考试班级： 物理09级ABCD 班 试卷编号： A 命题教师签名 2012 年 6 月 12 日
解答及评分标准：（A 卷）
一、（每题4分，共20分）
1. 请写出德布罗意关系中粒子的频率公式h E v /=
2. 请给出动量表象中坐标算符的表达式x
p i ∂∂。

3. 请给出不确定度关系的表达式|]ˆ,ˆ[|2
1B A B A ≥
∆⋅∆ 4. 请给出力学量平均值随时间的变化公式]ˆ,ˆ[1ˆˆB A i t A dt A d
+∂∂= 5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为ˆH
，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n
n E ∞=。

Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0
ˆˆˆH H H '=+，则能量本征函数的计算公式为(0)(0)
(0)(0)
'
nk k k n n
k n
H E E ψψψ'=+-∑（准确到一级近似）。

二、 简答题（ 共20分）
三、 1. 请给出关于波函数随时间发展变化的假定。

（4分）
V T H
t r H t t r i Eq S ˆˆˆ1),(ˆ),(3(..+==∂∂哈密顿算符：分）
（分）决定：变化由微观体系状态随时间的
ψψ.
.)
,()](2[),(.
.2
2Eq S t r r V m t t r i Eq S
ψψ+∇-=∂∂动量空间中的坐标空间中的
2. 请叙述关于全同粒子的假定。

（4分）
1.全同粒子-内禀属性（如静止质量、电荷、自旋、磁矩或者寿命等等）完全一样的粒子。

(1分)
2.粒子全同性原理：
全同粒子具有不可区分性。

(1分)因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，(1分)即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。

(1分)
3. 请叙述关于算符的假定。

（6分）
4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。

（6分）
分）
来展开。

（，都可以用函数意的波，展开定理成立，即任族的本征函数对完备的力学量完全集分）算符来代表；（力学量使用相应的厄米算符假定：
3}{}{.23.1k k k k ψψψ^
^^2 .32|||| ,.222
.1分）（的基本对易关系应的算符要满足角动量自旋是一个力学量，对分）（满足秉磁矩旋角动量相关联的内
每个电子都有一个和自分）
（投影都只有两个值：在空间任意方向上，其：电子自旋角动量的假定S i S S mc e S S s s z
=⨯=±=μμ
三、判断题（每题4分，共20分）
×
√ √ × √ √ × × × √
四、计算题(40分)
1、一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为
()e
x x ⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛-=
2
2
12)(απ
αψ,
请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：
a
dx e
ax π
=
⎰∞
∞
--2
)(）。

（10分）
解：由于1|)(|2=⎰∞
∞
-dx x ψ，所以波函数已经归一化（2分）
分）
下，动量均值为利用结论：束缚本征态分）分）
，得对称区间上结果为利用：奇函数的积分在是奇函数，是偶函数，则由于分）
2(0.02()(ˆ)(2(00|)(|)(2(|)(|)()(*22*=====⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-x x x p dx x p
x p x x x x xdx x dx x x x x ψψψψψψψ
分）。

（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。

求：子，一维无限深势阱中的粒10 )2();,( )1(sin )cos 1(58)0,(,0.2t x a
x
a x a x a x ψππψ+=≤≤
解：用能量守恒计算。

刻波函数计算，也可以这里可以用代入任意时分任意时刻能量平均值
分函数
由上式可得任意时刻波分）。

已经归一化（分）（)3(5
454)),(H ˆ),,(()(35154),(2,25
154)0,(2
1-2-12121E E t x t x E e e t x x t
iE t
iE +==+=+=
ψψψψψψψψ s
分）
么？（的值，测得的结果是什态下测量力学量）在（的概率为？
次，则最后一次测得同样方法共测量了体系测量能量值，然后又对测量后得到的次测得态下测量能量值，第一）在（）测量能量的平均值？
（对应的概率；）测量能量的可能值及（，试求
和为，各系数模的平方之有一个状态为为哈密顿量的本征值。

10ˆ46 ,3211}{ .332332211A E E c c c n n ψψψψψψψ++=解：
分）
模的平方。

（后对应各本征态的系数的全部本征值展开为用个，对应概率的全部本征值中的某一能值为的值，测得的结果是可态下测量力学量）在（分）（的概率为次，则最后一次测得同样方法共测量了体系测量能量值，
然后又对测量后得到的次测得态下测量能量值，第一）在（分）
）测量能量的平均值（分）（，，，，，值和概率为）所以测得能量的可能（分）。

（，则波函数已经归一化各系数模的平方之和为2ˆˆˆ4206 ,32(||||||23||||||11132323222121233222211ψψψA A A E E E c E c E c E c E c E c E ++=
4. 设氢原子处于状态 ),()(3
5
),()(33),()(31),,(3243
11212032ϕθϕθϕθϕθψY R
Y R Y R r r r r +-=
-,
求: (1)氢原子角动量平方及角动量Z 分量的可能值、相应几率; (2) 角动量平
方及角动量Z 分量的平均值。

（10分）
解：(1) 角动量平方的可能值为22212,2,6 ，相应概率为9
5
,93,91；角动量z 分
量的可能值为 -,0，2 相应及率为9
5
,93,91。

（4分）
（2）222_2
129
5
293691 ⨯+⨯+⨯=L
9
5
293)(910_
⨯+⨯-+⨯= z L （6分）
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